Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9 có lời giải

Trong chương trình Toán 9, bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông tập trung vào việc vận dụng các hệ thức giữa cạnh huyền, cạnh góc vuông, đường cao và hình chiếu để tính độ dài, chứng minh quan hệ và giải tam giác vuông.

Nội dung được hệ thống theo các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9, gồm bài tập tính cạnh, tính đường cao, hình chiếu, vận dụng tỉ số lượng giác và bài toán tổng hợp, kèm phương pháp giải, bài tự luyện và đáp án.

Kiến thức cần nhớ về hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong Toán 9, hệ thức lượng trong tam giác vuông biểu diễn mối quan hệ giữa cạnh huyền, hai cạnh góc vuông, đường cao, hình chiếu và các góc nhọn. Đây là nhóm kiến thức nền để giải các bài toán tính cạnh, tính góc, giải tam giác vuông và bài toán thực tế.

Các yếu tố cơ bản của tam giác vuông

Để áp dụng công thức chính xác, cần xác định đúng cạnh huyền, cạnh góc vuông, đường cao, hình chiếu và góc nhọn trong hình.

Vai trò của hệ thức trong giải toán hình học

Các hệ thức này được vận dụng trực tiếp trong bài tập tính cạnh, tính góc, giải tam giác vuông và bài toán thực tế.

• Thiết lập quan hệ giữa cạnh huyền, cạnh góc vuông, đường cao và hình chiếu để tính đại lượng chưa biết.

• Kết hợp với tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot để giải tam giác vuông.

• Hỗ trợ nhận dạng cấu trúc tam giác vuông trong các bài toán hình học và bài toán thực tế.

Công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Trong tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), có

• \(b=a\cdot\sin B=a\cdot\cos C\)

• \(c=a\cdot\sin C=a\cdot\cos B\)

Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Trong tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), có

• \(b=c\cdot\tan B=c\cdot\cot C\)

• \(c=b\cdot\tan C=b\cdot\cot B\)

Hệ thức Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.\[a^2 = b^2 + c^2\]

Hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao

Trong tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH hạ xuống cạnh huyền BC:

• Hai công thức thể hiện bình phương cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu của nó trên cạnh huyền: \[AB^2=BH.BC\]\[AC^2=HC.BC\]

• Công thức thức cho thấy bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.\[AH^2=BH.HC\]

• Công thức thể hiện mối quan hệ nhân giữa các cạnh và đường cao. \[AB.AC=AH.BC\]

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Với tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và góc nhọn \(B=\alpha\), các tỉ số lượng giác của góc nhọn được xác định theo cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền.

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của \(\alpha\), kí hiệu \(\sin \alpha\).

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của \(\alpha\), kí hiệu \(\cos \alpha\).

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc \(\alpha\) gọi là tang của \(\alpha\), kí hiệu \(\tan \alpha\).

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc \(\alpha\) gọi là côtang của \(\alpha\), kí hiệu \(\cot \alpha\).

Bảng tóm tắt công thức đầy đủ

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH, có bảng tóm tắt công thức sau:

Các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9

Tính cạnh và góc trong tam giác vuông

• Đặc điểm: Đề bài cho biết trước số đo của 2 yếu tố (ví dụ: độ dài 2 cạnh, hoặc độ dài 1 cạnh và số đo 1 góc) và yêu cầu tính các yếu tố còn lại.

• Phương pháp: Sử dụng trực tiếp định lí Pythagore hoặc các tỉ số lượng giác \(\sin, \cos, \tan\).

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat{C} = 30^\circ\) và \(BC=a\). Tính các cạnh \(AB\), \(AC\) theo \(a\).

Giải

• Có \(\sin C = \dfrac{AB}{BC}\), suy ra \(AB=BC \cdot \sin C = a \cdot \sin 30^\circ\).

• Có \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) nên \(AB=\dfrac{a}{2}\).

• Tương tự, có \(\cos C = \dfrac{AC}{BC}\), suy ra \[AC=BC \cdot \cos C = a \cdot \cos 30^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\]

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat{C} = 45^\circ\) và \(AB=c\). Tính \(BC\) và \(AC\) theo \(c\).

Giải

• Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\sin C = \dfrac{AB}{BC}\).

• Suy ra \(BC= \dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{c}{\sin 45^\circ} = c\sqrt{2}\).

• Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}\).

• Do đó \(\widehat{B} = \widehat{C} = 45^\circ\).

• Suy ra \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).

• Suy ra \(AC=AB=c\).

Giải tam giác vuông

Giải tam giác vuông là xác định các cạnh và góc còn lại khi đã biết đủ dữ kiện, thường là hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn.

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết \(AB=7\) cm và \(AC=24\) cm. Tính \(BC,\widehat{B},\widehat{C}\).

Giải:

Theo định lí Pythagore:

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{7^2+24^2}=25\text{ cm}\]

\(\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{24}{7}\), nên \(\widehat{B}\approx73{,}7^\circ\).

Suy ra \(\widehat{C}=90^\circ-\widehat{B}\approx16{,}3^\circ\).

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết \(AB=4\) cm và \(\widehat{B}=35^\circ\). Tính \(AC\), \(BC\) và \(\widehat{C}\).

Giải:

\(\widehat{C}=90^\circ-35^\circ=55^\circ\).

\[AC=AB\cdot\tan B=4\tan35^\circ\approx2{,}80\text{ cm}\]\[BC=\dfrac{AB}{\cos B}=\dfrac{4}{\cos35^\circ}\approx4{,}88\text{ cm}\]

Bài toán thực tế về hệ thức lượng

• Đặc điểm: Bài toán mô tả chiều cao, khoảng cách hoặc góc nghiêng và cần mô hình hóa thành tam giác vuông.

• Phương pháp: Xác định tam giác vuông, cạnh đã biết, góc đã biết và đại lượng cần tìm trước khi chọn tỉ số lượng giác phù hợp.

Ví dụ 1: Một thiết bị bay không người lái chuyển động theo đoạn thẳng \(AB\) tạo với phương ngang \(AC\) góc \(28^\circ\). Khi ở vị trí \(B\), độ cao so với mặt đất là \(BC=95\) m. Tính quãng đường \(AB\), làm tròn đến hàng phần mười của mét.

Giải:

Xét tam giác ABC vuông tại C:

\[\sin A=\dfrac{BC}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{95}{\sin28^\circ}\approx202{,}4\text{ m}\]

Ví dụ 2: Hai điểm quan sát \(P,Q\) nằm trên cùng một đường thẳng với chân \(B\) của một cột thẳng đứng, trong đó \(Q\) nằm giữa \(P\) và \(B\), \(PQ=180\) m. Góc nâng từ \(P\)và \(Q\) tới đỉnh \(A\) lần lượt là \(18^\circ\) và \(47^\circ\). Tính chiều cao \(AB=h\).

Giải:

Từ hai tam giác vuông \(ABP\) và \(ABQ\):

\[PB=\dfrac{h}{\tan18^\circ},\qquad QB=\dfrac{h}{\tan47^\circ}\]

Do \(PB-QB=PQ=180\), suy ra:

\[\dfrac{h}{\tan18^\circ}-\dfrac{h}{\tan47^\circ}=180\Rightarrow h\approx83{,}9\text{ m}\]

Chứng minh đẳng thức và hệ thức

• Đặc điểm: Dạng bài yêu cầu chứng minh một hệ thức từ các quan hệ đã biết trong tam giác vuông.

• Phương pháp: Kết hợp định lí Pythagore, các hệ thức về đường cao và phép biến đổi đại số phù hợp.

Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Chứng minh:

\[\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\]

Giải: Từ hệ thức \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\), bình phương hai vế:

\[AB^2AC^2=AH^2BC^2\]

Theo định lí Pythagore, \(BC^2=AB^2+AC^2\). Do đó:

\[AB^2AC^2=AH^2(AB^2+AC^2)\]

Chia hai vế cho \(AH^2AB^2AC^2\), thu được hệ thức cần chứng minh.

Cách giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Khi giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông, có thể thực hiện theo quy trình sau:

• Xác định dữ kiện: Vẽ hình, đánh dấu góc vuông, xác định cạnh huyền, cạnh góc vuông, đường cao, hình chiếu và góc đã biết.

• Chọn hệ thức: Lựa chọn công thức liên kết trực tiếp dữ kiện đã biết với đại lượng cần tìm.

• Tính toán: Thay số, biến đổi và chỉ làm tròn ở bước cuối nếu đề bài yêu cầu.

• Kiểm tra: Đối chiếu điều kiện hình học, đơn vị và tính hợp lí của kết quả; cạnh huyền phải lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9 theo mức độ

Đề bài

Bài 1 (nhận biết). Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(BH=3\) cm, \(HC=12\) cm. Tính \(AH\).

Bài 2 (nhận biết). Giải tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), với \(BC=a\), \(AC=b\), \(AB=c\), trong các trường hợp:

a) \(a=25,\ b=15\);

b) \(b=6,\ \widehat{C}=60^\circ\);

c) \(c=8,\ b=6\).

Bài 3 (thông hiểu). Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính BC, AH và BH.

Bài 4 (thông hiểu). Một máy đo góc được đặt tại điểm quan sát cách chân một cột thẳng đứng 75 m. Tâm ngắm cao \(1{,}6\) m so với mặt đất, góc nâng tới đỉnh cột là \(38^\circ\). Tính chiều cao của cột, làm tròn đến hàng phần mười của mét.

Bài 5 (vận dụng). Hai điểm quan sát P, Q nằm cùng phía so với chân B của một tháp, Q nằm giữa P và B, PQ = 120m. Góc nâng tới đỉnh tháp A tại P là \(30^\circ\), tại Q là \(50^\circ\). Tính chiều cao AB, làm tròn đến hàng phần mười của mét.

Bài 6 (vận dụng). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 25 cm và BH = 9 cm.

a) Tính CH, AB, AC và AH.

b) Tính sin B, tan C và số đo hai góc nhọn.

Đáp án

Bài 1. Theo hệ thức đường cao:

\[AH^2=BH\cdot HC=3\cdot12=36\Rightarrow AH=6\text{ cm}\]

Bài 2.

a) \(c=\sqrt{25^2-15^2}=20\); \(\sin B=\frac{15}{25}=\frac35\), nên \(\widehat B\approx37^\circ\), \(\widehat C\approx53^\circ\).

b) \(\widehat B=30^\circ\); \(a=\dfrac{6}{\cos60^\circ}=12\); \(c=6\tan60^\circ=6\sqrt3\).

c) \(a=\sqrt{6^2+8^2}=10\); \(\tan B=\frac68=\frac34\), nên \(\widehat B\approx36{,}9^\circ\), \(\widehat C\approx53{,}1^\circ\).

Bài 3. Theo định lí Pythagore, \(BC=15\)cm. Từ \(AB\cdot AC=BC\cdot AH\) và \(AB^2=BC\cdot BH\):

\[AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=7{,}2\text{ cm},\qquad BH=\dfrac{9^2}{15}=5{,}4\text{ cm}\]

Bài 4. Phần chiều cao từ tâm ngắm tới đỉnh cột là \(75\tan38^\circ\). Vì tâm ngắm cao \(1{,}6\) m:

\[h=75\tan38^\circ+1{,}6\approx60{,}2\text{ m}\]

Bài 5. Đặt \(AB=h\). Khi đó \(PB=\frac{h}{\tan30^\circ}\), \(QB=\frac{h}{\tan50^\circ}\). Do \(PB-QB=120\):

\[\dfrac{h}{\tan30^\circ}-\dfrac{h}{\tan50^\circ}=120\Rightarrow h\approx134{,}4\text{ m}\]

Bài 6. Có \(CH=BC-BH=16\) cm. Theo các hệ thức về đường cao:

\[AB=\sqrt{BC\cdot BH}=15,\quad AC=\sqrt{BC\cdot CH}=20,\quad AH=\sqrt{BH\cdot CH}=12\]

\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac45\), \(\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac34\). Do đó \(\widehat B\approx53{,}1^{\circ},\widehat C\approx36{,}9^{\circ}\).

Lỗi thường gặp khi giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Khi giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9, cần kiểm tra công thức, điều kiện tam giác vuông và chế độ góc trên máy tính.

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông tập trung vào việc vận dụng các hệ thức về cạnh, góc và tỉ số lượng giác để tính độ dài, số đo góc, giải tam giác vuông và xử lí bài toán thực tế. Khi giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9, cần xác định đúng dữ kiện, lựa chọn hệ thức phù hợp và kiểm tra tính hợp lí của kết quả.

Người học có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 9 để hệ thống kiến thức về tam giác vuông, tỉ số lượng giác và các dạng bài liên quan.