Tổng hợp bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông có đáp án

Trong Toán 9, bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông là dạng kiến thức trọng tâm và thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh lớp 10. Bài viết tổng hợp công thức về cạnh huyền, cạnh góc vuông, đường cao và hình chiếu; đồng thời hướng dẫn giải các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông theo từng dạng từ cơ bản đến nâng cao, kèm lời giải chi tiết, bài tự luyện và đáp án.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là gì?

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là tập hợp các công thức toán học biểu diễn mối quan hệ giữa độ dài các cạnh, đường cao và các góc nhọn trong tam giác vuông. Những công thức này cho phép liên kết cạnh huyền, hai cạnh góc vuông, các hình chiếu lên cạnh huyền và các tỉ số lượng giác.

Các yếu tố cơ bản của tam giác vuông

Để áp dụng chính xác các công thức, việc đầu tiên và quan trọng nhất là phải nhận diện đúng các yếu tố thành phần trong hình vẽ. Các yếu tố trong trong tam giác vuông được minh họa trong hình dưới đây:

Vai trò của hệ thức trong giải toán hình học

Hệ thức lượng trong tam giác vuông có các vai trò quan trọng sau, những vai trò này được thể hiện rõ qua các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông, từ tính độ dài cạnh đến giải tam giác và xử lý bài toán hình học tổng hợp.

• Hệ thức lượng cung cấp các công thức định lượng trực tiếp. Chỉ cần biết trước 2 trong số các yếu tố (cạnh huyền, cạnh góc vuông, đường cao, hình chiếu), bạn có thể thiết lập ngay một phương trình đại số để tìm yếu tố còn lại mà không cần vẽ thêm nét nào.

• Giải tam giác vuông: Hệ thức lượng kết hợp với tỷ số lượng giác (\(\sin, \cos, \tan, \cot\)) giúp bạn tính toán toàn bộ các cạnh và các góc chưa biết của một tam giác vuông một cách nhanh chóng.

• Hệ thức lượng định hướng cho học sinh tư duy "hạ đường vuông góc" hoặc "tìm tam giác vuông". Khi học sinh nhìn ra được một cấu trúc tam giác vuông có đường cao ẩn giấu bên trong một hình phức tạp, bài toán khó sẽ lập tức được tháo gỡ thành các bài toán tính toán cơ bản.

Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Trong tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), ta có:

• \(b=a\cdot\sin B=a\cdot\cos C\)

• \(c=a\cdot\sin C=a\cdot\cos B\)

Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Trong tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), ta có:

• \(b=c\cdot\tan B=c\cdot\cot C\)

• \(c=b\cdot\tan C=b\cdot\cot B\)

Hệ thức Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.\[a^2 = b^2 + c^2\]

Hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao

Trong tam giác vuông AB vuông tại A, có đường cao AH hạ xuống cạnh huyền BC:

• Hai công thức thể hiện bình phương cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu của nó trên cạnh huyền: \[AB^2=BH.BC\]\[AC^2=HC.BC\]

• Công thức thức cho thấy bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.\[AH^2=BH.HC\]

• Công thức thể hiện mối quan hệ nhân giữa các cạnh và đường cao. \[AB.AC=AH.BC\]

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Để xác định tỷ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha\). Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có góc nhọn \(B\) bằng \(\alpha\). Ta có:

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của \(\alpha\), kí hiệu \(\sin \alpha\).

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của \(\alpha\), kí hiệu \(\cos \alpha\).

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc \(\alpha\) gọi là tang của \(\alpha\), kí hiệu \(\tan \alpha\).

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc \(\alpha\) gọi là côtang của \(\alpha\), kí hiệu \(\cot \alpha\).

Bảng tóm tắt công thức đầy đủ

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH, ta có bảng tóm tắt công thức sau:

Các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tính cạnh và góc trong tam giác vuông

• Đặc điểm: Đề bài cho biết trước số đo của 2 yếu tố (ví dụ: độ dài 2 cạnh, hoặc độ dài 1 cạnh và số đo 1 góc) và yêu cầu tính các yếu tố còn lại.

• Phương pháp: Sử dụng trực tiếp định lý Pythagore hoặc các tỷ số lượng giác \(\sin, \cos, \tan\).

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat{C} = 30^\circ\) và \(BC=a\). Tính các cạnh \(AB\), \(AC\) theo \(a\).

Giải

• Ta có \(\sin C = \dfrac{AB}{BC}\), suy ra \(AB=BC \cdot \sin C = a \cdot \sin 30^\circ\).

• Ta có, \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) nên \(AB=\dfrac{a}{2}\).

• Tương tự, ta có \(\cos C = \dfrac{AC}{BC}\), suy ra \(AC=BC \cdot cos C = a \cdot \cos 30^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat{C} = 45^\circ\) và \(AB=c\). Tính \(BC\) và \(AC\) theo \(c\).

Giải

• Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\sin C = \dfrac{AB}{BC}\).

• Suy ra \(BC= \dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{c}{\sin 45^\circ} = c\sqrt{2}\).

• Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}\).

• Do đó \(\widehat{B} = \widehat{C} = 45^\circ\).

• Suy ra \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).

• Suy ra \(AC=AB=c\).

Giải tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán Giải tam giác vuông.

Ví dụ 1: Giải các tam giác vuông ở hình sau. Làm tròn kết quả độ dài đến hàng đơn vị và số đo góc đến độ.

Giải

a) Xét \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+8^2} \approx 9{,}4.\]

Ta có \(\tan C=\dfrac{A B}{AC}=\dfrac{5}{6}=0{,}8(3)\).

Từ đó tìm được \(\widehat{C} \approx 39^\circ\)48', suy ra \(\widehat{B}=90^\circ-\widehat{C} \approx 90^\circ-32^\circ=50^\circ\)11'.

b) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{11}\) suy ra \(\widehat{C} \approx 33^\circ\), \(\widehat{B} \approx 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ\).

Theo định lí Pythagore, ta có

\[AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{11^2-6^2}=\sqrt{121-36} \approx 9\].

Ví dụ 2: Giải tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) biết:

a) \(AB = 4\), \(AC = 6\);

b) \(A B=3\), \(\widehat{B}=42^\circ\);

Giải

a)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2= 4^2 + 6^2 = 52\] hay \(BC = \sqrt{52}\approx 7{,}2\) (cm);

\(\tan B =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\), suy ra \(\widehat{B}\approx 56^\circ\);

\(\widehat{B}+\widehat{C}= 90^\circ\) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông),

suy ra \[\widehat{C} = 90^\circ -\widehat{B}= 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ\].

b)

Xét \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\), ta có

\[\widehat{C}=90^\circ-\widehat{B}=90^\circ-42^\circ=48^\circ\];

\[A C=A B \cdot \tan B=3 \cdot \tan 42^\circ \approx 2{,}701\]

Ta có \(\cos B=\dfrac{A B}{B C}\), suy ra

\[B C=\dfrac{A B}{\cos B}=\dfrac{3}{\cos 42^\circ} \approx 4{,}037.\]

Tham khảo thêm: Giá trị lượng giác | Công thức, cách tính và bài tập Toán 10.

Bài toán thực tế về hệ thức lượng

• Đặc điểm: Đề bài mô tả một tình huống thực tiễn như tính chiều cao của một cái cây nhờ bóng của nó, tính khoảng cách giữa hai bờ sông, hay tính góc nghiêng của chiếc thang dựa vào tường.

• Phương pháp: Mô hình hóa toán học bằng cách vẽ sơ đồ phẳng, chuyển các vật thể thực tế thành các đoạn thẳng tạo thành tam giác vuông, xác định đại lượng cần tìm và áp dụng hệ thụ ức.

Ví dụ 1: Một máy bay cất cánh từ vị trí \(A\) trên đường băng của sân bay và bay theo đường thẳng \(AB\) tạo với phương nằm ngang \(AC\) một góc là \(20^{\circ}\). Sau \(5\) giây, máy bay ở độ cao \(BC=110\) m. Em hãy tính khoảng cách \(AB\) (làm tròn kết quả đến hàng trăm của mét).

Giải

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có

\(\sin A=\dfrac{BC}{AB}\). Suy ra \[AB=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{110}{\sin 20^\circ}\approx 361{,}62 (\text{m})\]

Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) là khoảng \(361{,}62\) m.

Ví dụ 2: Hai con thuyền \(P\) và \(Q\) cách nhau \(300\) m và thẳng hàng với chân \(B\) của tháp hải đăng ở trên bờ biển. Từ \(P\) và \(Q\), người ta nhìn thấy tháp hải đăng dưới các góc \(\widehat{BPQ}=14^\circ\) và \(\widehat{BQA}=42^\circ\). Đặt \(h=AB\) là chiều cao của tháp hải đăng.

a) Tính \(BQ\) và \(BP\) theo \(h\).

b) Tính chiều cao của tháp hải đăng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Giải

a) Xét tam giác \(BQA\) vuông tại \(B\), ta có \(\tan Q=\dfrac{AB}{QB}\) nên \[BQ=\dfrac{AB}{\tan 42^\circ} = \dfrac{h}{\tan 42^\circ}\].

Xét tam giác \(BPA\) vuông tại \(B\), ta có \(\tan P=\dfrac{AB}{PB}\) nên \[PB=\dfrac{AB}{\tan 14^\circ} = \dfrac{h}{\tan 14^\circ}\]

b) Ta có \(BP-BQ=300\). Suy ra

\[\begin{aligned} & \dfrac{h}{\tan42^\circ}-\dfrac{h}{\tan14^\circ}=300\\ & h=\dfrac{300}{\dfrac{1}{\tan14^\circ} - \dfrac{1}{\tan42^\circ}}\approx103{,}4\text{ (m).}\end{aligned}\]

Vậy chiều cao của tháp hải đăng là khoảng \(103{,}4\) m.

Chứng minh đẳng thức và hệ thức

• Đặc điểm: Đây là dạng toán phân loại học sinh khá, giỏi. Đề bài yêu cầu chứng minh một hệ thức phức tạp.

• Phương pháp: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, bắc cầu, toán đồng dạng, hoặc phân tích vế phức tạp về vế đơn giản thông qua các hệ thức lượng cốt lõi.

Ví dụ: Trong hình bên cho \(\widehat{O}=\alpha\), \(AB=m\) và \(\widehat{OAB}=\widehat{OCA}=\widehat{ODC}=90^\circ\). Chứng minh

a) \(OA=m\cdot\cot\alpha\);

b) \(AC=m\cdot\cos\alpha\);

c) \(CD=m\cdot\cos^2\alpha\).

Giải

a) Xét \(\triangle OAB\) vuông tại \(A\), có \(OA=AB\cdot \cot\widehat{BOA}=m\cdot\cot\alpha\).

b) Ta có \(\widehat{BAC}=90^\circ-\widehat{ABC}=90^\circ-\widehat{ABO}=\alpha\).

Xét \(\triangle ABC\) vuông tại \(C\) có \(AC=AB\cdot\cos\widehat{BAC}=m\cdot\cos\alpha\).

c) Ta có \(\widehat{DCA}=90^\circ-\widehat{CAD}=90^\circ-\widehat{CAO}=\alpha\).

Xét \(\triangle ACD\) vuông tại \(D\) có \(CD=AC\cdot\cos\widehat{DCA}=AC\cdot\cos\alpha\).

Mà theo câu \(b)\) ta lại có \(AC=m\cdot\cos\alpha\) nên \(CD=m\cdot\cos^2\alpha\).

Hướng dẫn chi tiết giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Để giải quyết một bài toán hình học một cách khoa học và không bị sót ý, ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Phương pháp xác định dữ liệu đề bài: Đọc kỹ đề bài, vẽ hình rõ ràng, chính xác. Đánh dấu ký hiệu vuông góc đầy đủ. Liệt kê ra nháp: Đề bài đã cho biết những cạnh nào? Góc nào? Yêu cầu tính đại lượng nào?

• Bước 2: Lựa chọn công thức phù hợp: Tìm công thức liên kết giữa "cái đã cho" và "cái cần tìm".

• Bước 3: Từng bước tính toán. Lưu ý khi trình bày, luôn luôn có câu dẫn ví dụ như: "Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\), áp dụng hệ thức lượng ta có...". Thay số cẩn thận, chú ý thực hiện khai căn bậc hai chính xác và giữ nguyên căn thức nếu đề không yêu cầu làm tròn.

• Bước 4: Kiểm tra kết quả: Hãy dùng tư duy logic để rà soát: Cạnh huyền phải luôn là cạnh lớn nhất trong tam giác vuông. Đường cao luôn ngắn hơn các cạnh góc vuông. Nếu tính ra cạnh huyền ngắn hơn cạnh góc vuông, chắc chắn đã áp dụng sai công thức hoặc tính toán nhầm ở đâu đó!

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông theo các mức độ

Đề bài

Bài 1. (Nhận biết) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(HB = 2\text{ cm}\), \(HC = 8\text{ cm}\). Tính độ dài đường cao \(AH\).

Bài 2. (Nhận biết) Giải tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) có \(B C=a\), \(A C=b\), \(A B=c\), trong các trường hợp:

a) \(a=21\), \(b=18\);

b) \(b=10\), \(\widehat{C}=30^{\circ}\);

c) \(c=5\), \(b=3\).

Bài 3. (Nhận biết) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(AB = 6\text{ cm}\), \(AC = 8\text{ cm}\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AH\) và \(BH\).

Bài 4. (Thông hiểu) Để ước lượng chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh tháp, người ta sử dụng giác kế, thước cuộn, máy tính cầm tay. Chẳng hạn, ở hình bên, để đo chiều cao \(AD\) của tháp, người ta đặt giác kế tại một điểm quan sát cách chân tháp một khoảng \(CD=OB=a\), trong đó chiều cao của điểm đặt giác kế là \(OC=b\). Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm thanh này ta nhìn thấy đỉnh \(A\) của tháp, đọc trên giác kế số đo \(\alpha\) của góc \(AOB\). Tính chiều cao của tháp, biết \(\alpha=42^{\circ}\); \(b=13{,}81\) m; \(a=90\) m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Bài 5. (Vận dụng) Trong lần đến tham quan tháp Eiffel (ở Thủ đô Paris, Pháp), bạn Vân muốn ước tính độ cao của tháp. Sau khi quan sát, bạn Vân đã minh hoạ lại kết quả đo đạc ở hình bên. Em hãy giúp bạn Vân tính độ cao \(h\) của tháp Eiffel theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bài 6. (Vận dụng) Cho hình thang \(A B C D\) \((A D \parallel B C)\) có \(A D=16\) cm, \(B C=4\) cm và \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{A C D}=90^{\circ}\).

a) Kẻ đường cao \(C E\) của tam giác \(A C D\). Chứng minh \(\widehat{ADC}=\widehat{ACE}\). Tính sin của các góc \(\widehat{ADC}\), \(\widehat{ACE}\) và suy ra \(AC^2=AE\cdot AD\). Từ đó tính \(AC\).

b) Tính góc \(D\) của hình thang.

Đáp án

Bài 1.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(AH^2=HB\cdot HC=2\cdot8=16\)

\(\Rightarrow AH = \sqrt{16} = 4 \text{ (cm)}\)

Vậy độ dài đường cao \(AH\) là \(4\text{ cm}\).

Bài 2.

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có

• \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{21^2-18^2}=3\sqrt{13}\) (Định lý Pythagoras).

• \(\cos B=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3\sqrt{13}}{21}=\dfrac{\sqrt{13}}{7}\Rightarrow \widehat{B}\approx59^\circ\).

• \(\widehat{C}=90^\circ-\widehat{B}=90^\circ-59^\circ=31^\circ\).

b) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có

• \(\widehat{B}=90^\circ-\widehat{C}=90^\circ-30^\circ=60^\circ\)

• \[\cos C=\dfrac{b}{a}\Rightarrow a=\dfrac{b}{\cos C}=\dfrac{10}{\cos 30^\circ}=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\]

• \[c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{\left(\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\right)^2-10^2}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\] (Định lý Pythagoras).

c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có

• \(a=\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}\) (Định lý Pythagoras).

• \(\cos B=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{\sqrt{34}}\Rightarrow \widehat{B}\approx30{,}96^\circ\).

• \(\widehat{C}=90^\circ-\widehat{B}=90^\circ-30{,}96^\circ=59{,}04^\circ\).

Bài 3.

Áp dụng định lý Pythagore vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\):

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\]

\(\Rightarrow BC = \sqrt{100} = 10 \text{ (cm)}\)

Áp dụng hệ thức lượng: \(AB \cdot AC = BC \cdot AH\)

\(\Rightarrow AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \text{ (cm)}\)

Áp dụng hệ thức lượng: \(AB^2 = BC \cdot BH\)

\(\Rightarrow BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \text{ (cm)}\)

Vậy \(AH = 4.8\text{ cm}\) và \(BH = 3.6\text{ cm}\).

Bài 4.

Vì tam giác \(O A B\) vuông tại \(B\) nên

\[\begin{eqnarray*} AB=OB\cdot\tan\widehat{AOB}=90\cdot\tan 42^{\circ}\approx 81{,}04 \text{ (m).} \end{eqnarray*}\]

Vậy chiều cao của tháp khoảng

\(\begin{eqnarray*} 81{,}04+13{,}81=94{,}85 \text{ (m).} \end{eqnarray*}\)

Bài 5.

Xét tam giác \(ADC\) vuông tại \(C\), ta có:

\(AC=h\cdot\cot\widehat{DAC}=h\cdot\cot 60^{\circ}\) (m).

Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(C\), ta có:

\(B C=h\cdot\cot\widehat{DBC}=h\cdot\cot 75^{\circ}\) (m).

Do \(AC-BC=AB=101\) nên

\(h\cdot\cot 60^{\circ}-h\cdot\cot 75^{\circ}=101\)

hay \(h\cdot\left(\cot 60^{\circ}-\cot 75^{\circ}\right)=101\) (m).

Suy ra \(h=\dfrac{101}{\cot 60^{\circ}-\cot 75^{\circ}}\approx 326\) (m).

Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng \(326\) (m).

Bài 6.

a) Ta có

• \(\widehat{ADC}+\widehat{CAD}=90^\circ\) (tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\)).

• \(\widehat{ACE}+\widehat{CAD}=90^\circ\) (tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\)).

Suy ra \(\widehat{ADC}=\widehat{ACE}\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) có \(\sin \widehat{ADC}=\dfrac{AC}{AD}\).

Tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\) có \(\sin \widehat{ACE}=\dfrac{AE}{AC}\).

Suy ra \[\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AD}{AC}\Rightarrow AC^2=AE\cdot AD\].

Vì tứ giác \(AECB\) có \(\widehat{B}=\widehat{BAE}=\widehat{AEC}=90^\circ\) nên tứ giác \(AECB\) là hình chữ nhật.

\(\Rightarrow AE=BC=4\) cm và \(AB=CE\).

Ta có \(AC^2=AE\cdot AD=4\cdot 16=64\Rightarrow AC=8\) cm.

b) Ta có

\[\sin \widehat{ADC}\cdot \sin \widehat{ACE}=\dfrac{AC}{AD}\cdot \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AE}{AD}\Rightarrow \left(\sin \widehat{ADC}\right)^2=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \sin \widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat{D}=30^\circ\).

Những sai lầm phổ biến khi giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong quá trình chấm bài, các thầy cô thường nhận thấy học sinh rất dễ mất điểm oan vì những lỗi sai ngớ ngẩn sau:

• Nhầm lẫn các công thức hệ thức: Áp dụng nhầm lẫn giữa các đoạn thẳng, ví dụ viết \(AH^2 = AB \cdot AC\) thay vì \(AH^2 = HB \cdot HC\).

• Sai lầm trong việc áp dụng tỷ số lượng giác: Áp dụng hệ thức lượng hoặc tỷ số lượng giác vào một tam giác... không vuông! Nhiều bạn nhìn hình thấy "gần vuông" hoặc ngộ nhận vuông rồi áp dụng luôn mà không chứng minh.

• Lỗi tính toán: Quên không khai căn, hoặc bấm máy tính để sai chế độ Radian thay vì Degree khi tính góc.

Cách sửa chữa:

• Luôn luôn vẽ hình minh họa ra nháp, viết công thức bằng ký hiệu chữ trước rồi mới thế số vào sau.

• Trước khi viết công thức, bắt buộc phải có bước xét tam giác và chỉ rõ nó vuông tại đâu.

• Luôn kiểm tra lại đơn vị trên máy tính (phải có chữ \(D\) nhỏ trên màn hình). Sau khi ra kết quả, hãy thử thế ngược lại vào định lý Pythagore xem tam giác có thỏa mãn hay không.

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông không hề đáng sợ nếu bạn nắm chắc công thức và biết cách phân loại bài toán. Việc ôn luyện thường xuyên, tự tay giải từ các bài tập nhận biết đơn giản cho đến các bài toán chứng minh hình học phức tạp sẽ giúp bạn hình thành phản xạ nhạy bén. Hãy kiên trì rèn luyện mỗi ngày, vì đây chính là bệ phóng vững chắc giúp bạn tự tin giành điểm số tối đa môn Toán trong kỳ thi vào lớp 10 sắp tới. Sau kỳ thi, bạn có thể tiếp tục củng cố kiến thức và làm quen với chương trình mới qua hệ thống bài học Toán 10 tại ZIM Academy.