Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 có lời giải

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử giúp người học lớp 8 rèn cách biến đổi một đa thức thành tích của các đa thức khác. Kỹ năng này được vận dụng khi rút gọn biểu thức, tìm x và chứng minh chia hết. Bài viết hệ thống bài tập theo ba phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử. Mỗi bài có phân tích đề, lời giải từng bước và đáp án để các bạn tự học, đối chiếu cách làm

Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành một tích của những đa thức khác. Đây là chiều ngược của phép nhân: thay vì khai triển các ngoặc, người học tìm những nhân tử tạo nên đa thức ban đầu. [1]

Chẳng hạn, biểu thức trong ngoặc sau khi đặt nhân tử chung được tìm bằng cách chia từng hạng tử cho nhân tử đã chọn. Tính chất phân phối được sử dụng theo chiều:

\[AB+AC=A(B+C).\]

Kết quả phải là một tích; việc chỉ sắp xếp lại các hạng tử chưa hoàn thành yêu cầu. Sau mỗi lần biến đổi, cần xem các nhân tử còn phân tích tiếp bằng kiến thức đã học được không, rồi nhân ngược để kiểm tra.

Có thể ôn quy tắc phân phối trong bài nhân đơn thức với đa thức để kiểm tra kết quả sau khi phân tích.

Một đa thức có thể có nhiều cách phân tích tương đương. Thứ tự các nhân tử có thể đổi theo tính chất giao hoán của phép nhân. Vì vậy, khi đối chiếu đáp án, cần nhân các nhân tử và thu gọn để kiểm tra có trở về đa thức ban đầu hay không, thay vì chỉ so sánh thứ tự các ngoặc.

Kỹ năng này giúp nhận ra nhân tử chung khi rút gọn biểu thức, đưa phương trình về tích bằng không và tìm yếu tố bảo đảm tính chia hết. Khi rút gọn phân thức, vẫn phải giữ điều kiện để mẫu ban đầu khác không.

Các dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử và cách chọn phương pháp

Trong Toán 8 Kết nối tri thức, Bài 9 tập trung vào ba phương pháp: đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức và nhóm các hạng tử. Một bài có thể cần phối hợp các phương pháp này. Bảng sau giúp nhận biết hướng làm trước khi xem lời giải.

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

Khi các hạng tử cùng chứa một nhân tử, hãy đặt nhân tử đó ra ngoài ngoặc. Với hệ số nguyên, thường chọn ước chung lớn nhất của các hệ số; phần biến chỉ gồm các biến xuất hiện ở mọi hạng tử, lấy số mũ nhỏ nhất. [1]

Quy trình gồm ba bước: xác định nhân tử chung, chia từng hạng tử để viết phần trong ngoặc, rồi nhân ngược kiểm tra. Có thể ôn cách nhận diện ở bài đặt nhân tử chung.

Một biến chỉ có ở một vài hạng tử không thuộc phần chung của toàn đa thức. Khi đưa một nhân tử ra ngoài ngoặc, cần giữ đủ số hạng bên trong. Nếu một hạng tử bằng chính nhân tử chung, phần còn lại của hạng tử ấy là 1, không được bỏ đi.

Bài 1. Đặt nhân tử chung có nhiều biến

Đề bài:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\[P=12x^3y-18x^2y^2.\]

Phân tích đề bài:

Hai hạng tử đều chứa cả x và y. Cần xét riêng hệ số và số mũ của từng biến để chọn phần chung đầy đủ, thay vì chỉ đưa một hệ số ra ngoài ngoặc.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Xác định nhân tử chung. Ước chung lớn nhất của 12 và 18 là 6. Số mũ nhỏ nhất của x là 2, của y là 1. Nhân tử chung được chọn là \(6x^2y\).

Bước 2: Viết từng hạng tử theo nhân tử chung:

\[\begin{aligned}12x^3y&=6x^2y\cdot 2x\\-18x^2y^2&=6x^2y\cdot(-3y).\end{aligned}\]

Suy ra:

\[P=6x^2y(2x-3y).\]

Bước 3: Nhân ngược để kiểm tra:

\[6x^2y(2x-3y)=12x^3y-18x^2y^2.\]

Đáp án:

\[P=6x^2y(2x-3y).\]

Bài 2. Đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung

Đề bài:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\[Q=5x(x-y)+2y(y-x).\]

Phân tích đề bài:

Hai ngoặc có các hạng tử đảo thứ tự nên đối nhau. Cần đổi \(y-x\) thành \(-(x-y)\) để tạo cùng một ngoặc; dấu trừ mới phải tác động đến toàn bộ hạng tử chứa ngoặc đó.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Đổi dấu và xác định nhân tử chung:

\[\begin{aligned}y-x&=-(x-y)\\2y(y-x)&=-2y(x-y).\end{aligned}\]

Vì vậy, hai hạng tử cùng chứa \(x-y\).

Bước 2: Đặt ngoặc chung ra ngoài:

\[Q=5x(x-y)-2y(x-y)=(x-y)(5x-2y).\]

Bước 3: Kiểm tra bằng khai triển:

\[(x-y)(5x-2y)=5x^2-7xy+2y^2.\]

Biểu thức ban đầu cũng bằng \(5x^2-5xy+2y^2-2xy\), nên hai kết quả trùng nhau.

Đáp án:

\[Q=(x-y)(5x-2y).\]

Lưu ý: Khi đổi thứ tự hai hạng tử trong một hiệu, cần đổi dấu của cả hiệu để không làm thay đổi đa thức.

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng hằng đẳng thức

Phương pháp này phù hợp khi đa thức khớp một hằng đẳng thức đã học. Cách làm: xác định hai biểu thức đóng vai trò A, B; đối chiếu đủ hệ số và dấu; viết thành tích rồi khai triển để kiểm tra. [1]

Với bình phương của tổng hoặc hiệu, không chỉ nhìn hai hạng tử bình phương: hạng tử giữa phải đúng bằng hai lần tích hai biểu thức. Có thể ôn công thức trong bài hằng đẳng thức đáng nhớ.

Các chữ A, B trong công thức có thể đại diện cho đơn thức hoặc cả một biểu thức. Khi thay vào, nên dùng ngoặc để tránh sai số mũ và dấu. Dấu âm của hạng tử giữa quyết định chọn bình phương của hiệu; hạng tử cuối của bình phương ấy vẫn mang dấu cộng.

Bài 3. Bình phương của một tổng

Đề bài:

Phân tích \(M=4x^2+12x+9\) thành nhân tử.

Phân tích đề bài:

Hạng tử đầu và cuối là bình phương của \(2x\) và 3. Hạng tử giữa mang dấu cộng; cần kiểm tra hệ số 12 trước khi dùng bình phương của một tổng.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Nhận diện bình phương của một tổng. Có:

\[\begin{aligned}4x^2&=(2x)^2\\12x&=2\cdot2x\cdot3\\9&=3^2.\end{aligned}\]

Bước 2: Viết lại đa thức và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

\[\begin{aligned}M&=4x^2+12x+9\\&=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3+3^2\\&=(2x+3)^2.\end{aligned}\]

Bước 3: Khai triển \((2x+3)(2x+3)\) được \(4x^2+6x+6x+9=4x^2+12x+9\), đúng với đề bài.

Đáp án:

\[M=(2x+3)^2=(2x+3)(2x+3).\]

Bài 4. Bình phương của một hiệu

Đề bài:

Phân tích \(N=9x^2-24xy+16y^2\) thành nhân tử.

Phân tích đề bài:

Hai hạng tử bình phương tương ứng với \(3x\) và \(4y\). Hạng tử giữa âm, có độ lớn bằng hai lần tích của chúng, nên chọn bình phương của một hiệu.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Nhận diện bình phương của một hiệu. Có:

\[\begin{aligned}9x^2&=(3x)^2\\-24xy&=-2\cdot3x\cdot4y\\16y^2&=(4y)^2.\end{aligned}\]

Bước 2: Viết lại đa thức và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:

\[\begin{aligned}N&=9x^2-24xy+16y^2\\&=(3x)^2-2\cdot3x\cdot4y+(4y)^2\\&=(3x-4y)^2.\end{aligned}\]

Bước 3: Nhân ngược được \(9x^2-12xy-12xy+16y^2\), đúng bằng đa thức ban đầu.

Đáp án:

\[N=(3x-4y)^2=(3x-4y)(3x-4y).\]

Bài 5. Hiệu hai bình phương

Đề bài:

Phân tích \(R=25x^2-4y^2\) thành nhân tử.

Phân tích đề bài:

Đa thức gồm hai hạng tử có dấu trừ ở giữa; mỗi hạng tử là một bình phương. Chọn \(A=5x\), \(B=2y\) để dùng công thức hiệu hai bình phương.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Nhận diện hai hạng tử là các bình phương:

\[\begin{aligned}25x^2&=(5x)^2\\4y^2&=(2y)^2.\end{aligned}\]

Bước 2: Viết lại đa thức và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

\[\begin{aligned}R&=25x^2-4y^2\\&=(5x)^2-(2y)^2\\&=(5x-2y)(5x+2y).\end{aligned}\]

Bước 3: Khai triển để kiểm tra:

\[\begin{aligned}(5x-2y)(5x+2y)&=25x^2+10xy-10xy-4y^2\\&=25x^2-4y^2.\end{aligned}\]

Đáp án:

\[R=(5x-2y)(5x+2y).\]

Không áp dụng công thức này cho tổng hai bình phương. Hai dấu khác nhau trong hai ngoặc là yếu tố làm các hạng tử chéo triệt tiêu.

Bài 6. Tổng hai lập phương

Đề bài: Phân tích \(S=x^3+64\) thành nhân tử.

Phân tích đề bài: Vì \(64=4^3\), chọn \(A=x\) và \(B=4\) để dùng tổng hai lập phương. Nhân tử bậc hai có hạng tử giữa mang dấu trừ.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Viết 64 dưới dạng lập phương: \(64=4^3\).

Bước 2: Áp dụng công thức:

\[\begin{aligned}S&=x^3+4^3\\&=(x+4)(x^2-4x+16).\end{aligned}\]

Bước 3: Nhân ngược để kiểm tra:

\[\begin{aligned}(x+4)(x^2-4x+16)&=x^3-4x^2+16x\\&\quad+4x^2-16x+64\\&=x^3+64.\end{aligned}\]

Đáp án: \(S=(x+4)(x^2-4x+16)\).

Bài 7. Hiệu hai lập phương

Đề bài:

Phân tích \(T=8x^3-1\) thành nhân tử.

Phân tích đề bài:

Có \(8x^3=(2x)^3\) và \(1=1^3\). Đây là hiệu hai lập phương; cần dùng \(A=2x\), thay vì chỉ lấy \(A=x\) rồi bỏ qua hệ số 8.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Nhận diện hiệu hai lập phương. Có:

\[\begin{aligned}8x^3&=(2x)^3\\1&=1^3.\end{aligned}\]

Bước 2: Viết lại đa thức và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:

\[\begin{aligned}T&=8x^3-1\\&=(2x)^3-1^3\\&=(2x-1)\big[(2x)^2+2x\cdot1+1^2\big]\\&=(2x-1)(4x^2+2x+1).\end{aligned}\]

Bước 3: Khai triển:

\[\begin{aligned}(2x-1)(4x^2+2x+1)&=8x^3+4x^2+2x-4x^2-2x-1\\&=8x^3-1.\end{aligned}\]

Đáp án:

\[T=(2x-1)(4x^2+2x+1).\]

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử

Khi chưa thấy nhân tử chung của toàn bộ đa thức, hãy tìm các nhóm có thể phân tích được. Mục tiêu là tạo ra cùng một nhân tử giữa các nhóm. Không nhất thiết ghép các hạng tử đứng cạnh nhau trong đề. [1]

Cách làm gồm ba bước: chọn nhóm và giữ đúng dấu; phân tích từng nhóm rồi đặt nhân tử chung; nhân ngược kiểm tra. Nếu sau khi nhóm không xuất hiện phần chung, nên xem lại cách ghép.

Nếu cần hệ thống lại cách lựa chọn phương pháp, học sinh có thể ôn phần phân tích đa thức thành nhân tử trước khi làm các bài phối hợp.

Trước khi mở ngoặc, hãy xác định dấu đứng trước cả nhóm. Nếu có dấu trừ, mọi hạng tử bên trong đều đổi dấu khi bỏ ngoặc. Sau khi phân tích từng nhóm, có thể cần đổi dấu một ngoặc để các nhân tử chung giống nhau hoàn toàn.

Bài 8. Nhóm các hạng tử theo từng cặp

Đề bài:

Phân tích \(U=xy+3x+2y+6\) thành nhân tử.

Phân tích đề bài:

Hai hạng tử đầu có nhân tử x; hai hạng tử cuối có nhân tử 2. Nhóm theo hai cặp này sẽ tạo cùng ngoặc \(y+3\), thuận lợi để phân tích tiếp.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Nhóm thành hai cặp:

\[U=(xy+3x)+(2y+6).\]

Bước 2: Phân tích từng nhóm, sau đó đặt ngoặc chung:

\[U=x(y+3)+2(y+3)=(y+3)(x+2).\]

Bước 3: Kiểm tra bằng khai triển:

\[(y+3)(x+2)=xy+2y+3x+6=xy+3x+2y+6.\]

Đáp án:

\[U=(x+2)(y+3).\]

Bài 9. Nhóm hạng tử kết hợp hằng đẳng thức

Đề bài:

Phân tích \(V=x^2-6x+9-y^2\) thành nhân tử.

Phân tích đề bài:

Ba hạng tử đầu tạo thành bình phương của một hiệu. Vì vậy, nên nhóm ba hạng tử này, rồi dùng hiệu hai bình phương. Chỉ nhóm theo từng cặp sẽ khó thấy cấu trúc cần dùng.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Nhóm ba hạng tử đầu:

\[V=(x^2-6x+9)-y^2.\]

Bước 2: Kiểm tra \(6x=2\cdot x\cdot3\) và \(9=3^2\), rồi phân tích:

\[V=(x-3)^2-y^2=(x-3-y)(x-3+y).\]

Bước 3: Nhân ngược hai ngoặc bằng hiệu hai bình phương, sau đó khai triển:

\[(x-3-y)(x-3+y)=(x-3)^2-y^2=x^2-6x+9-y^2.\]

Đáp án:

\[V=(x-3-y)(x-3+y).\]

Bài tập vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào tìm x và chứng minh chia hết

Với bài tìm x, cần đưa một vế về 0 rồi viết vế kia thành tích. Một tích bằng 0 khi có ít nhất một nhân tử bằng 0. Với bài chia hết, cần chỉ ra các nhân tử bảo đảm xuất hiện ước cần chứng minh. [1]

Hai yêu cầu này có điểm kết thúc khác nhau. Bài tìm x cần liệt kê đủ giá trị thỏa mãn đề bài. Bài chứng minh chia hết cần lập luận cho mọi giá trị thuộc phạm vi đã cho; một bảng thử số chỉ giúp dự đoán, không thay thế được chứng minh.

Với bài tìm x, có thể đọc thêm cách giải phương trình tích để hiểu việc xét từng nhân tử bằng 0.

Bài 10. Tìm x bằng cách đưa về tích bằng không

Đề bài: Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn:

\[3x^3-75x=0.\]

Phân tích đề bài: Vế trái có nhân tử chung 3x; biểu thức còn lại là hiệu hai bình phương. Không chia hai vế cho x vì có thể làm mất nghiệm x = 0.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Phân tích vế trái:

\[\begin{aligned}3x^3-75x&=3x(x^2-25)\\&=3x(x-5)(x+5).\end{aligned}\]

Bước 2: Từ \(3x(x-5)(x+5)=0\) và 3 khác 0, xét đủ các trường hợp:

\[\begin{aligned}x&=0;\\x-5=0&\Rightarrow x=5;\\x+5=0&\Rightarrow x=-5.\end{aligned}\]

Bước 3: Thay lại vào biểu thức ban đầu:

\[\begin{aligned}3\cdot0^3-75\cdot0&=0;\\3\cdot5^3-75\cdot5&=375-375=0;\\3\cdot(-5)^3-75\cdot(-5)&=-375+375=0.\end{aligned}\]

Đáp án: \(x=-5\), \(x=0\) hoặc \(x=5\).

Bài 11. Chứng minh chia hết bằng cách phân tích thành nhân tử

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, biểu thức \(n^3+3n^2+2n\) chia hết cho 6.

Phân tích đề bài: Đặt n làm nhân tử chung, sau đó nhóm để tạo tích ba số nguyên liên tiếp. Cần lập luận cho mọi số nguyên n, không chỉ kiểm tra một vài giá trị.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Phân tích biểu thức thành nhân tử:

\[\begin{aligned}n^3+3n^2+2n&=n(n^2+3n+2)\\&=n[(n^2+n)+(2n+2)]\\&=n[n(n+1)+2(n+1)]\\&=n(n+1)(n+2).\end{aligned}\]

Bước 2: Trong ba số nguyên liên tiếp n, n + 1 và n + 2 có ít nhất một số chẵn, nên tích chia hết cho 2.

Bước 3: Xét số dư của n khi chia cho 3. Nếu dư 0 thì n chia hết cho 3; nếu dư 1 thì n + 2 chia hết cho 3; nếu dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3. Do đó tích chia hết cho 3.

Bước 4: Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau, tích chia hết cho cả 2 và 3 sẽ chia hết cho 6. Lập luận vẫn đúng khi một nhân tử bằng 0.

Kết luận: \(n^3+3n^2+2n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 tự luyện

Các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử sau vận dụng ba phương pháp đã học và cách phối hợp chúng. Học sinh nên tự chọn hướng làm, sau đó đối chiếu lời giải và nhân ngược để kiểm tra. [1]

Đề bài luyện tập

1. Phân tích thành nhân tử: \(18a^2b-30ab^2\).

2. Phân tích thành nhân tử: \(49x^2+42x+9\).

3. Phân tích thành nhân tử: \(81u^2-25v^2\).

4. Phân tích thành nhân tử: \(27t^3+125\).

5. Phân tích thành nhân tử: \(uv+7u+4v+28\).

6. Tìm tất cả các số thực z thỏa mãn \(5z^3-180z=0\).

Đáp án và lời giải bài tự luyện

Câu 1. Đặt nhân tử chung

\[18a^2b-30ab^2=6ab(3a-5b).\]

Nhân tử chung được chọn là 6ab.

Câu 2. Bình phương của một tổng

\[\begin{aligned}49x^2+42x+9&=(7x)^2+2\cdot7x\cdot3+3^2\\&=(7x+3)^2.\end{aligned}\]

Hạng tử giữa đúng bằng hai lần tích của 7x và 3.

Câu 3. Hiệu hai bình phương

\[\begin{aligned}81u^2-25v^2&=(9u)^2-(5v)^2\\&=(9u-5v)(9u+5v).\end{aligned}\]

Hai nhân tử có dấu khác nhau ở giữa.

Câu 4. Tổng hai lập phương

\[\begin{aligned}27t^3+125&=(3t)^3+5^3\\&=(3t+5)(9t^2-15t+25).\end{aligned}\]

Nhân tử bậc hai có hạng tử giữa mang dấu trừ.

Câu 5. Nhóm hạng tử

\[\begin{aligned}uv+7u+4v+28&=u(v+7)+4(v+7)\\&=(u+4)(v+7).\end{aligned}\]

Hai nhóm cùng chứa nhân tử v + 7.

Câu 6. Phối hợp phương pháp để tìm z

\[\begin{aligned}5z^3-180z&=5z(z^2-36)\\&=5z(z-6)(z+6).\end{aligned}\]

Vì 5 khác 0, tích bằng 0 khi z = 0, z = 6 hoặc z = −6. Thay từng giá trị vào biểu thức ban đầu đều thu được 0.

Để ôn tập phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh nên kiểm tra lỗi đổi dấu, hệ số trong hằng đẳng thức và việc phân tích chưa hết. Có thể xem lại khái niệm đa thức và các hạng tử nếu còn nhầm cách nhóm.

Qua hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh có thể củng cố ba phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử. Khi giải bài, cần nhận diện cấu trúc đa thức, chú ý dấu và kiểm tra kết quả bằng phép nhân.

Học sinh nên tự giải trước khi đối chiếu lời giải, sau đó luyện thêm dạng tìm x và chứng minh chia hết để rèn khả năng vận dụng. Tham khảo các bài học và bài tập Toán 8 để tiếp tục ôn tập.