Bài tập vectơ lớp 10 | Tổng hợp các dạng bài và đáp án chi tiết

Trong Toán 10, bài tập vecto là nội dung quan trọng giúp học sinh vận dụng kiến thức về phương, hướng, độ dài vecto, hai vecto cùng phương, tổng – hiệu vecto và tích của vecto với một số. Bài viết hệ thống các dạng bài tập vecto từ cơ bản đến nâng cao, gồm bài tập tính toán vecto, chứng minh đẳng thức, xác định trung điểm – trọng tâm, chứng minh ba điểm thẳng hàng và bài tập về tọa độ vecto lớp 10 trên hệ trục Oxy, kèm công thức, phương pháp giải, bài tự luyện và đáp án chi tiết.

Vecto là gì?

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. 

Các khái niệm cần nhớ:

• Hai vectơ cùng phương: có giá song song hoặc trùng nhau (có thể cùng hoặc ngược hướng).

• Hai vectơ bằng nhau (\(\vec{a} = \vec{b}\)): cùng độ dài và cùng hướng.

• Vectơ-không (\(\)\(\overrightarrow{0}\)): điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, độ dài bằng 0, cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.

Các dạng bài tập vecto thường gặp

Dạng 1: Xác định vectơ, tính độ dài vectơ cơ bản

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa đoạn thẳng có hướng. Sử dụng các hình học phẳng quen thuộc (tam giác, hình vuông, hình chữ nhật) để tính độ dài cạnh hoặc đường chéo bằng định lý Pythagore.

Ví dụ minh họa: Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{BD}\).

Lời giải:

Vì cạnh của hình vuông ABCD có độ dài bằng 1 nên các đường chéo của hình vuông có độ dài bằng \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)​.

Do đó: |\(\overrightarrow{AC}| = AC = \sqrt{2}\) , \(|\overrightarrow{CA}| = CA = \sqrt{2}\) , \(|\overrightarrow{BD}| = BD = \sqrt{2}\) ​.

Bài tập tương tự:

Câu 1: Cho tam giác đều ABC với cạnh có độ dài bằng a. Tính \(|\overrightarrow{AB}|, |\overrightarrow{BC}|, |\overrightarrow{CA}|\).

Đáp án: \(\vert{}\vec{AB}\vert{}=a;\vert{}\vec{BC}\vert{}=a;\vert{}\vec{CA}\vert{}=a\)

Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD với AB=3, AD=4. Tính \(|\overrightarrow{AC}|\) và \(|\overrightarrow{BD}|\).

Đáp án: \(\vert{}\vec{AC}\vert{}=\vert{}\vec{BD}\vert{}=5\)

Câu 3: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài của \(\overrightarrow{BG}\).

Đáp án: \(\vert{}\vec{BG}\vert{}=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)

Dạng 2: Hai vectơ cùng phương, bằng nhau

Phương pháp giải: Chứng minh hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau (cùng phương), cùng chiều mũi tên (cùng hướng) và có độ dài bằng nhau.

Ví dụ minh họa: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên \(AB \parallel DC\) và \(AB = DC\) (hai cạnh đối song song và bằng nhau). Chiều từ D đến C trùng với chiều từ A đến B, nên hai vectơ cùng hướng.

Do đó \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Bài tập tương tự:

Câu 1: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}\).

Hướng dẫn: Chứng minh cùng hướng cùng độ dài.

Câu 2: Cho tam giác ABC với D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh \(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{FA}\).

Hướng dẫn: Chứng minh cùng hướng cùng độ dài.

Câu 3: Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD. Tìm vectơ:

a) Cùng hướng với \(\overrightarrow{AB}\).

Đáp án: \(\vec{DC}\)

b) Ngược hướng với \(\overrightarrow{AB}\).

Đáp án: \(\vec{BA},\vec{CD}\)

c) Chỉ ra các vectơ có độ dài bằng nhau.

Đáp án: \[\vert{}\vec{AD}\vert{}=\vert{}\vec{DA}\vert{}=\vert{}\vec{BC}\vert{}=\vert{}\vec{CB}\vert{};\vert{}\vec{AC}\vert{}=\vert{}\vec{CA}\vert{}=\vert{}\vec{BD}\vert{}=\vert{}\vec{DB}\vert{};{}\vec{AB}\vert{}=\vert{}\vec{BA}\vert{},\vert{}\vec{CD}\vert{}=\vert{}\vec{DC}\vert{}\]

Tham khảo thêm: Hai vecto cùng phương khi nào? Điều kiện và cách chứng minh.

Dạng 3: Tổng và hiệu của hai vectơ

Tóm tắt lý thuyết

• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}\).

• Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\).

• Tính chất: Phép cộng vectơ có tính giao hoán và kết hợp [2].

• Quy tắc trung điểm: M là trung điểm AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0} \).

• Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} \).

Bài tập chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc chèn điểm (phép cộng/hiệu) để biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản, hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức luôn đúng.

Ví dụ minh họa: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\).

Giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}\)

Do đó:\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}= \vec{0}\]

Bài tập tương tự:

Câu 1: Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D thì \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\).

Hướng dẫn: Sử dụng quy tắc hiệu.

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh \(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}\).

Hướng dẫn: Sử dụng quy tắc hiệu.

Câu 3: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Với điểm O bất kì, chứng minh \[\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}\]

Hướng dẫn: Chèn G vào vế trái, sử dụng quy tắc trọng tâm tâm giác.

Bài tập tính độ dài của vectơ tổng hoặc vectơ hiệu

Phương pháp giải: Gom cụm và biến đổi tổng/hiệu của nhiều vectơ thành một vectơ duy nhất bằng quy tắc ba điểm, sau đó tính độ dài đoạn thẳng hình học tương ứng.

Ví dụ minh họa: Cho hình chữ nhật ABCD với \(AB=a, AD = a\sqrt{2}\). Tính \(\left|\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AB}\right| \)​.

Giải:

Theo tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vectơ, ta có:

\[\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}\]

Độ dài đường chéo: \(AC = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \).

Do đó \(\left|\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AB}\right| = a\sqrt{3} \)​.

Bài tập tương tự:

Câu 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O, cạnh bằng 1. Tính \(\left|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OE}\right| \)​.

Đáp án: \(\vert{}\vec{AB} + \vec{OE}\vert{} = \sqrt{3}\)

Câu 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính \(\left|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right| ​​\).

Đáp án: \(\vert{}\vec{AB}-\vec{AC}\vert{}=\vert{}\vec{CB}\vert{}=CB=a\)

Câu 3: Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1, \(\widehat{BAD} = 120° \). Tính \(\left|\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA}\right| \)​​.

Đáp án: \(\vert{}\vec{CB}+\vec{CD}+\vec{BA}\vert{}=\sqrt{3}\)

Dạng 4: Tích của một vectơ với một số

Tích của \(\vec{a} \neq \vec{0}\) với số thực k, ký hiệu \(k\vec{a}\), là một vectơ có độ dài bằng \(|k||\vec{a}|\), cùng hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k\ge0\) và ngược hướng với \(\vec{a}\)   nếu k<0.

Các hệ thức quan trọng:

• Quy tắc trung điểm: Nếu I là trung điểm AB thì \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}\) với mọi điểm O.

• Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}\) với mọi điểm O.

• Điều kiện cùng phương: \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) (\(\vec{b} \neq \vec{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho \(\vec{a} = k\vec{b}\).

Tham khảo thêm: Tích của một vecto với một số - Lý thuyết và bài tập Toán 10

Dạng 5: Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc chèn điểm hoặc quy tắc hình bình hành để phân tích vectơ cần biểu diễn, đưa dần về các vectơ cơ sở đã cho.

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Biểu diễn \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BE}\).

Giải:

Vì D là trung điểm BC và E là trung điểm CA nên 

\(\overrightarrow{DE}=-\frac12\overrightarrow{AB}\)                             (1)

\(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}\)                     (2)

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EB}\)                  (3)

\(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AB}\)          (4)

Từ (1) và (3) suy ra \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BE}\) hay \(\overrightarrow{AB}=\frac23\overrightarrow{AD}-\frac23\overrightarrow{BE}\).

Từ (3) và (4) suy ra \(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}-2\left(\frac23\overrightarrow{AD}-\frac23\overrightarrow{BE}\right)=\frac23\overrightarrow{AD}+\frac43\overrightarrow{BE}\).

Bài tập tương tự:

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Biểu diễn \(\overrightarrow{AM}\) (với M là trung điểm BC) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\).

Đáp án: \(\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}\)

Câu 2: Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM=2MC. Biểu diễn \(\overrightarrow{AM}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).

Đáp án: \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}\)

Câu 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, CD. Biểu diễn \(\overrightarrow{MN}\) theo \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{BD}\).

Đáp án: \(\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{BD}\)

Dạng 6: Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước

Phương pháp giải: Chèn một điểm cố định (thường là A, B, C hoặc O đã biết) vào đẳng thức để cô lập vectơ chứa điểm cần tìm về một vế, đưa về vectơ đã biết.

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}\) .

Giải:

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\)

⇒ \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right)\]

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: \(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MK}\)

⇒ \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=2\cdot2\overrightarrow{MK}=4\overrightarrow{MK}\]

Mà \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}\).

Do đó \(4\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}\) hay \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}\)

Suy ra M ≡ K.

Bài tập tương tự:

Câu 1: Cho hình chữ nhật ABCD, AB=a, AC=2a. Tìm tập hợp điểm M sao cho \(\vert\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\vert=\vert\overrightarrow{MD}\vert\).

Đáp án: Gọi E là điểm đối xứng của D qua A. Tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng ED.

Dạng 7: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải: Biến đổi để đưa về đẳng thức dạng \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC} \) (với A, B, C là ba điểm cần xét). Vì A chung và hai vectơ cùng phương nên ba điểm thẳng hàng.

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh A, G, M thẳng hàng.

Giải:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\).

Vì M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}\) và \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}\).

Do đó \[\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GM} = \vec{0} \Rightarrow \overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GM} \]

Suy ra A, G, M thẳng hàng.

Bài tập tương tự:

Câu 1: Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho: \(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\). Chứng tỏ rằng 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Đáp án: Vì \(\vec{AB} = \frac{3}{2}\vec{AC}\) nên hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) cùng phương. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Câu 2: Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P xác định bởi \[\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}\]

a) Xác định các điểm M, N, P và hình vẽ.

Đáp án: C là trung điểm của đoạn thẳng MB; N thuộc đoạn AC sao cho AN = 2NC; P là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Đáp án: Vì \(\vec{PM} = 3\vec{PN}\) nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Vectơ trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Với mỗi vectơ \(\vec{u}\) trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất một cặp số \((x_0; y_0)\) sao cho \(\vec{u} = x_0\vec{i} + y_0\vec{j}\)​. Ta nói vectơ \(\vec{u}\) có tọa độ \((x_0; y_0)\) và viết \(\overrightarrow{u}=(x_0,y_0)\) hay \(\overrightarrow{u}(x_0,y_0)\). Các số \(x_0,y_0\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\vec{u}\) .

Các công thức cần nhớ: Với \(\vec{u} = (x; y) , \vec{v} = (x'; y')\):

• \[\vec{u} + \vec{v} = (x + x'; y + y'); \vec{u} - \vec{v} = (x - x'; y - y'); k\vec{u} = (kx; ky) \]

• Nếu \(M(x;y)\) và \(N(x′;y′)\) thì \(\overrightarrow{MN} = (x' - x; y' - y)\) và \(MN = \sqrt{(x'-x)^2 + (y'-y)^2}​\).

• Trung điểm I của AB: \(I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}\right) \).

• Trọng tâm G của tam giác ABC: \(G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\)

Dạng 8: Các phép toán vectơ bằng tọa độ

Phương pháp giải: Áp dụng trực tiếp công thức đại số (hoành độ theo hoành độ, tung độ theo tung độ).

Ví dụ minh họa: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;2) và B(3;−4) .

a) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho \(\overrightarrow{NA} = 2\overrightarrow{NB} \).

Giải:

a) Ta có \[M = \left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+(-4)}{2}\right) = (2; -1) \]

b) Ta có \[\overrightarrow{NA} = 2\overrightarrow{NB} \Rightarrow \overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OB} = (1-2)\overrightarrow{ON} \Rightarrow \overrightarrow{ON} = 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (6-1; -8-2) = (5; -10)\]

Vậy N(5;−10).

Bài tập tương tự:

Câu 1: Cho A(2;−1), B(1;4), C(−2;3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Đáp án: \(G\left(\frac{1}{3}; 2\right)\)

Câu 2: Cho M(−2;1) và N(4;5). Tìm tọa độ điểm Q sao cho \(\overrightarrow{MQ} = 2\overrightarrow{PN}\).

Đáp án: \(Q(10; 9)\)

Câu 3: Cho A(1;3), B(−2;6), C(5;1). Tìm D để tứ giác ABDC là hình bình hành.

Đáp án: \(D(2; 4)\)

Dạng 9: Tích vô hướng của hai vectơ

Tóm tắt lý thuyết

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) (khác \(\vec{0}\)) là một số, ký hiệu \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), xác định bởi công thức sau:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})\).

Chú ý quan trọng:

• \(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).

• Bình phương vô hướng: \(\vec{u}^2 = |\vec{u}|^2 \).

• Biểu thức tọa độ: Nếu \(\vec{u} = (x; y), \vec{v} = (x'; y')\) thì \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\).

• Tính chất: giao hoán, phân phối với phép cộng, kết hợp với phép nhân số.

Bài tập xác định tích vô hướng của hai vecto

Phương pháp giải: Xác định độ dài hai vectơ và góc giữa chúng từ bối cảnh hình học, sau đó áp dụng công thức \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(\vec{u},\vec{v})\). Trong tọa độ, dùng công thức \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\).

Ví dụ minh họa: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}\) .

Giải:

• Ta có \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 45°\), nên \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 45° = a^2\).

• Ta có \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 135°\), nên \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 135° = -a^2\).

Bài tập tương tự:

Câu 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\) .

Đáp án: \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{a^2}{2}\); \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=-\frac{a^2}{2}\)

Câu 2: Cho hai vectơ \(\vec{a}, \vec{b}\) với \(|\vec{a}| = 6, |\vec{b}| = 8, |\vec{a} + \vec{b}| = 10\). Tính \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) .

Đáp án: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)

Câu 3: Cho \(\vec{u} = (2; -3)\) và \(\vec{v} = (5; 3)\). Tính \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) và \(|\vec{u} + \vec{v}|.\)

Đáp án: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=1\); \(\vert{}\vec{u}+\vec{v}\vert{}=7\)

Dạng 10: Góc giữa hai vectơ. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính cos góc giữa hai vectơ:

\[\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{xx' + yy'}{\sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{x'^2 + y'^2}}\]​

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Tính \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) từ đó suy ra \(\cos{A}\).

Giải:

Ta có \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\left\lbrack\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}^2-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\right\rbrack=\frac12(\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{BC}^2)=\frac12\left(c^2+b^2-a^2\right)\]
Mà \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot\cos A=bc\cos A\]

Suy ra \(\frac12(c^2+b^2-a^2)=bc\cos A\) hay \(\cos A=\frac{c^2+b^2-c^2}{2bc}\).

Bài tập tương tự:

Câu 1: Cho \(\vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4)\). Tính góc giữa \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) .

Đáp án: Góc giữa hai vectơ là \(45^\circ\)

Câu 2: Cho tam giác ABC có A(1;2), B(−2;6), C(5;1). Tính góc \(\widehat{BAC}.\)

Đáp án: \(\widehat{BAC} \approx 140.91^\circ\)

Hệ thống bài tập vecto tự luyện đa mức độ

Bài tập vecto mức độ nhận biết, thông hiểu

Câu 1 (Nhận biết): Phát biểu nào sau đây là định nghĩa đúng về vectơ?

A. Vectơ là một đoạn thẳng có độ dài cố định.

B. Vectơ là một đường thẳng có hướng.

C. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

D. Vectơ là một tia góc A hướng về điểm B.

Đáp án C.

Câu 2 (Nhận biết): Hai vectơ được gọi là cùng phương khi và chỉ khi:

A. Giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

B. Chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

C. Giá của chúng cắt nhau tại một điểm.

D. Chúng có hướng ngược nhau nhưng độ dài bằng nhau.

Đáp án A.

Câu 3 (Nhận biết): Mệnh đề nào sau đây đúng khi nói về vectơ-không (\(\vec{0}\))?

A. Vectơ-không có độ dài bằng 1.

B. Vectơ-không luôn cùng hướng với mọi vectơ nhưng ngược phương.

C. Vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối phân biệt.

D. Vectơ-không có độ dài bằng 0, cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.

Đáp án D.

Câu 4 (Nhận biết): Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây diễn tả đúng quy tắc ba điểm của phép cộng vectơ?

A. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

B. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\).

C. \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

D. \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

Đáp án A.

Câu 5 (Nhận biết): Cho hai vectơ chung gốc \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Quy tắc hiệu vectơ được xác định bởi đẳng thức nào sau đây?

A. \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\).

B. \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\).

C. \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AA}\).

D. \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}\).

Đáp án B.

Câu 6 (Thông hiểu): Cho hình bình hành ABCD. Vectơ nào sau đây bằng với vectơ \(\overrightarrow{AB}\)?

A. \(\overrightarrow{CD}\).

B. \(\overrightarrow{DC}\).

C. \(\overrightarrow{BC}\).

D. \(\overrightarrow{AD}\).

Đáp án B.

Câu 7 (Thông hiểu): Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Vectơ \(\overrightarrow{MN}\) bằng vectơ nào dưới đây?

A. \(\overrightarrow{AP}\).

B. \(\overrightarrow{PA}\).

C. \(\overrightarrow{BP}\).

D. \(\overrightarrow{PB}\).

Đáp án B.

Câu 8 (Thông hiểu): Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\).

B. \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GC}\).

C. \(\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} = 3\overrightarrow{GG}\).

D. \(|\overrightarrow{GA}| + |\overrightarrow{GB}| + |\overrightarrow{GC}| = 0\).

Đáp án A.

Câu 9 (Thông hiểu): Cho đoạn thẳng AB có I là trung điểm. Với mọi điểm M bất kỳ trong mặt phẳng, đẳng thức vectơ nào sau đây luôn đúng?

A. \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI}\).

B. \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MI}\).

C. \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).

D. \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = 2\overrightarrow{IM}\).

Đáp án C.

Câu 10 (Thông hiểu): Cho vectơ \(\overrightarrow{a} \ne \overrightarrow{0}\) và một số thực k < 0. Vectơ \(k\overrightarrow{a}\) có tính chất nào sau đây?

A. Ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) và có độ dài bằng \(|k||\overrightarrow{a}|\).

B. Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) và có độ dài bằng \(k|\overrightarrow{a}|\).

C. Ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) và có độ dài bằng \(k|\overrightarrow{a}|\).

D. Cùng phương nhưng luôn cùng độ dài với vectơ \(\overrightarrow{a}\).

Đáp án A.

Câu 11 (Thông hiểu): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (x_1; y_1)\) và \(\overrightarrow{b} = (x_2; y_2)\). Tọa độ của vectơ hiệu \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) là:

A. \(\overrightarrow{u} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)\).

B. \(\overrightarrow{u} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)\).

C. \(\overrightarrow{u} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)\).

D. \(\overrightarrow{u} = (x_1x_2; y_1y_2)\).

Đáp án A.

Câu 12 (Thông hiểu): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB được tính theo công thức nào?

A. \(I\left(\frac{x_A - x_B}{2}; \frac{y_A - y_B}{2}\right)\).

B. \(I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)\).

C. \(I(x_A + x_B; y_A + y_B)\).

D. \(I\left(\frac{x_A + y_A}{2}; \frac{x_B + y_B}{2}\right)\).

Đáp án B.

Câu 13 (Thông hiểu): Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Độ dài của vectơ tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) bằng bao nhiêu?

A. \(a\).

B. \(2a\).

C. \(a\sqrt{3}\).

D. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Đáp án C.

Câu 14 (Thông hiểu): Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 và BC = 4. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) bằng bao nhiêu?

A. 5.

B. 7.

C. \(\sqrt{7}\).

D. 1.

Đáp án A.

Câu 15 (Thông hiểu): Cho hình bình hành ABCD. Vectơ tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) bằng vectơ nào dưới đây?

A. \(\overrightarrow{AC}\).

B. \(\overrightarrow{CA}\).

C. \(\overrightarrow{BD}\).

D. \(\overrightarrow{DB}\).

Đáp án A.

Bài tập vecto mức độ vận dụng

Câu 16 (Vận dụng): Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy chọn mệnh đề đúng khi phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).

A. \(\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).

B. \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).

C. \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

D. \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).

Đáp án B.

Câu 17 (Vận dụng): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-1; 3) và B(2; 1). Biết tọa độ trọng tâm của tam giác là G(2; -2). Tọa độ đỉnh C của tam giác là:

A. C(3; -4).

B. C(5; -6).

C. C(5; -10).

D. C(1; -8).

Đáp án C.

Câu 18 (Vận dụng): Cho ba điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ lần lượt là A(1; -2), B(0; 3) và C(-2; m). Giá trị của tham số m để ba điểm A, B, C thẳng hàng là:

A. m = 13.

B. m = -13.

C. m = 8.

D. m = -8.

Đáp án A.

Câu 19 (Vận dụng): Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối AB và CD. Đẳng thức vectơ nào sau đây luôn luôn đúng?

A. \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}\).

B. \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{MN}\).

C. \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}\).

D. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{MN}\).

Đáp án A.

Câu 20 (Vận dụng): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{v} = 4\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AD}\).

A. a.

B. 7a.

C. 25a.

D. 5a.

Đáp án D.

Bài tập vecto mức độ vận dụng cao

Câu 21 (Vận dụng cao): Trên một mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng đồng thời của ba lực \(\overrightarrow{F}_1, \overrightarrow{F}_2, \overrightarrow{F}_3\) và đang ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ lực \(\overrightarrow{F}_1\) và \(\overrightarrow{F}_2\) bằng \(60^\circ\). Biết cường độ của hai lực này bằng nhau và có giá trị \(|\overrightarrow{F}_1| = |\overrightarrow{F}_2| = 2\sqrt{3}\text{ N}\). Cường độ của lực \(\overrightarrow{F}_3\) tác dụng vào chất điểm bằng bao nhiêu?

A. 2N.

B. 4N.

C. \(2\sqrt3\)N.

D. \(2\sqrt{6}\text{ N}\).

Lời giải chi tiết:

Ta sử dụng các vectơ \(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\) và \(\overrightarrow{OD}\) lần lượt biểu diễn cho các lực \(\overrightarrow{F}_1, \overrightarrow{F}_2, \overrightarrow{F}_3\) và hợp lực \(\overrightarrow{F}\) của \(\overrightarrow{F}_1, \overrightarrow{F}_2\).

Khi đó, do \(\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_1 + \overrightarrow{F}_2\) và \(|\overrightarrow{F}_1| = |\overrightarrow{F}_2| = 2\sqrt{3}\text{ N}\), nên tứ giác AOBD là hình thoi. Từ đó, do \(\widehat{AOB} = 120^\circ\), suy ra \(\widehat{OAD} = 60^\circ\), do đó tam giác AOD đều. Bởi vậy \(| \overrightarrow{F} | = OD = OA = 2\sqrt{3}\) N.

Do vật ở vị trí cân bằng nên hai lực \(\overrightarrow{F}\) và \(\overrightarrow{F}_3\) ngược hướng và có cường độ bằng nhau, tức là hai vectơ \(\overrightarrow{OD}\) và \(\overrightarrow{OC}\) là hai vectơ đối nhau. Suy ra cường độ của lực \(\overrightarrow{F}_3\) bằng

\(| \overrightarrow{F}_3 | = | \overrightarrow{F} | = 2\sqrt{3}\) N.

Đáp án C.

Câu 22 (Vận dụng cao): Cho tam giác ABC cố định có độ dài cạnh BC = a. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức điều kiện hình học sau: \[|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| = |\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|\]

A. Đường trung trực của đoạn thẳng BC.

B. Đường tròn có tâm K và bán kính \(R = \frac{a}{6}\) (với K là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} + 3\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}\)).

C. Đường thẳng song song với cạnh BC.

D. Đường tròn đường kính BC.

Lời giải chi tiết:

Biến đổi vế phải (VP): Theo quy tắc hiệu vectơ, ta có:

\[\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CB} \Rightarrow VP = |\overrightarrow{CB}| = BC = a.\]

Biến đổi vế trái (VT): Gọi K là điểm cố định duy nhất trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức hệ số:

\[\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} + 3\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}\]

Chèn điểm K vào biểu thức vế trái bằng quy tắc tổng:

\[\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KA}) + 2(\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KB}) + 3(\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KC})= (1 + 2 + 3)\overrightarrow{MK} + (\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} + 3\overrightarrow{KC}) = 6\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{0} = 6\overrightarrow{MK}.\]

Suy ra \(VT = |6\overrightarrow{MK}| = 6MK\).

Từ đó ta có \(6MK = a \Leftrightarrow MK = \frac{a}{6}.\)

Do điểm K và độ dài a cố định, tập hợp điểm M cách K một khoảng không đổi \(\frac{a}{6}\) chính là đường tròn tâm K, bán kính \(R = \frac{a}{6}\).

Đáp án B.

Những lỗi sai phổ biến khi làm bài tập vecto

Lỗi 1: Nhầm lẫn giữa "cùng phương" và "cùng hướng".

Hai vectơ cùng phương chỉ cần có giá song song hoặc trùng nhau — chúng có thể ngược hướng nhau. Cùng hướng là điều kiện chặt hơn: phải cùng phương và cùng chiều mũi tên. Ví dụ: \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BA}\) cùng phương nhưng ngược hướng.

→ Cách khắc phục: Luôn kiểm tra hướng mũi tên sau khi xác định giá.

Lỗi 2: Sai dấu khi áp dụng quy tắc hiệu.

Nhiều học sinh nhầm \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\) thành \(\overrightarrow{BC}\). Thực chất: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\)  không phải \(\overrightarrow{BC}\) bởi vì \[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}.\]

→ Cách khắc phục: Luôn viết đầy đủ bước chèn điểm, không bỏ qua trung gian.

Lỗi 3: Nhầm lẫn giữa độ dài vectơ tổng với tổng độ dài.

\(|\vec{a} + \vec{b}| \neq |\vec{a}| + |\vec{b}|\) (ngoại trừ khi hai vectơ cùng hướng)

Bất đẳng thức tam giác cho ta \(|\vec{a}| - |\vec{b}| \leq |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\).

→ Cách khắc phục: Luôn vẽ hình nháp, sử dụng quy tắc ba điểm hoặc hình bình hành để xác định đúng vectơ tổng trước khi tính độ dài.

Kinh nghiệm phòng tránh: Vẽ hình nháp mỗi khi giải toán vectơ. Kiểm tra hướng mũi tên trước khi viết đẳng thức. Đặc biệt khi biến đổi nhiều bước, đánh số từng dòng để tránh nhầm lẫn.

Mối liên hệ giữa vecto và các chương Toán khác

Ứng dụng trong hình học phẳng. Vectơ cho phép chứng minh các tính chất hình học (đồng quy, song song, thẳng hàng, vuông góc) một cách đại số hóa, thay thế cho nhiều lập luận hình học dài dòng. Ví dụ, chứng minh trực tâm tam giác tồn tại bằng vectơ ngắn gọn hơn nhiều so với phương pháp hình học thuần túy.

Nền tảng cho tích vô hướng và các định lý lượng giác. Tích vô hướng trực tiếp dẫn đến Định lý Cosin và tạo cơ sở để tính diện tích, giải tam giác trong chương tiếp theo. Học sinh nắm vững vectơ sẽ hiểu bản chất các công thức lượng giác thay vì học thuộc máy móc.

Mở rộng lên lớp 12. Khái niệm vectơ phẳng mở rộng tự nhiên sang vectơ trong không gian Oxyz ở lớp 12, bao gồm tích có hướng và phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian. Học sinh đã hiểu tốt vectơ phẳng sẽ không bỡ ngỡ khi học phần ?

Tóm lại, để làm tốt bài tập vectơ, học sinh cần nắm vững bản chất hình học, thành thạo các quy tắc biến đổi vectơ và luyện tập thường xuyên theo từng dạng bài. Việc học toán vectơ không thể dừng lại ở việc đọc hiểu lý thuyết suông; học sinh cần phải đặt bút xuống, viết tay từng bước chứng minh và tự mình giải lại các bài tập để hình thành phản xạ toán học sắc bén. Hy vọng bài viết này sẽ giúp học sinh tự tin bứt phá điểm số, chinh phục điểm 9, điểm 10 trong các kỳ thi sắp tới. Đừng quên truy cập trang chủ Toán học để khám phá thêm nhiều kiến thức, công thức và dạng bài hữu ích giúp học sinh học tốt môn Toán mỗi ngày.