Bất phương trình bậc 2 | Cách giải, xét dấu và bài tập có đáp án

Trong Toán 10, bất phương trình bậc 2 một ẩn là dạng thường gặp nhất, yêu cầu học sinh nắm được cách giải bất phương trình bậc 2, cách xét dấu bằng biệt thức Δ, lập bảng xét dấu và xác định tập nghiệm theo từng khoảng.

Bài viết sẽ hệ thống phương pháp giải bất phương trình bậc 2, các trường hợp có tham số m, điều kiện có nghiệm, vô nghiệm, biện luận và các dạng bài tập thường gặp.

Bất phương trình bậc 2 là gì? Nghiệm của bất phương trình bậc 2 là gì?

Bất phương trình bậc 2 một ẩn:

• Là bất phương trình có một trong các dạng chuẩn sau đây [1]: \[ax^2+bx+c>0;ax^2{}+bx+c\ge0;ax^2{}+bx+c<0;ax^2{}+bx+c\le0\]Trong đó, x là ẩn số, còn a, b, c là các số thực cho trước (hệ số a phải khác 0).

• Có thể thấy rằng bất phương trình bậc 2 một ẩn chính là bất phương trình của tam thức bậc 2.

Nghiệm của bất phương trình bậc 2 một ẩn: Là các giá trị của x thỏa mãn mệnh đề của bất phương trình tương ứng. Tập hợp tất cả các giá trị như vậy của x gọi là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ:

• Bất phương trình bậc 2 một ẩn:

  • \(2x^2-5x+2>0\) (\(a=2;b=-5;c=2\))

  • \(x^2-1\le0\) (\(a=1;b=1;c=-1\))

• Bất phương trình không phải bậc 2 một ẩn:

  • \(x^2-y^2+3x+4y+1>0\) (chứa 2 ẩn x,y thay vì 1 ẩn)

  • \(x^3+3x-1\ge0\) (bậc 3 thay vì bậc 2)

  • \(2x^2-3x+1-2x^2<0\) (sau khi rút gọn thu được \(0x^2-3x+1\), vi phạm quy tắc a khác 0, biến đây trở thành bất phương trình bậc 1)

Giải bất phương trình bậc 2 một ẩn bằng phương pháp xét dấu của tam thức

Định lý về dấu của tam thức bậc hai được phát biểu như sau:

Cách giải nghiệm bằng cách xét dấu của tam thức: Học sinh thực hiện các bước theo thứ tự sau đây:

1. Tính \(\Delta\)

2. Nếu như \(\Delta<0\) hoặc \(\Delta=0\) thì có thể lập tức kết luận được nghiệm của phương trình theo định lý về dấu của tam thức bậc 2. Nếu \(\Delta>0\) thì thực hiện tiếp bước 3

3. Giải phương trình bậc hai một ẩn f(x) = 0 để tìm hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ của tam thức. Áp dụng định lý về dấu của tam thức với trường hợp \(\Delta>0\) để xác định dấu của f(x) trong từng khoảng.

4. Đối chiếu dấu của tam thức trên các khoảng với bất phương trình ban đầu để chọn khoảng nghiệm phù hợp và đưa ra kết luận.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình \(x^2{}-4x+3>0\).

Lời giải từng bước:

• Xét tam thức \(f(x)=x^2{}-4x+3\).

• \(\Delta=4^2-4\cdot1\cdot3=4>0\). Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt. Tính được 2 nghiệm này là x₁ = 1 và x₂ = 3.

• Xét hệ số a = 1 > 0 (mang dấu dương).

• Theo quy tắc "trong trái, ngoài cùng", \(f(x)>0\) (mang dấu dương) khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm, tức là x < 1 hoặc x > 3.

• Kết luận: Tập nghiệm của biểu thức là \(S = (-∞; 1) ∪ (3; +∞)\).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình \(x^2{}-x+1<0\).

Lời giải từng bước:

• Xét tam thức \(f(x)=x^2{}-x+1\).

• \(\Delta=1^2-4\cdot1\cdot1=-3<0\). Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2, f(x) luôn cùng dấu với hệ số a.

• Xét hệ số a = 1 > 0 (mang dấu dương). Do đó f(x) luôn lớn hơn 0

• Kết luận: Bất phương trình \(x^2{}-x+1<0\) vô nghiệm.

Giải nghiệm bất phương trình bậc 2 một ẩn bằng phương pháp đồ thị

Bằng cách vẽ đồ thị parabol của hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) lên trên trục tọa độ Oxy, có thể trực quan hóa được dấu của tam thức như sau:

• Với mỗi điểm \(A\left(x_{A};y_{A}\right)\) nằm trên parabol, thì tung độ \(y_{A}\) chính là trị giá của của tam thức f(x) tại \(x=x_{A}\)

• Phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành (Ox) là tập hợp các điểm mà tam thức mang dấu dương.

• Phần parabol giao với trục hoành (Ox) là tập hợp các điểm mà tam thức mang giá trị 0.

• Phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành (Ox) là tập hợp các điểm mà tam thức mang dấu âm.

Từ các kết luận trực quan ở trên, học sinh có thể giải nghiệm bất phương trình bằng cách rút ra các khoảng giá trị của x tương ứng với phần parabol nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành Ox.

So với phương pháp xét dấu của tam thức, phương pháp dùng đồ thị có ưu điểm như sau:

• Tính trực quan cao, giúp nhận diện nhanh chóng khoảng nghiệm mà không cần phải áp dụng máy móc quy tắc dấu của tam thức.

• Các bài toán tìm tập nghiệm bằng đồ thị cho trước là một dạng bài phổ biến trong kỳ thi THPT quốc gia. Nắm được phương pháp sử dụng đồ thị trong giải nghiệm của phương trình, bất phương trình giúp học sinh chuẩn bị tốt hơn cho các bài kiểm tra và các kỳ thi.

• Phương pháp đồ thị còn có thể áp dụng cho các đồ thị hàm số phức tạp hơn, và với những bài toán như vậy thì phương pháp đồ thị giúp học sinh dễ quan sát hơn so với các phép tính toán đại số thông thường.

Ví dụ: Giải nghiệm của bất phương trình \(x^2{}+2x\le0\) dựa vào đồ thị.

Lời giải: Dựng đồ thị của phương trình \(y=x^2+2x\) như ảnh sau:

Từ đồ thị trên có thể rút ra được:

• Parabol giao với trục Ox tại 2 điểm có hoành độ là -2 và 0 (cũng chính là 2 nghiệm của tam thức \(x_{}^2+2x\))

• Khi \(x\in\left(-2;0\right)\) thì phần đồ thị nằm dưới trục Ox, tương ứng với việc giá trị của tam thức nhỏ hơn 0

• Do cần giải bất phương trình \(x^2+2x\le0\) nên toàn bộ các giá trị của x từ -2 đến 0 thỏa mãn bất phương trình này

• Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\lbrack-2;0\right\rbrack\)

Cách giải biến thể của bất phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng bài bất phương trình của phân thức có tử và mẫu là nhị thức bậc 1

Bất phương trình của phân thức có tử và mẫu là nhị thức bậc 1 có một trong các dạng sau đây:\[\frac{ax+b}{cx+d}>0;\frac{ax+b}{cx+d}\ge0;\frac{ax+b}{cx+d}<0;\frac{ax+b}{cx+d}\le0^{}\]Phương pháp giải: Học sinh thực hiện các bước lần lượt như sau:

• Trước hết, chỉ ra điều kiện xác định của phân thức là phần mẫu phải khác 0: \(x\ne-\frac{d}{c}\)

• Do nhị thức ở mẫu \(cx+d\ne0\) nên \(\left(cx+d\right)^2>0\forall x\). Thực hiện nhân \(\left(cx+d\right)^2\) với phân thức ban đầu thì không làm thay đổi dấu của bất phương trình.

• Bài toán trở lại về giải bất phương trình bậc 2 với tam thức \(\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)\). Học sinh giải như bình thường.

• Cần lưu ý sau khi đã giải ra khoảng nghiệm của bất phương trình, nếu khoảng nghiệm này có chứa \(x=-\frac{d}{c}\) thì cần loại bỏ nghiệm này ra (theo điều kiện xác định).

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của bất phương trình sau: \(\frac{2x+1}{x-3}\le0\)

Lời giải chi tiết:

• Điều kiện xác định: \(x\ne3\).

• Do \(\left(x-3\right)^2>0,\frac{2x+1}{x-3}\le0\) nên \(\frac{2x+1}{x-3}.\left(x-3\right)^2\le0\). Suy ra cần giải bất phương trình \(\left(2x+1\right)\left(x-3\right)\le0\) hay \(2x^2-5x-3\le0\)

• Tam thức \(f\left(x\right)=2x^2-5x-3\) có 2 nghiệm là \(-\frac12\) và 3. Đồng thời hệ số a của tam thức là \(2>0\). Theo quy tắc “Trong trái, ngoài cùng” thì tam thức \(f\left(x\right)=2x^2-5x-3\le0\) khi \(x\in\left\lbrack-\frac12;3\right\rbrack\).

• Tuy nhiên vì điều kiện xác định của phân thức là \(x\ne3\) nên tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\lbrack-\frac12;3\right)\)

Dạng bài hệ bất phương trình bậc 2 một ẩn

Đây là dạng bài mà thay vì chỉ giải nghiệm cho 1 bất phương trình bậc 2, cần giải nghiệm thỏa mãn cả 2 bất phương trình bậc 2 cùng lúc.

Phương pháp giải: Học sinh lần lượt giải nghiệm cho từng bất phương trình, rồi sau đó tìm giao của các tập nghiệm thành phần.

Ví dụ: Tìm nghiệm của hệ bất phương trình sau:

\[x^2-5x+4\le0\]\[x^2-5x+6\ge0\]Lời giải chi tiết:

• Giải bất phương trình \(x^2-5x+4\le0\).

  • \(\Delta=5^2-4\cdot1\cdot4=9>0;a=1>0\)

  • Tam thức \(x^2-5x+4\) có 2 nghiệm là:

    \[x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2}=4\]\[x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1\]

  • Theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”, để \(x^2-5x+4\le0\) thì x phải thuộc khoảng \(\left\lbrack1;4\right\rbrack\) (1)

• Giải bất phương trình \(x^2-5x+6\ge0\).

  • \(\Delta=5^2-4\cdot1\cdot6=1>0;a=1>0\)

  • Tam thức \(x^2-5x+6\) có 2 nghiệm là:

    \[x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+1}{2}=3\]\[x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-1}{2}=2\]

  • Theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”, để \(x^2-5x+6\ge0\) thì x phải nằm ngoài khoảng nghiệm của tam thức, tức là \(x\le2\) hoặc \(x\ge3\). (2)

• Từ (1) và (2) có thể tìm giao giữa các khoảng nghiệm của 2 bất phương trình. Giao các khoảng nghiệm này chính là tập nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\lbrack1;2\right\rbrack\cup\left\lbrack3;4\right\rbrack\)

• Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S=\left\lbrack1;2\right\rbrack\cup\left\lbrack3;4\right\rbrack\)

Dạng bài bất phương trình trùng phương một ẩn

Bất phương trình trùng phương là bất phương trình có các dạng sau: \[ax^{2n}+bx^{n}+c>0;ax^{2n}+bx^{n}+c\ge0;ax^{2n}+bx^{n}+c<0^{};ax^{2n}+bx^{n}+c\le0\]Phương pháp giải: Nếu đặt \(x^{n}=t\) thì bài toán sẽ được đưa về bất phương trình bậc 2 với ẩn t của tam thức \(at^2+bt+c\). Khi đã tìm được tập nghiệm cho ẩn t thì học sinh cũng sẽ tìm được tập nghiệm cho ẩn x

Lưu ý: Khi n là số chẵn, thì \(x^{n}\ge0\forall x\). Do đó khi giải bất phương trình bậc 2 với ẩn t thì chỉ lấy khoảng nghiệm mà \(t\ge0\)

Ví dụ: Giải bất phương trình sau: \(x^4-3x^2-4\le0\)

Lời giải chi tiết:

• Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\). Bất phương trình trở thành \(t^2-3t-4\le0\).

• Tính

  \(\Delta=3^2-4\cdot1\cdot\left(-4\right)=25>0\)

• Tam thức \(t^2-3t-4\) có 2 nghiệm phân biệt là:\[t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+5}{2}=4\]\[t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-5}{2}=-1\]

• Tam thức \(t^2-3t-4\) có hệ số a là 1, lớn hơn 0. Do đó theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng” thì để \(t^2-3t-4\le0\), t phải thuộc \(\left\lbrack-1;4\right\rbrack\).

• Tuy nhiên, do \(t=x^2\ge0\) nên loại bỏ khoảng \(\left\lbrack-1;0\right)\) trong khoảng nghiệm vừa tìm được. Vậy \(t\in\left\lbrack0;4\right\rbrack\)

• Mà \(t=x^2\) nên \(x^2\in\left\lbrack0;4\right\rbrack\). Suy ra \(-2\le x\le2\) hay \(x\in\left\lbrack-2;2\right\rbrack\).

• Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\lbrack-2;2\right\rbrack\)

Giải và biện luận bất phương trình bậc 2 một ẩn có chứa tham số m

Đối với các bài toán chứa tham số m, quy trình biện luận đòi hỏi sự tỉ mỉ qua việc phân chia các trường hợp xảy ra của tham số:

• Xét hệ số chứa tham số: Nếu hệ số a chứa m, xét riêng trường hợp a = 0 để kiểm tra xem biểu thức có trở thành bậc nhất hay không.

• Xét biệt thức: Khi a khác 0, tiến hành tính biệt thức \(\Delta\)theo m và lần lượt biện luận các khả năng \(\Delta<0,\Delta=0,\Delta>0\) nhằm xác định sự thay đổi dấu của tam thức.

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình sau: \(x^2-2mx+4>0\)

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Tham số m chỉ xuất hiện ở hệ số b nên không cần xét trường hợp \(a=0\)

Hệ số \(a=1>0;\Delta^{\prime}=m^2-4\)

• Nếu \(-2<m<2\) thì \(\Delta^{\prime}<0\), tam thức luôn cùng dấu với a nên tam thức luôn dương. Do đó bất kì x nào cũng thỏa mãn, tập nghiệm của bất phương trình là R.

• Nếu \(m = 2\) hoặc \(m = -2\) thì \(\Delta^{^{\prime}}=0\), tam thức có nghiệm kép \(x = m\). Do đó chỉ cần \(x\ne m\) là thỏa mãn bất phương trình. Tập nghiệm là R \ {m}.

• Nếu m < -2 hoặc m > 2 thì \(\Delta^{^{\prime}}>0\), tam thức có hai nghiệm phân biệt. Theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng” thì tập nghiệm là \[S=(-\infty;{}m-\sqrt{m^2-4})\cup(m+\sqrt{m^2-4};+\infty)\]

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình sau: \[mx^2-2\left(m+1\right)x+1>0\]

Lời giải chi tiết:

• Nếu \(m=0\). Bất phương trình trở thành bất phương trình bậc nhất: \(-2x+1>0\). Tập nghiệm là \((-\infty;\frac12{})\)

• Nếu \(m\ne0\). Khi đó \(\Delta^{^{\prime}}=\left(m_{}+1\right)^2-m=m^2+m+1\).

  Ở đây có thể chứng minh rằng \(\Delta^{^{\prime}}>0\forall m\) bằng 2 cách như sau:

  • Cách 1: Xét 1 bài toán con về tam thức bậc 2 \(f\left(m\right)=m^2+m+1\) . Có thể chỉ ra được biệt thức \(\Delta\)của tam thức bậc 2 f(m) này lớn hơn 0, do đó tam thức luôn cùng dấu với hệ số \(a=1\), hay nói cách khác f(m) luôn dương.

  • Cách 2: Biến đổi \[m^2+m+1=\left(m^2+m+\frac14\right)+\frac34=\left(m+\frac12\right)^2+\frac34>0\forall m\]

• Do \(\Delta^{^{\prime}}>0\forall m\) nên tam thức luôn cùng dấu với hệ số m. Theo đó:

  • \(m>0\) thì tam thức luôn dương, bất phương trình ban đầu có tập nghiệm là R.

  • \(m<0\) thì tam thức luôn âm, bất phương trình ban đầu vô nghiệm.

Bài tập vận dụng tổng hợp

Học sin hãy ôn luyện các kiến thức về bất phương trình bậc 2 1 ẩn bằng các bài tập sau đây nhằm tự kiểm tra và nâng cao năng lực tự học:

Bài tập 1: Giải bất phương trình: \(2x^2{}-5x+2\le0\).

Gợi ý: Tam thức có hai nghiệm là \(\frac12\) và 2. Hệ số a dương nên biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng 0 trong khoảng giữa hai nghiệm. Kết quả: Tập nghiệm \( S = [1/2; 2]\).

Bài tập 2: Giải bất phương trình: \(\frac{2x-1}{3x_{}+2}>0\)

Gợi ý: Điều kiện xác định: \(3x+2\ne0\). Sau đó đưa về giải bất phương trình \(\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)>0\).

Kết quả: Tập nghiệm \[S=(-\infty;{}-\frac23)\cup(\frac12;+\infty)\]

Bài tập 3: Giải hệ bất phương trình sau:\[x^2-4x-5\ge0\]\[2x^2-19x+42\le0\]Gợi ý: Bất phương trình \(x^2-4x-5\ge0\) có tập nghiệm \(S_1=(-\infty;{}-1]\cup\left\lbrack5;+\infty)\right.\). Bất phương trình \(2x^2-19x+42\le0\) có tập nghiệm \(S_2=\left\lbrack\frac72^{};6\right\rbrack\). Để cho 2 bất phương trình cùng xảy ra thì x phải thuộc \(S_1\cap S_2=\left\lbrack5;6\right\rbrack\).

Kết quả: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S=\left\lbrack5;6\right\rbrack\).

Bài tập 4: Tìm nghiệm của bất phương trình sau: \(x^4-3x^2+2\ge0\)

Gợi ý: Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\). Giải bất phương trình \(t^2-3t+2\ge0\) rút ra được được \(t\le1\) hoặc \(t\ge2\). Với \(t\le1\) thì \(x\in\left\lbrack-1;1\right\rbrack\); với \(t\ge2\) thì \[x\in(-\infty;{}-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)\]

Kết quả: Tập nghiệm \[S=(-\infty;{}-\sqrt2)\cup\left\lbrack-1;1\right\rbrack\cup(\sqrt2;+\infty)\]

Bài tập 5: Giải và biện luận bất phương trình \(mx^2{}-2(m-2)x+1>0\)

Gợi ý:

• Nếu \(m=0\) thì bất phương trình trở thành bất phương trình bậc nhất 1 ẩn. Có thể dễ dàng tìm được tập nghiệm cho trường hợp này.

• Nếu \(m\ne0\). \(\Delta^{^{\prime}}=\left(m-2\right)^2-m=m^2-5m+4\).

  Xét bài toán con: Tam thức bậc 2 ẩn m là \(f\left(m\right)=m^2-5m+4\) có 2 nghiệm là \(m_1=1\) và \(m_2=4\).

  • Nếu \(m\in\left(1;4\right)\) thì \(\Delta^{^{\prime}}<0\). Đồng thời hệ số m lúc này dương nên tam thức ban đầu \(mx^2{}-2(m-2)x+1\) luôn dương. Bất phương trình có vô số nghiệm

  • Nếu \(m=1\) thì \(\Delta^{^{\prime}}=0\). Tam thức ban đầu có nghiệm duy nhất là -1. Đồng thời hệ số m dương nên tam thức \(mx^2{}-2(m-2)x+1\) luôn dương với \(x\ne-1\). Tập nghiệm là R \ {-1}

  • Nếu \(m=4\) thì \(\Delta^{^{\prime}}=0\). Tam thức ban đầu có nghiệm duy nhất là \(\frac12\). Đồng thời hệ số m dương nên tam thức \(mx^2{}-2(m-2)x+1\) luôn dương với \(x\ne\frac12\). Tập nghiệm là R \ {\(\frac12\)}

  • Nếu \(m\in(-\infty;{}1)\cup(4;+\infty)\)\{0} thì \(\Delta^{^{\prime}}>0\), tam thức \(mx^2{}-2(m-2)x+1\) có 2 nghiệm. Tiếp tục chia trường hợp \(m<0\) (hệ số a âm) thu được tập nghiệm là \[\left(\frac{m-1-\sqrt{m^2-5m+4}}{m};\frac{m-1+\sqrt{m^2-5m+4}}{m}\right)\] và trường hợp \(m>0\) (hệ số a dương) thu được tập nghiệm là \[(-\infty;{}\frac{m-1-\sqrt{m^2-5m+4}}{m})\cup(\frac{m-1+\sqrt{m^2-5m+4}}{m};+\infty)\]

Hệ thống kiến thức được tổng hợp ở phía trên đây đã đi vào những khái niệm, dạng bài và phương pháp tiếp cận để giải quyết bài toán liên quan đến bất phương trình bậc 2 một ẩn trong chương trình toán lớp 10.

Việc ghi nhớ định nghĩa, nắm vững kỹ năng lập bảng xét dấu và biết cách khai thác đồ thị hàm số cũng như các dạng bài nâng cao, đặc biệt là dạng bài giải và biện luận chứa tham số m sẽ giúp cho học sinh chuẩn bị tốt cho các kỳ thi kiểm tra. Ngoài ra, bạn học có thể tham khảo thêm các bài giảng toán lớp 10 tại ZIM Academy để tiếp tục ôn luyện các chủ đề liên quan.