Cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) | Phương pháp và bài tập Toán lớp 6

Trong Toán 6, cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) giúp xác định số lớn nhất cùng chia hết cho hai hay nhiều số. Bài viết trình bày ước chung là gì, ước chung lớn nhất là gì, cách tính ƯCLN bằng liệt kê ước và phân tích một số ra thừa số nguyên tố, cách tìm ước chung từ ƯCLN, các trường hợp đặc biệt và ứng dụng trong chia đều, cắt đoạn dài nhất, rút gọn phân số cùng bài tập minh họa có lời giải.

Ước chung là gì?

Ước chung của hai hay nhiều số là số tự nhiên khác 0 mà tất cả các số đó đều chia hết cho nó [1]. Chẳng hạn, 3 là ước chung của 12 và 18 vì cả 12 và 18 đều chia hết cho 3.

Ước chung lớn nhất là gì?

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của những số đó [1]. Ta dùng kí hiệu ƯC cho tập hợp ước chung và ƯCLN cho ước chung lớn nhất:

\[\mathrm{ƯC}(a,b)\text{ là một tập hợp; }\mathrm{ƯCLN}(a,b)\text{ là một số.}\]

Ví dụ: Xác định tập hợp ước chung và ƯCLN của 18 và 30.

Bước 1: Liệt kê các ước của từng số.

\[\mathrm{Ư}(18)=\{1;2;3;6;9;18\}\]

\[\mathrm{Ư}(30)=\{1;2;3;5;6;10;15;30\}\]

Bước 2: Chọn các số xuất hiện trong cả hai tập hợp.

\[\mathrm{ƯC}(18,30)=\{1;2;3;6\}\]

Bước 3: So sánh các ước chung. Số lớn nhất là 6.

Kết luận:

\[\mathrm{ƯCLN}(18,30)=6\]

Cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách liệt kê ước

Phương pháp này phù hợp với các số nhỏ, có ít ước:

• Bước 1: Liệt kê tập hợp ước của từng số.

• Bước 2: Tìm các phần tử chung để lập tập hợp ước chung.

• Bước 3: Chọn số lớn nhất trong tập hợp ước chung.

Bài tập minh họa cách tìm ước chung lớn nhất bằng định nghĩa:

Đề bài: Tìm ƯCLN của 24 và 36 bằng định nghĩa.

Phân tích đề bài: Hai số khá nhỏ nên có thể liệt kê đầy đủ các ước. Sau đó, ta tìm những ước xuất hiện ở cả hai tập hợp và chọn số lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Liệt kê đầy đủ các ước.

\[\mathrm{Ư}(24)=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\]

\[\mathrm{Ư}(36)=\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}\]

Bước 2: Lấy phần chung của hai tập hợp.

\[\mathrm{ƯC}(24,36)=\{1;2;3;4;6;12\}\]

Bước 3: Số lớn nhất trong tập hợp trên là 12. Vì 24 và 36 đều chia hết cho 12, kết quả thỏa mãn điều kiện.

Đáp án:

\[\mathrm{ƯCLN}(24,36)=12\]

Để tránh bỏ sót, học sinh nên viết ước theo thứ tự tăng dần và chỉ chọn số có trong cả hai tập hợp.

Cách tìm ước chung lớn nhất bằng phân tích thừa số nguyên tố

Với các số lớn hoặc ba số, nên phân tích thừa số nguyên tố:

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

• Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung.

• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.

Bài tập minh họa cách tìm ước chung lớn nhất bằng thừa số nguyên tố:

Đề bài: Tìm ƯCLN của 84, 126 và 210 bằng cách phân tích thừa số nguyên tố.

Phân tích đề bài: Bài toán gồm ba số tương đối lớn. Ta cần phân tích từng số, chọn những thừa số nguyên tố có mặt trong cả ba số rồi lấy số mũ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích từng số.

\[84=2^2\cdot3\cdot7\]

\[126=2\cdot3^2\cdot7\]

\[210=2\cdot3\cdot5\cdot7\]

Bước 2: Ba thừa số nguyên tố cùng xuất hiện là 2, 3 và 7.

Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của mỗi thừa số chung đều là 1, nên:

\[\mathrm{ƯCLN}(84,126,210)=2\cdot3\cdot7=42\]

Kiểm tra: 84, 126 và 210 đều chia hết cho 42.

Đáp án: 42.

Nếu một số ban đầu không chia hết cho kết quả, học sinh cần kiểm tra lại thừa số hoặc số mũ.

Cách tìm ước chung từ ước chung lớn nhất

Sau khi tìm được ƯCLN của hai hay nhiều số, có thể xác định tập hợp các ước chung bằng cách tìm tất cả các ước của ƯCLN. Nếu \(d=\mathrm{ƯCLN}(a,b)\) thì:

\[d=\mathrm{ƯCLN}(a,b)\]

Ví dụ, \(\mathrm{ƯCLN}(24,36)=12\), do đó:

\[\mathrm{ƯC}(24,36)=\mathrm{Ư}(12)=\{1;2;3;4;6;12\}\]

Trường hợp đặc biệt trong cách tìm ước chung lớn nhất

Có những trường hợp cho phép xác định ƯCLN nhanh.

Số nhỏ nhất là ước của các số còn lại

Nếu các số còn lại đều chia hết cho số nhỏ nhất, số nhỏ nhất chính là ƯCLN.

Bài tập minh họa:

Đề bài: Tìm ƯCLN của 20, 60 và 100.

Phân tích đề bài: 20 là số nhỏ nhất và là ước của cả 60, 100.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Kiểm tra \(60:20=3\) và \(100:20=5\). Cả hai phép chia đều không dư.

Bước 2: Kết luận 20 là số nhỏ nhất đồng thời là ước của hai số còn lại.

\[\mathrm{ƯCLN}(20,60,100)=20\]

Đáp án: 20.

Các số nguyên tố cùng nhau

Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

Bài tập minh họa:

Đề bài: Kiểm tra 8 và 15 có phải là hai số nguyên tố cùng nhau không.

Phân tích đề bài: Nếu hai số không có thừa số nguyên tố chung, ƯCLN bằng 1.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Ta có \(8=2^3\) và \(15=3\cdot5\).

Bước 2: Hai số không có thừa số nguyên tố chung, nên:

\[\mathrm{ƯCLN}(8,15)=1\]

Đáp án: 8 và 15 là hai số nguyên tố cùng nhau. Cả hai đều là hợp số, vì vậy “nguyên tố cùng nhau” không có nghĩa là từng số phải là số nguyên tố.

Cách nhận biết nhanh

• Nếu trong các số đã cho có số 1 thì ƯCLN bằng 1.

• Nếu số nhỏ nhất là ước của tất cả số còn lại thì ƯCLN bằng số nhỏ nhất.

• Nếu các số không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN bằng 1.

Học sinh nên kiểm tra bằng phép chia để chắc chắn kết quả tìm được là ước của tất cả các số.

Mối liên hệ giữa ƯCLN và BCNN

Với hai số tự nhiên dương a và b, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất có mối liên hệ:

\[\mathrm{ƯCLN}(a,b)\cdot\mathrm{BCNN}(a,b)=a\cdot b\]

Ứng dụng của cách tìm ước chung lớn nhất trong bài toán thực tế

Dấu hiệu thường gặp là “chia đều nhiều nhất”, “đoạn bằng nhau dài nhất” và “không thừa”.

Chia đồ vật thành các phần bằng nhau

Bài tập minh họa:

Đề bài: Có 48 nhãn vở và 36 bút chì. Hỏi có thể chia nhiều nhất bao nhiêu phần quà giống nhau mà không thừa đồ dùng?

Phân tích đề bài: Số phần quà là ước chung lớn nhất của 48 và 36.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính ƯCLN của 48 và 36.

\[\mathrm{ƯCLN}(48,36)=12\]

Bước 2: Tính số đồ dùng trong mỗi phần: \(48:12=4\) nhãn vở và \(36:12=3\) bút chì.

Đáp án: 12 phần quà; mỗi phần có 4 nhãn vở và 3 bút chì.

Cắt các đoạn vật liệu bằng nhau

Bài tập minh họa:

Đề bài: Hai sợi dây dài 84 cm và 60 cm được cắt thành các đoạn bằng nhau, dài nhất và không thừa. Tìm độ dài mỗi đoạn.

Phân tích đề bài: Độ dài cần tìm là ước chung lớn nhất của 84 và 60.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính độ dài lớn nhất của mỗi đoạn.

\[\mathrm{ƯCLN}(84,60)=12\text{ cm}\]

Bước 2: Kiểm tra \(84:12=7\) và \(60:12=5\), nên không có phần dây thừa.

Đáp án: Mỗi đoạn dây dài 12 cm.

Rút gọn phân số về phân số tối giản

Muốn rút gọn nhanh phân số, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng.

Bài tập minh họa:

Đề bài: Rút gọn phân số \(\dfrac{42}{56}\) về phân số tối giản.

Phân tích đề bài: Tìm ƯCLN của tử và mẫu, rồi chia cả hai cho kết quả.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm ƯCLN của 42 và 56.

\[\mathrm{ƯCLN}(42,56)=14\]

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho 14.

\[\dfrac{42}{56}=\dfrac{42:14}{56:14}=\dfrac{3}{4}\]

Bước 3: Kiểm tra ƯCLN của 3 và 4 bằng 1.

Đáp án: Phân số tối giản là \(\dfrac{3}{4}\).

Bài tập về cách tìm ước chung lớn nhất có lời giải

Bài 1. Tìm ƯCLN của hai hoặc ba số

Đề bài: Tìm ƯCLN của 72, 108 và 180 bằng cách phân tích thừa số nguyên tố.

Phân tích đề bài: Phân tích ba số, chọn thừa số chung và lấy số mũ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích các số.

\[72=2^3\cdot3^2;\quad108=2^2\cdot3^3;\quad180=2^2\cdot3^2\cdot5\]

Bước 2: Chọn thừa số chung là 2 và 3.

Bước 3: Lấy số mũ nhỏ nhất là 2 đối với cả 2 và 3.

\[\mathrm{ƯCLN}(72,108,180)=2^2\cdot3^2=36\]

Kiểm tra: Cả ba số đều chia hết cho 36.

Đáp án: 36.

Bài 2. Chia đều thành nhiều nhóm nhất

Đề bài: Có 36 bút đỏ, 48 bút xanh và 60 quyển vở. Cần chia đều vào nhiều túi quà giống nhau nhất, không để thừa. Hỏi chia được bao nhiêu túi và mỗi túi có bao nhiêu đồ vật từng loại?

Phân tích đề bài: “Nhiều túi nhất” cho biết cần tìm ƯCLN của ba số lượng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Số túi phải là ước chung của 36, 48 và 60. Vì cần nhiều túi nhất, ta tìm ƯCLN.

Bước 2: Tính được:

\[\mathrm{ƯCLN}(36,48,60)=12\]

Bước 3: Mỗi túi có \(36:12=3\) bút đỏ, \(48:12=4\) bút xanh và \(60:12=5\) quyển vở.

Đáp án: 12 túi; mỗi túi có 3 bút đỏ, 4 bút xanh và 5 quyển vở.

Bài 3. Trắc nghiệm nhận biết

Đề bài: Chọn định nghĩa đúng về ước chung của hai hay nhiều số.

Phân tích đề bài: Cần nhớ ước chung là số mà tất cả các số đã cho đều chia hết cho nó.

Câu 1: Ước chung của hai hay nhiều số là gì?

A. Số chia hết cho tất cả các số đó.

B. Số mà tất cả các số đó đều chia hết cho nó.

C. Số lớn nhất trong các số đã cho.

D. Tích của các số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Phương án B đúng vì diễn đạt chính xác quan hệ chia hết. Phương án A đảo ngược quan hệ; C và D không phải định nghĩa ước chung.

Đáp án: B.

Trong Toán 6 Kết nối tri thức, nội dung thuộc Bài 11: Ước chung, ước chung lớn nhất. Cách tìm ước chung lớn nhất gồm hai phương pháp chính: liệt kê ước và phân tích thừa số nguyên tố. Học sinh cũng nên ghi nhớ hai trường hợp tính nhanh: các số còn lại đều chia hết cho số nhỏ nhất, hoặc các số nguyên tố cùng nhau. Khi gặp yêu cầu chia đều nhiều nhất, cắt đều dài nhất hoặc rút gọn phân số, hãy nghĩ đến ƯCLN và luôn kiểm tra lại bằng phép chia. Để củng cố các nội dung liên quan, học sinh có thể tham khảo thêm tổng hợp kiến thức Toán 6 và hệ thống lại những dạng toán trọng tâm.