Số nguyên tố là gì? Bảng số nguyên tố và cách nhận biết

Trong chương trình Toán 6, số nguyên tố là nội dung quan trọng thuộc chủ đề tính chia hết trong tập hợp số tự nhiên. Vậy số nguyên tố là gì? Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó.

Việc nắm rõ khái niệm số nguyên tố, cách phân biệt số nguyên tố và hợp số, tính chất và cách nhận biết số nguyên tố sẽ giúp học sinh xác định chính xác những số nào là số nguyên tố, lập bảng số nguyên tố và vận dụng Sàng Eratosthenes để tìm các số nguyên tố.

Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. [1]

Ví dụ cụ thể minh họa:

• Số 2: Do \(2 > 1\) và chỉ có đúng 2 ước nên 2 là số nguyên tố.

• Số 17: Số 17 chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên 17 là số nguyên tố.

• Số 29: Số 29 chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên 29 là số nguyên tố.

Chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm số nguyên tố qua một tình huống thực tế rất gần gũi như sau [1]: Bạn Mai giúp mẹ cắm 11 bông hoa hồng vào các lọ sao cho số hoa ở mỗi lọ bằng nhau (mỗi lọ nhiều hơn 1 bông). Mai nhận thấy không thể chia đều 11 bông hoa vào 2, 3, 4 hay 5 lọ. Tuy nhiên, nếu bớt 1 bông còn 10 bông, Mai lại dễ dàng chia đều vào 2 lọ (mỗi lọ 5 bông) hoặc 5 lọ (mỗi lọ 2 bông).

Sự khác biệt này xuất phát từ tập hợp các ước của hai số: số 11 chỉ có 2 ước là 1 và 11; còn số 10 có 4 ước là 1, 2, 5 và 10. Từ đó ta thấy số 11 chính là một ví dụ điển hình của số nguyên tố.

Số 0 và số 1 có phải số nguyên tố không?

Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố. Lý do cụ thể như sau:

• Đối với số 1: Số 1 chỉ có duy nhất 1 ước là chính nó (số 1). Trong khi đó, định nghĩa số nguyên tố đòi hỏi số đó phải có đúng hai ước phân biệt (là 1 và chính nó). Do không đủ 2 ước phân biệt, số 1 không thể là số nguyên tố.

• Đối với số 0: Mọi số tự nhiên \(a\) khác 0 đều là ước của 0 vì \(0 : a = 0\). Do đó, số 0 có vô số ước. Định nghĩa số nguyên tố chỉ cho phép số đó có đúng hai ước, nên số 0 hoàn toàn không phải là số nguyên tố.

Phân biệt số nguyên tố và hợp số

Hợp số là gì?

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Cùng với số nguyên tố, tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 còn bao gồm hợp số. [1]

So sánh đặc điểm của số nguyên tố và hợp số qua số ước

Để giúp học sinh dễ dàng phân loại, ta hệ thống hóa tập hợp các số tự nhiên \(\mathbb{N}\) dựa trên số lượng ước của chúng như sau :

Đối chiếu trong cùng khoảng giá trị

Việc so sánh từng cặp số kề nhau trong cùng khoảng giá trị giúp làm rõ nét đặc trưng của từng loại số:

• Cặp số (10 và 11):

  • Số 10: Tập hợp ước \(\text{Ư}(10) = \{1; 2; 5; 10\}\) có 4 ước \(\rightarrow\) 10 là hợp số.

  • Số 11: Tập hợp ước \(\text{Ư}(11) = \{1; 11\}\) có đúng 2 ước \(\rightarrow\) 11 là số nguyên tố.

• Cặp số (17 và 18):

  • Số 17: Tập hợp ước \(\text{Ư}(17) = \{1; 17\}\) có đúng 2 ước \(\rightarrow\) 17 là số nguyên tố.

  • Số 18: Tập hợp ước \(\text{Ư}(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\) có 6 ước \(\rightarrow\) 18 là hợp số.

• Cặp số (23 và 24):

  • Số 23: Tập hợp ước \(\text{Ư}(23) = \{1; 23\}\) có đúng 2 ước \(\rightarrow\) 23 là số nguyên tố.

  • Số 24: Tập hợp ước \(\text{Ư}(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\) có 8 ước \(\rightarrow\) 24 là hợp số.

Dấu hiệu nhận biết nhanh hợp số

Trong thực hành, để chứng minh một số \(n > 1\) là hợp số (không là số nguyên tố), học sinh không nhất thiết phải liệt kê toàn bộ các ước của \(n\). Ta chỉ cần áp dụng các dấu hiệu chia hết cơ bản (cho 2, 3, 5, 9) để chỉ ra \(n\) có ít nhất một ước khác 1 và chính \(n\).

Ví dụ: Xét số 1 975 . Số này có chữ số tận cùng là 5, nên theo dấu hiệu chia hết cho 5, 1 975 chia hết cho 5. Do đó, ngoài hai ước 1 và 1 975, số này còn có thêm ước là 5. Vì có nhiều hơn hai ước, ta kết luận ngay 1 975 là hợp số (không là số nguyên tố) [1].

Bảng số nguyên tố nhỏ hơn 100

Trong phạm vi các số tự nhiên từ 1 đến 100, có tất cả 25 số nguyên tố. Bảng liệt kê chi tiết các số nguyên tố nhỏ hơn 100 bao gồm:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Tính chất đặc biệt của số 2 và tính chẵn/lẻ của số nguyên tố

Học sinh cần đặc biệt ghi nhớ các tính chất quan trọng sau:

• Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất, đồng thời là số nguyên tố chẵn duy nhất.

• Tất cả các số nguyên tố còn lại (từ số 3 trở đi) đều là số lẻ.

  Giải thích: Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều chia hết cho 2. Vì vậy, ngoài hai ước bắt buộc là 1 và chính nó, số chẵn lớn hơn 2 luôn có thêm ước thứ ba là 2. Điều này làm cho nó có ít nhất 3 ước, dẫn đến nó chắc chắn là hợp số.

Thuật toán Sàng Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten)

Đây là thuật toán cổ nổi tiếng do nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes (276 TCN – 194 TCN) phát minh nhằm tìm các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng số \(N\) cho trước.

Quy trình các bước loại trừ để tìm các số nguyên tố nhỏ hơn 50 [1]:

• Bước 1: Lập bảng chứa các số tự nhiên từ 1 đến 50.

• Bước 2: Gạch bỏ số 1. Giữ lại số 2 (số nguyên tố nhỏ nhất), gạch tất cả các số lớn hơn 2 và là bội của 2 (4, 6, 8, 10, ..., 50).

• Bước 3: Số chưa bị gạch tiếp theo là 3 (số nguyên tố). Giữ lại số 3, gạch tất cả các số lớn hơn 3 và là bội của 3 (9, 15, 21, ..., 45).

• Bước 4: Số chưa bị gạch tiếp theo là 5 (số nguyên tố). Giữ lại số 5, gạch tất cả các số lớn hơn 5 và là bội của 5 (25, 35, 45,...).

• Bước 5: Số chưa bị gạch tiếp theo là 7 (số nguyên tố). Giữ lại số 7, gạch tất cả các số lớn hơn 7 và là bội của 7 (49,...).

Sau khi hoàn thành các bước trên, tất cả các số còn lại không bị gạch trong bảng chính là các số nguyên tố nhỏ hơn 50 [1]: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Thuật toán này hoạt động tương tự như một chiếc sàng lọc, giữ lại các số nguyên tố và loại bỏ toàn bộ hợp số.

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Mọi hợp số đều có thể phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố [1].

Các quy ước quan trọng :

• Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố chính là bản thân số đó (Ví dụ: số 7 phân tích ra là 7) [1].

• Trong kết quả phân tích, ta thường viết các thừa số theo thứ tự từ bé đến lớn và viết tích các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa (Ví dụ: viết \(24 = 2^3 \cdot 3\) thay vì \(2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2\)) [1].

Phương pháp sơ đồ cây

Phương pháp sơ đồ cây tách một hợp số thành tích của hai thừa số bất kỳ. Nếu trong các thừa số đó có hợp số, ta lại tiếp tục tách hợp số đó thành tích hai thừa số khác. Quá trình dừng lại khi tất cả các nhánh tận cùng đều là số nguyên tố.

Ví dụ: Phân tích số 36 ra thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cây:

Số 36 có thể phân tích ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây như sau:

Vậy \(36=2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3= 2^2 \cdot 3^2\).

Phương pháp sơ đồ cột

Phương pháp sơ đồ cột chia liên tiếp số cần phân tích cho ước nguyên tố nhỏ nhất của nó, viết thương ở dòng dưới bên trái, tiếp tục chia thương đó cho ước nguyên tố nhỏ nhất cho đến khi thu được thương bằng 1.

Ví dụ 1: Phân tích số 36 ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột:

Số 36 có thể phân tích ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột như sau:

Vậy \(36=2\cdot2\cdot3\cdot3=2^2\cdot3^2{}\).

Ví dụ 2: Phân tích số 945 ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột [2]:

Số 945 có thể phân tích ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột như sau:

Vậy \(945 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7\).

Nhận xét quan trọng

Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cây hay sơ đồ cột, nếu viết các thừa số theo thứ tự từ bé đến lớn và gom các thừa số giống nhau thành lũy thừa thì ta luôn thu được một kết quả duy nhất [1].

Tham khảo thêm: Bội chung nhỏ nhất | Cách tìm bội chung nhỏ nhất và bài tập có đáp án.

Bài tập vận dụng về các số nguyên tố và lời giải chi tiết

Bài tập 1 (Dạng nhận biết và giải thích số nguyên tố, hợp số)

Trong các số sau đây: \(17, 23, 51, 89, 125, 2018, 2023\); kiểm tra xem số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số bằng cách dùng dấu hiệu chia hết hoặc tra bảng số nguyên tố.

Phân tích đề bài

• Dạng bài: Nhận biết, phân loại và giải thích số nguyên tố, hợp số.

• Dữ kiện đề cho: Dãy gồm 7 số tự nhiên: \(17, 23, 51, 89, 125, 2018, 2023\).

• Thông tin cần tìm: Xác định chính xác từng số thuộc loại số nguyên tố hay hợp số, đồng thời trình bày lập luận giải thích dựa vào số lượng ước của từng số.

Kiến thức cần dùng

• Định nghĩa số nguyên tố.

• Định nghĩa hợp số.

• Dấu hiệu nhận biết nhanh hợp số.

• Bảng số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

• Số 17: Tập ước \(\text{Ư}(17) = \{1; 17\}\). Do \(17 > 1\) và chỉ có đúng 2 ước nên 17 là số nguyên tố (hoặc tra bảng).

• Số 23: Tập ước \(\text{Ư}(23) = \{1; 23\}\). Do \(23 > 1\) và chỉ có đúng 2 ước nên 23 là số nguyên tố (hoặc tra bảng).

• Số 51: Tổng các chữ số là \(5 + 1 = 6\) chia hết cho 3, nên 51 chia hết cho 3 (\(51 : 3 = 17\)). Do đó, ngoài 1 và 51, số này còn có ước là 3 và 17. Vì có nhiều hơn 2 ước nên 51 là hợp số.

• Số 89: Tra bảng số nguyên tố nhỏ hơn 100, ta thấy 89 chỉ có hai ước là 1 và 89 nên 89 là số nguyên tố.

• Số 125: Có chữ số tận cùng là 5 nên 125 chia hết cho 5. Ngoài 1 và 125, số này có thêm ước là 5 nên 125 là hợp số.

• Số 2018: Tận cùng là chữ số 8 (chẵn) nên 2018 chia hết cho 2. Ngoài 1 và 2018, số này có thêm ước là 2 nên 2018 là hợp số.

• Số 2023: Thực hiện phép chia cho các số nguyên tố, ta có \(2023 : 7 = 289\). Do đó 2023 có ước là 7. Vì có nhiều hơn 2 ước nên 2023 là hợp số.

Bài tập 2 (Dạng phân tích thừa số nguyên tố và biến đổi biểu thức)

a) Phân tích các số \(145, 310, 2020\) ra thừa số nguyên tố [2].

b) Phân tích các biểu thức \(A = 6^2 \cdot 9^3\) và \(B = 3 \cdot 8^2 \cdot 25\) ra thừa số nguyên tố [2].

Phân tích đề bài:

• Dạng bài: Phân tích số tự nhiên và biểu thức chứa lũy thừa ra thừa số nguyên tố.

• Dữ kiện đề cho:

  • Câu a: Các số tự nhiên ở dạng số tiêu chuẩn: \(145, 310, 2020\).

  • Câu b: Hai biểu thức tích chứa lũy thừa của các hợp số: \(A = 6^2 \cdot 9^3\) và \(B = 3 \cdot 8^2 \cdot 25\).

• Thông tin cần tìm: Viết mỗi số và biểu thức đã cho dưới dạng tích các lũy thừa của các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn.

Kiến thức cần dùng

• Quy tắc phân tích theo sơ đồ cột.

• Phân tích cơ số hợp số.

Lời giải chi tiết:

a) Thực hiện phân tích các số theo sơ đồ cột:

• Phân tích số 145:

  \(\begin{array}{r|l} 145 & 5 \\ 29 & 29 \\ 1 & \end{array}\)

  Vậy \(145 = 5 \cdot 29\).

• Phân tích số 310:

  \(\begin{array}{r|l} 310 & 2 \\ 155 & 5 \\ 31 & 31 \\ 1 & \end{array}\)

  Vậy \(310 = 2 \cdot 5 \cdot 31\).

• Phân tích số 2020:

  \(\begin{array}{r|l}2020 & 2\\ 1010 & 2\\ 505 & 5\\ 101 & 101\\ 1 & \end{array}\)

  Vậy \(2020=2^2 \cdot 5 \cdot 101\).

b) Biến đổi đưa các thừa số về dạng cơ số là số nguyên tố :

• Với \(A = 6^2 \cdot 9^3\):

  <

  Ta có:

  \(\begin{align*} &A= 6 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \\ &= 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \\ &= (2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \\ &= 2^2 \cdot 3^8 \end{align*}\)

• Với \(B = 3 \cdot 8^2 \cdot 25\):

  Ta có:

  \(\begin{align*} & B=3\cdot8\cdot8\cdot5\cdot5\\ & =3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\\ & =(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2)\cdot3\cdot(5\cdot5)\\ & =2^6\cdot3\cdot5^2\end{align*}\)

Bài tập 3 (Dạng tìm chữ số để thỏa mãn tính chất nguyên tố, hợp số)

Tìm chữ số \(a\) thích hợp để \(\overline{49a}\) là số nguyên tố [2].

Phân tích đề bài

• Dạng bài: Tìm chữ số chưa biết trong số có nhiều chữ số để số đó là số nguyên tố.

• Dữ kiện đề cho: Số tự nhiên có 3 chữ số \(\overline{49a}\) với chữ số hàng đơn vị \(a\) chưa biết, trong đó \(a \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}\).

• Thông tin cần tìm: Xác định tập hợp tất cả các giá trị của chữ số \(a\) để số \(\overline{49a}\) trở thành số nguyên tố.

Kiến thức cần dùng

• Phương pháp loại trừ hợp số.

• Kiểm tra và tra cứu bảng số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

Xét số \(\overline{49a}\) với \(a \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}\):

Tra bảng các số nguyên tố từ 490 đến 499 (hoặc thử chia cho các ước nguyên tố nhỏ), ta thấy:

• Với \(a = 1\), số 491 là số nguyên tố.

• Với \(a = 9\), số 499 là số nguyên tố.

• Các giá trị \(a\) còn lại đều cho kết quả là hợp số (ví dụ: \(490, 492\) chia hết cho 2; \(495\) chia hết cho 5; \(493 = 17 \cdot 29\)).

  Vậy \(a \in \{1; 9\}\).

Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó, trong khi hợp số có từ 3 ước trở lên. Việc nắm vững khái niệm và kĩ năng phân tích một số ra thừa số nguyên tố (bằng sơ đồ cây hoặc sơ đồ cột) giúp học sinh làm chủ chương trình Toán 6. Đây là cơ sở quan trọng để học các bài toán về Ước chung lớn nhất (ƯCLN), Bội chung nhỏ nhất (BCNN) và nhiều nội dung liên quan trong chuyên đề Toán 6 của ZIM Academy.