Số nguyên tố là gì? Bảng số nguyên tố và cách nhận biết

Trong chương trình Toán 6, số nguyên tố là nội dung quan trọng thuộc chủ đề tính chia hết trong tập hợp số tự nhiên. Vậy số nguyên tố là gì? Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó.

Việc nắm rõ khái niệm số nguyên tố, cách phân biệt số nguyên tố và hợp số, tính chất và cách nhận biết số nguyên tố sẽ giúp học sinh xác định chính xác những số nào là số nguyên tố, lập bảng số nguyên tố và vận dụng Sàng Eratosthenes để tìm các số nguyên tố.

Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó. [1]

Trong tiếng Anh, số nguyên tố được gọi là prime number. Khái niệm số nguyên tố giúp phân biệt các số tự nhiên lớn hơn 1 thành hai nhóm chính là số nguyên tố và hợp số.

Ví dụ về số nguyên tố:

• Số 2: Có đúng hai ước là 1 và 2 nên 2 là số nguyên tố.

• Số 17: Chỉ có hai ước là 1 và 17 nên 17 là số nguyên tố.

• Số 29: Chỉ có hai ước là 1 và 29 nên 29 là số nguyên tố.

Chúng ta có thể tìm hiểu khái niệm số nguyên tố qua một tình huống thực tế như sau [1]: Bạn Mai giúp mẹ cắm 11 bông hoa hồng vào các lọ sao cho số hoa ở mỗi lọ bằng nhau, mỗi lọ nhiều hơn 1 bông. Mai nhận thấy không thể chia đều 11 bông hoa vào 2, 3, 4 hay 5 lọ. Tuy nhiên, nếu bớt 1 bông còn 10 bông, Mai lại có thể chia đều vào 2 lọ hoặc 5 lọ.

Sự khác biệt này xuất phát từ tập hợp các ước: số 11 chỉ có hai ước là 1 và 11, trong khi số 10 có bốn ước là 1, 2, 5 và 10. Vì vậy, 11 là một số nguyên tố còn 10 là hợp số.

Số nguyên tố là những số nào?

Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó. Các số nguyên tố bắt đầu từ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... Trong đó, 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Có vô số số nguyên tố nên không thể liệt kê tất cả. Để tra cứu nhanh, học sinh có thể xem bảng các số nguyên tố ở phần dưới.

Số 0, 1 và 2 có phải là số nguyên tố không?

Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố, còn số 2 là số nguyên tố. Cụ thể:

• Số 0 không phải là số nguyên tố vì 0 không thỏa mãn điều kiện là số tự nhiên lớn hơn 1. Ngoài ra, mọi số tự nhiên khác 0 đều là ước của 0.

• Số 1 không phải là số nguyên tố vì số 1 chỉ có duy nhất một ước là chính nó. Trong khi đó, số nguyên tố phải có đúng hai ước phân biệt là 1 và chính số đó.

• Số 2 là số nguyên tố vì 2 lớn hơn 1 và có đúng hai ước là 1 và 2. Đây cũng là số nguyên tố nhỏ nhất và là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Cách nhận biết một số có phải là số nguyên tố không?

Để xác định một số có phải là số nguyên tố không, trước tiên cần kiểm tra số đó có phải là số tự nhiên lớn hơn 1 hay không. Sau đó, có thể kiểm tra xem số đó có ước nào khác 1 và chính nó hay không.

Với số tự nhiên n > 1, chỉ cần thử chia n cho các số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của n. Nếu n không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào trong phạm vi này thì n là số nguyên tố. Nếu tồn tại một ước khác 1 và chính n thì n là hợp số.

Một số ví dụ nhận biết số nguyên tố

Hợp số là gì?

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước.

Cùng với số nguyên tố, tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 còn bao gồm hợp số. [1]

So sánh số nguyên tố và hợp số qua số lượng ước

Ví dụ phân biệt số nguyên tố và hợp số

• Số 10: Ư(10) = {1; 2; 5; 10}, có bốn ước nên 10 là hợp số.

• Số 11: Ư(11) = {1; 11}, có đúng hai ước nên 11 là số nguyên tố.

• Số 17: Ư(17) = {1; 17}, có đúng hai ước nên 17 là số nguyên tố.

• Số 18: Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}, có nhiều hơn hai ước nên 18 là hợp số.

• Số 23: Ư(23) = {1; 23}, có đúng hai ước nên 23 là số nguyên tố.

• Số 24: Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}, có nhiều hơn hai ước nên 24 là hợp số.

Dấu hiệu nhận biết nhanh hợp số

Để chứng minh một số n > 1 là hợp số, học sinh không nhất thiết phải liệt kê toàn bộ các ước. Chỉ cần tìm được ít nhất một ước khác 1 và chính n.

Có thể sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 hoặc các số nguyên tố khác để nhận biết nhanh một hợp số.

Ví dụ: Số 1 975 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Do đó, ngoài hai ước 1 và 1 975, số này còn có thêm ước là 5. Vì vậy, 1 975 là hợp số. [1]

Bảng và danh sách các số nguyên tố

Các số nguyên tố nhỏ hơn 100

Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100 có tất cả 25 số nguyên tố. Danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 100 gồm:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

100 số nguyên tố đầu tiên

100 số nguyên tố đầu tiên bắt đầu từ số 2 và kết thúc ở số 541, gồm:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.

Có 168 số nguyên tố nhỏ hơn 1000. Có thể sử dụng bảng số nguyên tố hoặc Sàng Eratosthenes để tìm và kiểm tra các số nguyên tố trong một khoảng cho trước.

Tính chất của số nguyên tố

Một số tính chất của số nguyên tố cần ghi nhớ gồm:

• Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số nguyên tố chẵn duy nhất.

• Tất cả các số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.

• Các số nguyên tố có một chữ số gồm 2, 3, 5 và 7.

• Mỗi số nguyên tố có đúng hai ước dương là 1 và chính nó.

• Có vô số số nguyên tố, vì vậy không tồn tại số nguyên tố lớn nhất.

• Theo định nghĩa số nguyên tố trong chương trình Toán phổ thông, số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 nên không có số nguyên tố âm.

Giải thích vì sao 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất: Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều chia hết cho 2. Vì vậy, ngoài 1 và chính nó, số đó còn có thêm ước là 2 nên không thể là số nguyên tố.

Thuật toán Sàng Eratosthenes

Sàng Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten) là phương pháp dùng để tìm các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng một số N cho trước.

Ví dụ tìm các số nguyên tố nhỏ hơn 50: [1]

• Bước 1: Lập bảng các số tự nhiên từ 1 đến 50.

• Bước 2: Gạch bỏ số 1. Giữ lại số 2 và gạch các bội của 2 lớn hơn 2.

• Bước 3: Giữ lại số 3 và gạch các bội của 3 lớn hơn 3 chưa bị gạch.

• Bước 4: Giữ lại số 5 và gạch các bội của 5 lớn hơn 5 chưa bị gạch.

• Bước 5: Giữ lại số 7 và gạch các bội của 7 lớn hơn 7 chưa bị gạch.

Sau khi thực hiện các bước trên, các số còn lại là:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Đây chính là các số nguyên tố nhỏ hơn 50. Thuật toán hoạt động giống như một chiếc sàng, lần lượt loại bỏ các hợp số và giữ lại các số nguyên tố.

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng tích của các số nguyên tố. Mọi hợp số lớn hơn 1 đều có thể phân tích thành tích các thừa số nguyên tố. [1]

Nội dung này giúp học sinh vận dụng kiến thức về số nguyên tố và hợp số trong các bài toán liên quan đến tính chia hết, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.

Các quy ước quan trọng:

• Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố chính là bản thân số đó. Ví dụ, số 7 được viết dưới dạng thừa số nguyên tố là 7.

• Trong kết quả phân tích, các thừa số thường được viết từ bé đến lớn và các thừa số giống nhau được viết dưới dạng lũy thừa. Ví dụ: 24 = 2³ × 3.

Phương pháp sơ đồ cây

Phương pháp sơ đồ cây tách một hợp số thành tích của hai thừa số. Nếu trong các thừa số đó vẫn có hợp số, tiếp tục phân tích cho đến khi tất cả các nhánh cuối cùng đều là số nguyên tố.

Ví dụ: Phân tích số 36 ra thừa số nguyên tố: 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3².

Phương pháp sơ đồ cột

Phương pháp sơ đồ cột thực hiện bằng cách chia liên tiếp số cần phân tích cho ước nguyên tố nhỏ nhất của nó cho đến khi thu được thương bằng 1.

Ví dụ 1: Phân tích số 36 ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột: 36 = 2² × 3².

Ví dụ 2: Phân tích số 945 ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột [2]: 945 = 3³ × 5 × 7.

Nhận xét

Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cây hay sơ đồ cột, khi viết các thừa số theo thứ tự từ bé đến lớn và gom các thừa số giống nhau thành lũy thừa thì kết quả thu được là duy nhất. [1]

Bài tập về số nguyên tố và hợp số có lời giải

Bài tập 1: Nhận biết số nguyên tố và hợp số

Trong các số sau: 17, 23, 51, 89, 125, 2018, 2023, hãy xác định số nào là số nguyên tố và số nào là hợp số.

Lời giải:

• 17: Có đúng hai ước là 1 và 17 nên 17 là số nguyên tố.

• 23: Có đúng hai ước là 1 và 23 nên 23 là số nguyên tố.

• 51: 51 chia hết cho 3 vì 5 + 1 = 6 chia hết cho 3. Do đó, 51 là hợp số.

• 89: Chỉ có hai ước là 1 và 89 nên 89 là số nguyên tố.

• 125: Có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Do đó, 125 là hợp số.

• 2018: Là số chẵn lớn hơn 2 nên chia hết cho 2. Vì vậy, 2018 là hợp số.

• 2023: 2023 = 7 × 289 = 7 × 17² nên 2023 là hợp số.

Bài tập 2: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

a) Phân tích các số 145, 310, 2020 ra thừa số nguyên tố. [2]

Lời giải:

• 145 = 5 × 29.

• 310 = 2 × 5 × 31.

• 2020 = 2² × 5 × 101.

b) Phân tích các biểu thức A = 6² × 9³ và B = 3 × 8² × 25 ra thừa số nguyên tố.

Ta có:

A = 6² × 9³ = (2 × 3)² × (3²)³ = 2² × 3⁸.

B = 3 × 8² × 25 = 3 × (2³)² × 5² = 2⁶ × 3 × 5².

Bài tập 3: Tìm chữ số để số đã cho là số nguyên tố

Tìm chữ số a thích hợp để số 49a là số nguyên tố. [2]

Lời giải:

Xét các số từ 490 đến 499:

• 491 là số nguyên tố nên a = 1.

• 499 là số nguyên tố nên a = 9.

• Các trường hợp còn lại đều là hợp số, chẳng hạn 490 và 492 chia hết cho 2; 495 chia hết cho 5; 493 = 17 × 29.

Vậy a ∈ {1; 9}.

Tham khảo thêm: Bội chung nhỏ nhất | Cách tìm bội chung nhỏ nhất và bài tập có đáp án.

Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó, trong khi hợp số có từ 3 ước trở lên. Việc nắm vững khái niệm và kĩ năng phân tích một số ra thừa số nguyên tố (bằng sơ đồ cây hoặc sơ đồ cột) giúp học sinh làm chủ chương trình Toán 6. Đây là cơ sở quan trọng để học các bài toán về Ước chung lớn nhất (ƯCLN), Bội chung nhỏ nhất (BCNN) và nhiều nội dung liên quan trong chuyên đề Toán 6 của ZIM Academy.