Căn bậc hai | Công thức, cách tính và bài tập lớp 9

Trong chương trình Toán 9, căn bậc hai là nội dung nền tảng giúp học sinh hiểu căn bậc hai là gì, căn bậc hai số học, kí hiệu \(\sqrt{a}\), điều kiện xác định và cách tính căn bậc hai.

Bài học cũng giúp học sinh vận dụng các công thức căn bậc hai để tính giá trị biểu thức, giải các bài toán liên quan và làm nền tảng cho các nội dung tiếp theo như biến đổi căn thức, căn bậc ba và phương trình chứa căn.

Căn bậc hai là gì?

Căn bậc hai của số thực không âm \(a\) là số thực \(x\) sao cho \(x^2=a\). [1]

Nhận xét:

• Số âm không có căn bậc hai;

• Số \(0\) có một căn bậc hai duy nhất là \(0\);

• Số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là \(\sqrt{a}\) (căn bậc hai số học của \(a\)) và \(-\sqrt{a}\).

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của 121.

Giải

Ta có \(\sqrt{121}=11\) nên 121 có hai căn bậc hai là 11 và \(-11\).

Kí hiệu và dấu căn bậc hai

Kí hiệu \(\sqrt{a}\) biểu thị căn bậc hai số học của \(a\), trong đó dấu \(\sqrt{\phantom{a}}\) được gọi là dấu căn, còn \(a\) là số hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Căn bậc hai số học là gì?

Với số thực \(a\ge0\), căn bậc hai số học của \(a\) là số không âm \(x\) sao cho \(x^2=a\), được kí hiệu là \(\sqrt a\). Ví dụ, căn bậc hai số học của 9 là 3, trong khi căn bậc hai của 9 là 3 và −3.

Cách tính căn bậc hai bằng máy tính

Với số chính phương, có thể tính căn bậc hai dựa vào phép bình phương; với các số không chính phương, có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị gần đúng.

Để tính các cǎn bậc hai của một số \(a>0\), chỉ cần tính \(\sqrt{a}\). Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.

Ví dụ:

Sử dụng máy tính cầm tay, tính căn bậc hai của 11,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải

Bấm các phím theo thứ tự sau:

màn hình hiện kết quả là \(3,33166625\). Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được \[\sqrt{11,1} \approx 3,33\]

Vậy căn bậc hai của 11,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ haì) là \(3,33\) và \(-3,33\).

Công thức và tính chất của căn bậc hai

\(\sqrt{a^2}=|a|\) với mọi số thực \(a\).

Công thức \(\sqrt{a^2}=|a|\) cho thấy kết quả của căn bậc hai luôn không âm và có mối liên hệ trực tiếp với giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Không sử dụng MTCT, tính:

a) \(1-\sqrt{2}+\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}\);

b) \(\sqrt{(-3)^2}+3\).

Giải

a) Ta có \(\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=|1+\sqrt{2}|=1+\sqrt{2}\) nên \[1-\sqrt{2}+\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=1-\sqrt{2}+(1+\sqrt{2})=2\]

b) Ta có \(\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3\) nên \[\sqrt{(-3)^2}+3=3+3=6\]

Căn bậc hai của một số thường gặp

Bảng dưới đây tổng hợp căn bậc hai của 2, 3, 4, 5, 8, 9, 16 và 25 cùng các giá trị gần đúng thường dùng.

Căn thức bậc hai là gì?

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng \(\sqrt{A}\), trong đó \(A\) là một biểu thức đại số. \(A\) được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

\(\sqrt{A}\) xác định khi \(A\) lấy giá trị không âm và ta thường viết là \(A\ge 0\). Ta nói \(A\ge 0\) là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa của) \(\sqrt{A}\).

Ví dụ: Xét căn thức \(\sqrt{2 x+1}\).

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.

b) Tính giá trị của căn thức đã cho tại \(x=0\) và \(x=4\).

Giải

a) Điều kiện xác định của căn thức là \(2 x+1 \geq 0\) hay \(x \geq-\frac{1}{2}\).

b) Tại \(x=0\) (thoả mãn điều kiện xác định) căn thức có giá trị là \[\sqrt{2 \cdot 0+1}=1\]

Tại \(x=4\) (thoả mãn điều kiện xác định) căn thức có giá trị là \[\sqrt{2 \cdot 4+1}=3\]

Lưu ý: Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với \(A\) là một biểu thức, ta cũng có:

• Với \(A \geq 0\) ta có \(\sqrt{A} \geq 0 ;(\sqrt{A})^2=A\);

• \(\sqrt{A^2}=|A|\).

Cách tính căn bậc hai và các dạng toán thường gặp

Tìm căn bậc hai của một số

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của

a) \(\dfrac{9}{16}\);

b) \(0{,}25\);

c) \(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2\).

Giải

a) Ta có \(\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}\) nên \(\dfrac{9}{16}\) có căn bậc hai là \(\dfrac{3}{4}\) và \(-\dfrac{3}{4}\).

b) Ta có \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\) nên \(0{,}25\) có căn bậc hai là \(0{,}5\) và \(-0{,}5\).

c) Ta có \(\sqrt{\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2}=\dfrac{2}{5}\) nên \(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2\) có hai căn bậc hai là \(\dfrac{2}{5}\) và \(-\dfrac{2}{5}\).

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: \(\sqrt{0{,}09}+7\cdot\sqrt{0{,}36}-3\cdot\sqrt{2{,}25}\).

Giải

Ta có: \[\sqrt{0{,}09}+7\cdot\sqrt{0{,}36}-3\cdot\sqrt{2{,}25}=0{,}3+7\cdot 0{,}6-3\cdot 1{,}5=0{,}3+4{,}2-4{,}5=0\]

Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức sau là số vô tỷ hay hữu tỷ: \(\sqrt { \left( \sqrt { 1 \dfrac { 9 } { 16 } } - \sqrt { \dfrac { 9 } { 16 } } \right) \cdot 18 }\)?

Giải

Ta có:\[\sqrt { \left( \sqrt { 1 \dfrac { 9 } { 16 } } - \sqrt { \dfrac { 9 } { 16 } } \right) \cdot 18 }=\sqrt { \left( \sqrt { \dfrac { 25 } { 16 } } - \sqrt { \dfrac { 9 } { 16 } } \right) \cdot 18 }=\sqrt{\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{4}\right)\cdot 18}=\sqrt{9}= 3\]

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số hữu tỷ, hơn nữa còn là một số tự nhiên.

Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn

Dạng bài này cần sử dụng tính chất sau:

• \(\sqrt{A}\) xác định khi \(A\geq 0\).

• \(\dfrac{1}{\sqrt{A}}\) xác định khi \(A>0\).

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của căn thức sau: \(\sqrt{5 - 2x}\).

Giải

Điều kiện xác định của căn thức là \(5-2x\geq 0\) hay \(x\leq\dfrac{5}{2}\).

Ví dụ 2: Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(\mathrm{A}=\sqrt{3x+6}\) xác định? Tính giá trị của \(\mathrm{A}\) khi \(x=5\) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải

Biểu thức \(\mathrm{A}=\sqrt{3x+6}\) xác định khi \(3x+6\geq0\) hay \(x\geq-2\).

Với \(x=5\) ta có \(A=\sqrt{3\cdot 5 +6}=\sqrt{21}\approx4{,}58\).

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(M=\sqrt{x+4}+\sqrt{2-x}\) xác định?

Giải

\(M\) xác định khi \(x+4\geq 0\) và \(2-x\geq 0\) hay \(-4\le x\leq2\).

Vì \(x\in\mathbb{Z}\) nên \(x\in\left\lbrace -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\right\rbrace\).

Vậy có \(7\) giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(M=\sqrt{x+4}+\sqrt{2-x}\) có nghĩa.

Bài toán so sánh, bài toán tìm \(x\)

1. Với \(a, b\geq 0\), ta có: \(\text{Nếu } a < b \text{ thì } \sqrt{a}<\sqrt{b}.\)

2. Với \(a\geq 0\), ta có:

• \(x^2=a\) khi \(x=\pm\sqrt{a}\).

• \(\sqrt{x}=a\) khi \(x=a^2\).

• \(\sqrt{x}<a\) khi \(0\leq x<a^2\).

Ví dụ 1: Không sử dụng MTCT, hãy so sánh:

a) \(\sqrt{3}\) và \(\sqrt{5}\);

b) \(3\) với \(\sqrt{10}\);

c) \(8\) và \(\sqrt{65}\).

Giải

a) Ta có \(3<5\) nên \(\sqrt{3}<\sqrt{5}\).

b) Ta có \(10>9\) nên \(\sqrt{10}>\sqrt{9}\) hay \(\sqrt{10}>3\).

c) Ta có \(64<65\) nên \(\sqrt {64} < \sqrt {65}\) hay \(8 < \sqrt { 65 }\).

Ví dụ 2: Với \(a<0\) thì số nào lớn hơn trong hai số \(\sqrt{-a}\) và \(\sqrt{-2a}\)?

Giải

Ta có \(-1>-2\) nên \(-a<-2a\) (vì \(a<0\)). Do đó \(\sqrt{-a}<\sqrt{-2a}\).

Ví dụ 3: Tìm \(x\), biết

a) \(x^2=\dfrac{16}{9}\)

b) \((x-1)^2=\dfrac{1}{9}\)

Giải

a) Ta có\[\begin{aligned}x^2 & =\dfrac{16}{9}\\ x^2 & =\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\\ x & =\dfrac{4}{3}\text{ hoặc }x=-\dfrac{4}{3}.\end{aligned}\]

Vậy \(x\in\left\{-\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3}\right\}.\)

b) Ta có

\[\begin{aligned}\text{ }(x-1)^2 & =\dfrac{1}{9}\\ (x-1)^2 & =\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\\ x-1 & =\dfrac{1}{3}\text{ hoặc }x-1=-\dfrac{1}{3}\\ x & =\dfrac{4}{3}\text{ hoặc }x=\dfrac{2}{3}\end{aligned}\]

Vậy \(x\in\left\{\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}\right\}.\)

Bài tập căn bậc 2 lớp 9 có lời giải

Đề bài

Bài 1. Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) \(24{,}5\);

b) \(\dfrac{9}{10}\).

Bài 2. Sử dụng máy tính cầm tay, tính (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)

a) \(\sqrt{54}\)

b) \(\sqrt{24{,}68}\)

c) \(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}\)

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức

a) \((\sqrt{5,25})^{2}+(-\sqrt{1,75})^{2}\);

b) \((\sqrt{102})^{2}-\sqrt{98^{2}}\).

Bài 4. Tìm \(x\) biết:

a) \(5x^2=80\)

b) \(2\sqrt{x}=1\)

c) \(\sqrt{3x}\leq 6\)

Bài 5. So sánh:

a) \(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\) và \(\sqrt{\dfrac{3}{4}}\);

b) \(\sqrt{0{,}48}\) và \(0,7\).

Bài 6. Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc hai sau:

a) \(\sqrt{x-3}\)

b) \(\sqrt{x^2+1}\)

Bài 7. Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng \(2 \mathrm{~m}^2\). Em hãy ước lượng (với độ chính xác \(0{,}005\)) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

Bài 8. Đại Kim tự tháp Giza là Kim tự tháp Ai Cập lớn nhất và là lăng mộ của Vương triều thứ Tư của pharaoh Khufu. Nền kim tự tháp có dạng hình vuông với diện tích khoảng \(53\, 052 \mathrm{~m}^2\). Hỏi độ dài cạnh nền của kim tự tháp đó là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Bài 9. Giông bão thổi mạnh, một cây bị gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và tạo với phương nằm ngang một góc \(45^\circ\) (minh hoạ ở hình bên). Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc cây là \(4{,}5\) m. Giả sử cây mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây đó theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Bài 10. Có hai xã \(A\), \(B\) cùng ở bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(AA'=500\) m, \(BB'=600\) m và người ta đo được \(A'B'=2200\)m. Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Giả sử vị trí của trạm cung cấp nước sạch đó là điểm \(M\) trên đoạn \(A'B'\) với \(MA'=x\) (m), \(0<x<2200\) (minh họa ở hình bên).

a) Hãy tính tổng khoảng cách \(MA+MB\) theo \(x\).

b) Tính tổng khoảng cách \(MA+MB\) khi \(x=1200\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Đáp án và lời giải

Bài 1.

a) Ta có \(\sqrt{24{,}5}\approx 4{,}95\) nên \(24{,}5\) có căn bậc hai là \(4{,}95\) và \(-4{,}95\).

b) Ta có \(\sqrt{\dfrac{9}{10}}\approx 0{,}95\) nên \(\dfrac{9}{10}\) có căn bậc hai là \(0{,}95\) và \(-0{,}95\).

Bài 2.

a) \(\sqrt{54}\approx7{,}3485\)

b) \(\sqrt{24{,}68}\approx4{,}9679\)

c) \(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}\approx7{,}3313\)

Bài 3.

a) \[(\sqrt{5,25})^{2}+(-\sqrt{1,75})^{2}=5{,}25+1{,}75=7\]

b) \[(\sqrt{102})^{2}-\sqrt{98^{2}}=102-98=4\]

Bài 4.

a) \(x=\pm 4\)

b) \(x=\dfrac{1}{4}\)

c) \(0\leq x\leq 12\)

Bài 5.

a) Ta có \(\dfrac{4}{3}>\dfrac{3}{4}>0 \Rightarrow \sqrt{\dfrac{4}{3}}>\sqrt{\dfrac{3}{4}}\).

Vậy \(\sqrt{\dfrac{4}{3}}>\sqrt{\dfrac{3}{4}}\).

b) Ta có \[0{,}49>0{,}48\Rightarrow \sqrt{0{,}49}>\sqrt{0{,}48} \Rightarrow 0{,}7>\sqrt{0{,}48}\]

Vậy \(0{,}7>\sqrt{0{,}48}\).

Bài 6.

a) \(\sqrt{x-3}\) Xác định khi \(x-3 \geq 0\Rightarrow x \geq 3\). Vậy điều kiện xác định là \(x \geq 3\).

b) \(\sqrt{x^2+1}\) Luôn xác định với mọi \(x\) vì \(x^2+1 > 0\).

Bài 7.

Ta có diện tích ô đất hình tròn là \[S=\pi r^2\Rightarrow r=\sqrt{\dfrac{S}{\pi}}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\approx0{,}7978845608\]

Suy ra \(d=1{,}595769122\) với độ chính xác \(0{,}005\) suy ra \(d\approx 1{,}6\) m.

Bài 8.

Gọi cạnh hình vuông (nền kim tự tháp) là \(x\), điều kiện \(x>0\), đơn vị \(\mathrm{m}\).

Diện tích hình vuông \[x^2=53\, 052\Rightarrow x=\sqrt{53\,052}\approx 230{,}3\mathrm{~m}\]

Vậy độ dài cạnh nền của kim tự tháp đó xấp xỉ \(230{,}3\mathrm{~m}\).

Bài 9.

Xem đoạn bị gãy là \(CB\); đoạn còn lại (thẳng đứng) là \(AC\).

Như vậy, độ dài của cây khi chưa bị gãy là \(AC+BC\).

Do \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) và \(\widehat{ABC}=45^\circ\), suy ra \(\triangle ABC\) vuông cân tại \(A\).

Suy ra \(AC=AB=4{,}5\mathrm{~m}\).

Áp dụng định lí Pytagore trong \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), ta được

\[BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC=\sqrt{2\cdot (4{,}5)^2}=\sqrt{40{,}5}\mathrm{~m}.\]

Chiều cao cây trước khi gãy là \(4{,}5+\sqrt{40{,}5}\approx 10{,}9\mathrm{~m}\).

Bài 10.

a) Xét \(\triangle AA'M\) vuông tại \(A'\) có \[MA=\sqrt{AA'^2+A'M^2}=\sqrt{500^2+x^2}\]

(m).

Xét \(\triangle BB'M\) vuông tại \(B'\) có \[MB=\sqrt{BB'^2+B'M^2}=\sqrt{600^2+(2200-x)^2}\]

(m).

Khi đó \[MA+MB=\sqrt{500^2+x^2}+\sqrt{600^2+(2200-x)^2}\]

(m).

b) Khi \(x=1200\), ta có \[MA+MB=\sqrt{500^2+1200^2}+\sqrt{600^2+(2200-1200)^2}\approx 2466 \text{ (m)}\]

Tham khảo thêm: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Lý thuyết và bài tập Toán 9.

Qua bài học, học sinh đã nắm được khái niệm căn bậc hai, căn bậc hai số học, điều kiện xác định cũng như các phép biến đổi cơ bản liên quan đến căn thức. Đây là nội dung mở đầu và giữ vai trò nền tảng trong toàn bộ chương Căn thức của Toán lớp 9. Việc hiểu vững căn bậc hai không chỉ giúp học sinh thực hiện chính xác các phép rút gọn, biến đổi biểu thức mà còn tạo cơ sở để tiếp cận những nội dung nâng cao hơn như căn bậc ba, biến đổi căn thức và giải phương trình chứa căn.

Để tiếp tục ôn tập và hệ thống hóa kiến thức một cách hiệu quả, học sinh có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 9 tại ZIM Academy.