Cấp số cộng | Công thức cấp số cộng, cách tính tổng và bài tập Toán 11

Trong chương trình Toán 11, cấp số cộng là một dạng dãy số quan trọng, trong đó hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi và được gọi là công sai của cấp số cộng.

Để giải các bài toán về cấp số cộng, học sinh cần nắm được công thức cấp số cộng, cách xác định công sai, số hạng tổng quát và công thức tính tổng cấp số cộng. Bài viết dưới đây hệ thống các kiến thức quan trọng về cấp số cộng, cách tính các số hạng, tính tổng và các dạng bài tập thường gặp trong Toán 11.

Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\), tức là: \(u_{n}=u_{n-1}+d\) với \(n\geq2\).[1]

Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.

Cho dãy cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) với công sai \(d\), ta có: \(d=u_{n}-u_{n-1}\) với \(n\geq2\).

Lưu ý: Công sai \(d\) là một số thực, hay \(d\in\mathbb{R}\).

Ví dụ:

• Dãy số 1; 3; 5; 7; … là dãy cấp số cộng với công sai \(d=2\).

• Dãy số 10; 7; 4; 1; … là dãy cấp số cộng với công sai \(d=-3\).

• Dãy số \(0;\dfrac12;1;\dfrac{3}{2};2;...\) là dãy cấp số cộng với công sai \(d=\dfrac12\).

Đặc biệt: Khi \(d=0\), ta được cấp số cộng là một dãy số không đổi.

Ví dụ: Dãy số 5; 5; 5; 5; 5; … là một cấp số cộng với công sai \(d=0\).

Công thức cấp số cộng quan trọng

Xét dãy cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng đầu là \(u_1\), công sai \(d\), ta có các công thức sau:

Công thức tính công sai của cấp số cộng và số hạng tổng quát

Công thức tính công sai: \(d=u_{n}-u_{n-1}\) với \(n\geq2\).

Công thức số hạng tổng quát: \(u_{n}=u_1+(n-1)d\) với \(n\geq1\).

Ta có thể chứng minh công thức trên bằng phương pháp truy hồi như sau:\[u_{n}=u_{n-1}+d=u_{n-2}+d+d=u_{n-2}+2d=u_{n-3}+3d=...=u_1+(n-1)d\]

Nhận xét: Với \(d\neq0\), từ công thức \(u_{n}=u_1+(n-1)d\), ta có \((n-1)d=u_{n}-u_1\), suy ra \(n=\dfrac{u_{n}-u_1}{d}+1\). Dựa vào công thức này, người học có thể xác định liệu một số bất kỳ có thuộc dãy cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) hay không, và vị trí của số đó trong dãy \(\left(u_{n}\right)\).

Ví dụ: Cho cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) với số hạng đầu \(u_1=1\) và công sai \(d=3\).

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy \(\left(u_{n}\right)\).

b) Tính số hạng thứ 20 của dãy.

c) Các số 22; 30 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng trên.

Lời giải:

a) Ta có: \(u_{n}=u_1+(n-1)d=1+\left(n-1\right)3=1+3n-3=3n-2\) với \(n\geq1\).

b) Từ công thức số hạng tổng quát \(u_{n}=3n-2\) , người học tính được \(u_{20}=3\times20-2=58\).

c) Áp dụng công thức \(n=\dfrac{u_{n}-u_1}{d}+1\).

• Xét \(u_{n}=22\), ta có: \(n=\dfrac{22-1}{3}+1=8\). Suy ra 22 là số hạng thứ 8 của dãy.

• Xét \(u_{n}=30\), ta có: \(n=\dfrac{30-1}{3}+1=\dfrac{32}{3}\) (vô lí). Suy ra 30 không thuộc dãy cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\).

Công thức tính tổng n cấp số cộng

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng được ký hiệu là \(S_{n}\)​:

\[S_{n}=u_1+u_2+...+u_{n}\]

Nhận xét: Tổng của các cặp \(u_1\) và \(u_{n}\), \(u_2\) và \(u_{n-1}\), … bằng nhau.

Thật vậy, áp dụng công thức số hạng tổng quát ta biểu diễn các tổng thành biểu thức chỉ chứa \(u_1\) và \(d\):

• \(u_1+u_{n}=u_1+u_1+(n-1)d=2u_1+\left(n-1\right)d\).

• \(u_2+u_{n-1}=u_1+d+u_1+(n-2)d=2u_1+\left(n-1\right)d\).

Ta có: \(S_{n}=u_1+u_2+...+u_{n-1}+u_{n}\) (1).

hay \(S_{n}=u_{n}+u_{n-1}+...+u_2+u_1\) (2).

Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được: \[2S_{n}=\left(u_1+u_{n}\right)+\left(u_2+u_{n-1}\right)+...+\left(u_{n-1}+u_2\right)+\left(u_{n}+u_1\right)\]

Vì tổng của các cặp \(u_1\) và \(u_{n}\), \(u_2\) và \(u_{n-1}\), … bằng nhau và có tất cả \(n\) cặp như vậy, suy ra:\(2S_{n}=n\left(u_1+u_{n}\right)\).

hay \[S_{n}=\dfrac{n\left(u_1+u_{n}\right)}{2}=\dfrac{n\left\lbrack u_1+u_1+\left(n-1\right)d\right\rbrack}{2}=\dfrac{n\left\lbrack2u_1+\left(n-1\right)d\right\rbrack}{2}=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d\]

Tính chất trung bình cộng

\(u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k\geq2\).

Chứng minh:

Theo định nghĩa của cấp số cộng, ta có:

\(u_{k+1}=u_k+d\) (3).

\(u_{k}=u_{k-1}+d\) (4).

Trừ từng vế (3) cho (4), thu được:

\[\iff u_{k+1}+u_{k-1}=2u_{k}\iff u_{k}=\dfrac{u_{k+1}+u_{k-1}}{2}\] (đpcm).

Tính chất về mối quan hệ giữa hai số hạng

\[u_n=u_m+(n-m)d\] với \(m,n\geq1\)

Chứng minh:

Từ công thức số hạng tổng quát, ta có:

\(u_{n}=u_1+\left(n-1_{}\right)d\) (5).

\(u_{m}=u_1+\left(m-1_{}\right)d\) (6).

Trừ từng vế (5) cho (6), thu được: \[u_{n}-u_{m}=u_1+(n-1)d-u_1-(m-1)d\]

\[\;\iff u_{n}-u_{m}=(n-1-m+1)d\iff\;u_{n}=u_{m}+(n-m)d\] (đpcm).

Tính chất cách đều

\[u_{k}=\dfrac{u_{k-m}+u_{k+m}}{2}\] với \(k>m\geq1\).

Chứng minh:

Từ công thức về mối quan hệ giữa hai số hạng, ta có:

\(u_{k+m}=u_{k}+(k+m-k)d\iff u_{k+m}=u_{k}+md\) (7)

\(u_{k}=u_{k-m}+\left\lbrack k-\left(k-m\right)]d\iff u_{k}=u_{k-m}+md\right.\) (8)

Trừ từng vế (7) cho (8), thu được:\[u_{k+m}-u_{k}=u_{k}+md-u_{k-m}-md\iff u_{k+m}-u_{k}=u_{k}-u_{k-m}\]

\[\iff u_{k+m}+u_{k-m}=2u_{k}\iff u_{k}=\dfrac{u_{k+m}+u_{k-m}}{2}\] (đpcm).

Các cặp số hạng có tổng chỉ số bằng nhau thì có tổng bằng nhau

Nghĩa là \(u_i+u_j=u_p+u_q\) khi và chỉ khi \[i+j=p+q,\quad d\ne0\]

Chứng minh:

Giả sử \(i+j=p+q\) , từ công thức số hạng tổng quát, ta có:

\[u_{i}+u_{j}=u_1+\left(i-1)d+u_1+(j-1)d=2u_1+(i+j-2)d\right.\]

\[u_{p}+u_{q}=u_1+\left(p-1)d+u_1+(q-1)d=2u_1+(p+q-2)d\right.\]

Vì \(i+j=p+q\) nên vế phải của 2 phương trình bằng nhau, tương đương vế trái của chúng cũng phải bằng nhau, tức là \(u_i+u_j=u_p+u_q\) (đpcm).

Bảng tổng hợp công thức cấp số cộng đầy đủ

Cách tính cấp số cộng

Các bài toán cấp số cộng hầu hết đều xoay quanh việc xác định số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\). Khi đã xác định được \(u_1\) và \(d\), ta có thể giải quyết tất cả các yêu cầu khác. Một số dạng bài cũng yêu cầu phân biệt cấp số cộng với cấp số nhân.

Bước 1: Xác định \(u_1\) và \(d\)

Biến đổi các giả thiết của bài toán về hệ phương trình chứa 2 ẩn \(u_1\) và \(d\) bằng cách áp dụng công thức số hạng tổng quát \(u_{n}=u_1+(n-1)d\).

Giải hệ phương trình để tìm \(u_1\) và \(d\).

Bước 2: Thiết lập công thức số hạng tổng quát

Thay giá trị của \(u_1\) và \(d\) vừa tìm được vào công thức số hạng tổng quát: \[u_{n}=u_1+(n-1)d\]

Rút gọn biểu thức để thu được dạng tối giản của \(u_{n}\).

Bước 3: Tính toán theo yêu cầu

Nếu bài toán yêu cầu tìm số hạng \(u_{k}\), ta thay \(n=k\) vào biểu thức \(u_{n}\).

Nếu bài toán yêu cầu tính tổng n số hạng đầu, ta thay \(n,u_1,d\) vào công thức \(S_{n}\).

Ví dụ: Cho dãy cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) thoả mãn \(u_1+u_5=18\) và \(u_3+u_7=30\).

a) Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\).

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số.

c) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left(u_{n}\right)\).

Lời giải:

a) Áp dụng công thức số hạng tổng quát \(u_{n}=u_1+(n-1)d\), ta biến đổi hệ phương trình ban đầu thành:

\[\begin{cases}u_1+u_1+4d=18\\ u_1+2d+u_1+6d=30\end{cases}\iff\begin{cases}2u_1+4d=18\\ 2u_1+8d=30\end{cases}\]

Giải hệ, thu được \(u_1=3\) và \(d=3\).

b) Thay \(u_1=3\) và \(d=3\) vào công thức số hạng tổng quát, thu được \[u_{n}=u_1+(n-1)d=3+\left(n-1\right)3=3n\]

c) Áp dụng công thức tính tổng \(S_{n}=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d\), ta được:\[S_{20}=20\times3+\dfrac{20\times19}{2}3=630\]

Các dạng bài tập cấp số cộng thường gặp và cách giải

Dạng 1: Nhận biết dãy số là cấp số cộng, tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai d

Đề bài: Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) với số hạng tổng quát \(u_{n}\). Chứng minh \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai.

Phương pháp giải

Để kiểm tra dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có phải là một cấp số cộng hay không, ta xét hiệu \(H=u_{n+1}-u_n\):

• Nếu \(H\)là một hằng số, không phụ thuộc vào \(n\), thì \(\left(u_{n}\right)\) chính là cấp số cộng với công sai \(d=H\).

• Nếu H phụ thuộc vào \(n\) thì \(\left(u_{n}\right)\) không phải một cấp số cộng.

Ví dụ: Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng tổng quát \(u_{n}=5n-2\). Chứng minh \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai.

Lời giải:

Ta có: \[u_{n+1}-u_{n}=5\left(n+1\right)-2-5n+2=5n+5-5n=5\]

Vì \(u_{n+1}-u_{n}=5\) không đổi với mọi \(n\in\mathbb{N}\)*, nên \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d=5\).

Số hạng đầu \(u_1=5\times1-2=3\).

Bài tập tự luyện

Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy xác định số hạng đầu và công sai.

a) \(n^2+1\).

b) \(\dfrac{2n+5}{7}\).

c) \(3-2n\).

Dạng 2: Tính số hạng thứ n hoặc xác định vị trí của một số hạng trong cấp số cộng

Đề bài: Cho cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) với hai số hạng bất kỳ hoặc một số hạng bất kỳ và công sai \(d\).

a) Tìm số hạng thứ k của dãy.

b) Xác định xem một số có thuộc cấp số cộng hay không? Vị trí của số đó trong dãy?

Phương pháp giải:

Trường hợp 1: Đề cho hai số hạng bất kì \(u_{i}=a\) và \(u_{j}=b\) với \(i,j\in\mathbb{N}\)*; \(a,b\in\mathbb{R}\).

• Bước 1: Biến đổi các giả thiết của bài toán về hệ phương trình chứa 2 ẩn \(u_1\) và \(d\) bằng cách áp dụng công thức số hạng tổng quát \(u_{n}=u_1+(n-1)d\), ta được hệ phương trình sau

  \(\begin{cases} u_1+(i-1)d=a\\ u_1+(j-1)d=b \end{cases}\) .

• Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm \(u_1\) và \(d\).

• Bước 3: Giải yêu cầu bài toán.

a) Tìm số hạng thứ k của dãy.

Người học áp dụng công thức số hạng tổng quát, tính được \(u_{k}=u_1+(k-1)d\).

b) Xác định xem một số \(m\) bất kỳ có thuộc cấp số cộng hay không? Vị trí của số \(m\) trong dãy?

Người học áp dụng công thức vị trí của số hạng trong dãy \(n=\dfrac{u_{n}-u_1}{d}+1\), trong đó \(u_{n}=m\), thu được:

\[n=\dfrac{m-u_1}{d}+1\]

Ta giải tìm \(n\), nếu \(n\) là số nguyên dương thì \(n\) chính là vị trí của số hạng \(m\) trong dãy cấp số cộng, nếu \(n\) không phải là số nguyên dương thì ta kết luận số \(m\) không thuộc về dãy \(\left(u_{n}\right)\).

Trường hợp 2: Đề cho số hạng bất kì \(u_{i}=a\) với \(i\in\mathbb{N}\)*; \(a\in\mathbb{R}\) và công sai \(d\).

a) Tìm số hạng thứ k của dãy.

Người học có thể áp dụng công thức mối quan hệ giữa hai số hạng \(u_n=u_m+(n-m)d\) để giải nhanh câu hỏi như sau: \(u_{k}=u_{i}+(k-i)d\).

b) Xác định xem một số \(m\) bất kỳ có thuộc cấp số cộng hay không? Vị trí của số \(m\) trong dãy?

• Bước 1: Người học áp dụng công thức số hạng tổng quát \(u_{n}=u_1+(n-1)d\) để giải tìm \(u_1\) và \(d\).

• Bước 2: Người học áp dụng công thức vị trí của số hạng trong dãy \(n=\dfrac{u_{n}-u_1}{d}+1\), trong đó \(u_{n}=m\), thu được:

  \(n=\dfrac{m-u_1}{d}+1\). Ta giải tìm \(n\), nếu \(n\) là số nguyên dương thì \(n\) chính là vị trí của số hạng \(m\) trong dãy cấp số cộng, nếu \(n\) không phải là số nguyên dương thì ta kết luận số \(m\) không thuộc về dãy \(\left(u_{n}\right)\).

Ví dụ: Cho cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_2=1\) và \(u_3=5\). Hỏi số 201 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy.

Lời giải:

Bước 1: Người học đi tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\).

Nhận thấy \(u_2\) và \(u_3\) là hai số hạng liên tiếp của dãy cấp số cộng, suy ra công sai \[d=u_3-u_2=5-1=4\]

Ta tính được \(u_1=u_2-d=1-4=-3\).

Bước 2: Giải yêu cầu bài toán

Áp dụng công thức vị trí của số hạng trong dãy \(n=\dfrac{u_{n}-u_1}{d}+1\), trong đó \(u_{n}=201\), thu được \(n=\dfrac{201-\left(-3\right)}{4}+1=52\).

Kết luận: Vậy 201 là số hạng thứ 52 của dãy \(\left(u_{n}\right)\).

Bài tập rèn luyện:

Cho cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng thứ ba là 50 và công sai là 4. Trả lời các câu hỏi sau:

a) Tìm số hạng thứ 33 của cấp số cộng.

b) Số 100 có thuộc dãy \(\left(u_{n}\right)\) không?

Dạng 3: Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Bài toán xuôi: Cho số lượng số hạng \(n\) → Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên

Đề bài: Cho cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) với hai số hạng bất kỳ hoặc một số hạng bất kỳ và công sai \(d\). Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định 3 trong 4 đại lượng \(n,u_1,d\) hoặc \(u_{n}\). Người học hãy lựa chọn ba đại lượng dễ tính nhất.

Bước 2: Áp dụng công thức phù hợp: \[S_{n}=\dfrac{(u_1+u_{n})n}{2}=\dfrac{n\left\lbrack2u_1+(n-1)d\right\rbrack}{2}=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d\]

Ví dụ: Tính tổng 50 số tự nhiên lẻ đầu tiên.

Lời giải:

50 số tự nhiên lẻ đầu tiên tạo thành dãy cấp số cộng 1; 3; 5; … với:

• Số hạng đầu \(u_1=1\)

• Công sai \(d=2\)

• Số lượng số hạng \(n=50\)

Áp dụng công thức \(S_{n}=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d\) thu được:\[S_{50}=50\times1+\dfrac{50(50-1)}{2}2=2500\]

Kết luận: Vậy tổng 50 số tự nhiên lẻ đầu tiên bằng 2500.

Bài tập rèn luyện: Tính tổng tất cả các số nguyên có 2 chữ số chia hết cho 3.

Gợi ý: Tìm \(n,u_1\) và \(u_{n}\).

Bài toán ngược: Cho tổng \(n\) số hạng đầu tiên → Tìm số lượng số hạng \(n\)

Đề bài: Cho cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) với hai số hạng bất kỳ hoặc một số hạng bất kỳ và công sai \(d\). Tìm n biết tổng \(n\) số hạng đầu tiên là \(N\).

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng \(u_1,d\) hoặc \(u_{n}\). Người học hãy lựa chọn ba đại lượng dễ tính nhất.

Bước 2: Áp dụng công thức phù hợp: \[S_{n}=\dfrac{(u_1+u_{n})n}{2}=\dfrac{n\left\lbrack2u_1+(n-1)d\right\rbrack}{2}=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d\]

Giải tìm \(n\).

Lưu ý: \(n\) phải là số nguyên dương.

Ví dụ: Cho cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_1=2\), \(d=3\). Bạn A tính tổng một vài số hạng đầu tiên của dãy \(\left(u_{n}\right)\) thu được kết quả là 345. Hỏi bạn A đã tính tổng của bao nhiêu số hạng?

Lời giải:

Nhận thấy đề bài đã cho \(u_1,d\) và \(S_{n}\), người học áp dụng công thức\(S_{n}=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d, thu được phương trình: 345=n\times2+\dfrac{n(n-1)}{2}3\iff3n^2+n-690=0\)

Giải phương trình thu được hai nghiệm \(n_1=15\) (thoả mãn) và \(n_2=-\dfrac{46}{3}\) (loại).

Kết luận: Vậy bạn A đã tính tổng 15 số hạng.

Bài tập rèn luyện:

Cho phương trình \(2+7+12+...+x=245\). Tìm \(x\) biết \(x\) là số tự nhiên.

Gợi ý: Vế trái của phương trình chính là tổng các số hạng của một cấp số cộng với \(x\) là số hạng cuối.

Dạng 4: Tìm điều kiện để ba số hoặc dãy số lập thành một cấp số cộng

Đề bài: Cho dãy gồm một vài số hạng chứa biến \(x\) tạo thành cấp số cộng. Tìm x.

Trường hợp 1: Số lượng các số hạng là một số lẻ

Người học áp dụng các công thức về tính chất trung bình cộng \(u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) hoặc tính chất cách đều \(u_{k}=\dfrac{u_{k-m}+u_{k+m}}{2}\) sao cho phù hợp, thu được phương trình hoặc hệ phương trình biến x. Ta giải tìm x.

Trường hợp 2: Số lượng các số hạng là một số chẵn

• Cách 1: Người học áp dụng công thức \(u_i+u_j=u_p+u_q\) khi và chỉ khi \(i+j=p+q\) .

• Cách 2: Áp dụng nhiều lần công thức về tính chất trung bình cộng hoặc tính chất cách đều để thu được phương trình hoặc hệ phương trình biến x. Người học giải tìm x.

Ví dụ: Tìm x để ba số \(x-1;x+2;3x+1\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

Áp dụng công thức về tính chất trung bình cộng \(u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\)thu được phương trình: \[x+2=\dfrac{x-1+3x+1}{2}\iff2x+4=4x\iff x=2\]

Thử lại, nhận thấy \(x=2\) thoả mãn.

Bài tập rèn luyện: Tìm m để 4 số \(m^2-3m;1;m+3;7\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Dạng 5: Bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng

Phương pháp giải:

• Bước 1: Mô hình hóa bài toán thực tế về ngôn ngữ toán học.

• Bước 2: Xác định các đại lượng \(u_1,u_n,d,n\) hoặc \(S_{n}\).

• Bước 3: Áp dụng công thức phù hợp để giải yêu cầu bài toán.

Ví dụ: Một khán đài được thiết kế theo hình cánh quạt tương tự như hình vẽ bên dưới. Khán đài có tổng cộng 25 hàng ghế, trong đó hàng ghế sau có nhiều hơn hàng ghế trước 5 chỗ ngồi. Hỏi khán đài có tổng cộng bao nhiêu chỗ ngồi biết hàng ghế đầu có 20 ghế.

Hình 1: Khán đài hình cánh quạt

Lời giải:

• Bước 1: Mô hình hóa bài toán thực tế về ngôn ngữ toán học.

Từ dữ kiện “hàng ghế sau có nhiều hơn hàng ghế trước 5 chỗ ngồi”, nhận thấy số chỗ ngồi của mỗi hàng ghế tạo thành một cấp số cộng có công sai là 5. Yêu cầu bài toán trở thành tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.

• Bước 2: Xác định các đại lượng \(u_1,d\) và n.

Theo đề bài, ta có:

Số hàng ghế: \(n=25\).

Hàng ghế đầu: \(u_1=20\).

Công sai: \(d=5\).

• Bước 3: Áp dụng công thức phù hợp để tính \(S_{n}\).

Người học áp dụng công thức \(S_{n}=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d\) thu được:\[S_{25}=25\times20+\dfrac{25(25-1)}{2}5=2000\]

Kết luận: Khán đài có tổng cộng 2000 chỗ ngồi.

Bài tập rèn luyện:

Anh Nam ký hợp đồng lao động với một công ty với mức lương năm đầu tiên là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai, mỗi năm lương của anh Nam được tăng thêm 12 triệu đồng. Hỏi sau 10 năm làm việc tại công ty, tổng số tiền lương anh Nam nhận được là bao nhiêu?

So sánh cấp số cộng và cấp số nhân

Những điểm cần chú ý:

• Phân biệt công sai d và công bội q: Cấp số cộng gắn liền với phép cộng/trừ (\(+d\)), trong khi cấp số nhân gắn liền với phép nhân/chia (\(\times q\)).

• Số hạng tổng quát \(u_{n}\): Cấp số cộng dùng biểu thức \((n-1)d\), cấp số nhân sử dụng luỹ thừa \(q^{n-1}\).

• Giá trị n: Trong cả hai loại cấp số, n luôn là số nguyên dương, dùng để biểu diễn vị trí của số hạng.

Ứng dụng của cấp số cộng trong thực tiễn

Kiến thức về cấp số cộng không chỉ xuất hiện ở những bài tập, kỳ thi mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực quan trọng hay xuất hiện một cách tự nhiên trong đời sống hằng ngày.

Kinh tế và tài chính

Tăng trưởng lương cố định: Các hợp đồng lao động có điều khoản tăng lương định kỳ một khoản cố định theo năm/quý chính là mô hình cấp số cộng.

Khấu hao tài sản: Trong kế toán, phương pháp khấu hao đường thẳng (mỗi năm tài sản giảm một giá trị cố định d) là ví dụ thực tế của một cấp số cộng giảm (\(d<0\)).

Kiến trúc và xây dựng

Tính toán vật liệu xây dựng dạng hình tháp hay hình quạt: Các công trình như kim tự tháp gạch, tháp xếp gỗ hay khán đài thi đấu thường có số lượng vật liệu ở tầng dưới nhiều hơn tầng trên một khoảng cố định \(d\). Việc áp dụng công thức tính \(u_{n}\) hay \(S_{n}\) giúp các kỹ sư dự toán chính xác tổng số gạch, đá hay ghế ngồi cần mua.

Quy hoạch vị trí trồng các cây xanh: Các cây xanh được trồng cách nhau một khoảng cách không đổi, khi đó vị trí của các cây tạo thành một cấp số cộng.

Khoa học tự nhiên

Chuyển động biến đổi đều trong vật lý: Khi một vật rơi tự do hoặc chuyển động nhanh/chậm dần đều với gia tốc \(a\), thì vận tốc của vật sau những khoảng thời gian \(\Delta t\) bằng nhau sẽ tạo thành một cấp số cộng với công sai \(d=a\Delta t\).

Sinh học và môi trường: Sự sinh trưởng của một số loài động/thực vật trong điều kiện kiểm soát (mỗi tuần tăng thêm một số lượng cá thể nhất định) tuân theo quy luật cấp số cộng.

Trong đời sống sinh hoạt

Cấp số cộng còn xuất hiện vô cùng tự nhiên trong đời sống thường ngày của chúng ta.

• Trò chơi trốn tìm: trong trò chơi, người đi tìm phải đếm một dãy số 5; 10; 15; …; 100 trước khi đi tìm các bạn khác. Đó chính là một cấp số cộng với công sai \(d=5\).

• Trong việc đếm số lượng: Đa số mọi người có thói quen đếm 2; 4; 6; 8; …. để đếm nhanh các đồ vật có số lượng khá lớn.

• Cái đồng hồ: Các số trên đồng hồ biểu diễn các khoảng thời gian 5 phút. Khi kim phút chỉ số 1 biểu diễn 5 phút, kim phút chỉ số 2 biểu diễn 10 phút, … Đây chính là cấp số cộng.

Thông qua việc vận dụng rộng rãi cấp số cộng trong các lĩnh vực quan trọng, cũng như trong đời sống hằng ngày, bài viết muốn nhấn mạnh tầm quan trọng của kiến thức này. Qua đó, tác giả khuyến khích người học rèn luyện các dạng bài tập xuôi - ngược của cấp số cộng để có thể nắm vững kiến thức này.

Cấp số cộng là một trong những nội dung quan trọng nhất của chương trình Toán 11. Bài viết đã hệ thống toàn bộ kiến thức cốt lõi: từ định nghĩa, các tính chất và bộ công thức trọng tâm của cấp số cộng. Người học còn được làm quen với các phương pháp giải chi tiết cho các dạng bài tập xuôi – ngược. Việc nắm vững các kiến thức này giúp bạn dễ dàng làm chủ các bài toán từ cơ bản đến vận dụng cao.

Để củng cố kiến thức và tiếp tục khám phá các bài giảng Toán 11 chuyên sâu, bám sát chương trình THPT mới, hãy tham khảo thêm các bài viết chất lượng khác tại chuyên mục Toán 11 của ZIM Academy.