Cấp số nhân | Công thức cấp số nhân và tổng cấp số nhân

Trong chương trình Toán 11, cấp số nhân là một dạng dãy số trong đó mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi gọi là công bội.

Việc nắm rõ cấp số nhân là gì, công thức cấp số nhân, cách xác định công bội của cấp số nhân, số hạng tổng quát và cách tính tổng cấp số nhân giúp học sinh giải hiệu quả các bài toán về dãy số, lãi suất và tăng trưởng.

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân hữu hạn hoặc vô hạn là dãy số mà từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi. Số không đổi đó được gọi là công bội, ký hiệu là \(q\).

Với dãy \((u_n)\), quy luật được viết:

\[u_{n+1}=u_nq\]

Dãy hữu hạn chỉ gồm một số lượng số hạng xác định, chẳng hạn \(2,6,18,54\). Dãy vô hạn có vô số số hạng, chẳng hạn \(1,\dfrac12,\dfrac14,\dfrac18,\ldots\)

Khi \(u_n\ne0\), công bội có thể được tìm từ hai số hạng liên tiếp:

\[q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\]Để kiểm tra một dãy có phải dãy nhân hay không, người học tính các tỉ số liên tiếp. Nếu mọi tỉ số đều xác định, bằng nhau và không đổi thì dãy là cấp số nhân. Riêng dãy có các số hạng bằng \(0\) cần kiểm tra trực tiếp bằng hệ thức \(u_{n+1}=u_nq\), thay vì chia cho \(0\).

Ý nghĩa của dấu và độ lớn công bội trong cấp số nhân

Công bội không chỉ cho biết “nhân với bao nhiêu” mà còn mô tả xu hướng của dãy. Nếu \(q\gt 1\) và \(u_1\gt 0\), các số hạng tăng dần. Nếu \(0\lt q\lt 1\), các số hạng dương nhỏ dần và tiến gần \(0\). Nếu \(q\lt 0\), dấu của các số hạng thường luân phiên.

Ba trường hợp đặc biệt là \(q=1\) khiến dãy không đổi, \(q=0\) khiến các số hạng từ \(u_2\) bằng \(0\), và \(q=-1\) khiến hai giá trị đối dấu luân phiên. Có thể dùng xu hướng này để kiểm tra nhanh đáp án.

Ví dụ nhận biết cấp số nhân

Xét ba dãy:

• Dãy A: \(2,6,18,54\).

• Dãy B: \(-5,5,-5,5\).

• Dãy C: \(1,2,4,7\).

Lời giải:

Bước 1: Với dãy A, các tỉ số liên tiếp là \(6/2=18/6=54/18=3\). Vì tỉ số không đổi nên A là dãy nhân có \(q=3\).

Bước 2: Với dãy B, ta có \(5/(-5)=(-5)/5=5/(-5)=-1\). Vì tỉ số không đổi nên B là dãy nhân có \(q=-1\).

Bước 3: Với dãy C, hai tỉ số đầu là \(2/1=2\) và \(4/2=2\), nhưng tỉ số tiếp theo là \(7/4\). Các tỉ số không bằng nhau nên C không phải dãy nhân.

Kết luận: Dãy A và B là cấp số nhân; dãy C không phải.

Công thức cấp số nhân chi tiết

Các công thức dưới đây giúp chuyển đổi giữa số hạng đầu, công bội, số hạng thứ \(n\) và tổng. Trước khi thay số, cần xác định rõ chỉ số bắt đầu từ \(1\).

Vì sao số mũ là \(n-1\)?

Từ \(u_1\) đến \(u_n\) có đúng \(n-1\) lần nhân với \(q\):

\[u_2=u_1q,\quad u_3=u_1q^2,\quad \ldots,\quad u_n=u_1q^{n-1}\]Tính chất \(u_k^2=u_{k-1}u_{k+1}\) được suy ra vì \(u_k=u_{k-1}q\) và \(u_{k+1}=u_kq\). Tính chất này hữu ích khi đề bài cho ba số hạng liên tiếp nhưng chưa biết công bội.

Công thức tổng cấp số nhân

Đặt \(S_n=u_1+u_1q+\cdots+u_1q^{n-1}\). Nhân với \(q\) rồi lấy hai biểu thức trừ nhau:

\[(1-q)S_n=u_1(1-q^n)\]Với \(q\ne1\), chia cho \(1-q\) thu được công thức tổng. Hai dạng \((1-q^n)/(1-q)\) và \((q^n-1)/(q-1)\) là tương đương.

Tìm một số hạng từ số hạng bất kỳ

Không phải bài nào cũng cho \(u_1\). Từ công thức tổng quát, với hai chỉ số \(m,n\), ta có:

\[u_n=u_mq^{n-m}\]

Ví dụ, biết \(u_4=16,q=2\) thì \(u_7=16\cdot2^{7-4}=128\). Nếu cần lùi về trước, số mũ có thể âm: \(u_2=u_4q^{-2}=4\). Cách viết này giúp rút ngắn lời giải và tránh phải tìm mọi số hạng trung gian.

So sánh cấp số nhân và cấp số cộng

Mẹo phân biệt: nếu sự thay đổi được mô tả bằng “gấp”, “bằng một tỉ lệ” hoặc “tăng theo phần trăm” thì thường dùng phép nhân. Nếu mỗi bước tăng hoặc giảm cùng một lượng tuyệt đối thì thường dùng phép cộng.

Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng

Cấp số nhân lùi vô hạn là dãy nhân vô hạn có công bội thỏa mãn:

\[\lvert q\rvert\lt 1\]Điều kiện đúng là giá trị tuyệt đối của \(q\) nhỏ hơn \(1\), không chỉ \(q\lt 1\). Chẳng hạn \(q=-2\) vẫn nhỏ hơn \(1\) nhưng các số hạng tăng độ lớn nên tổng không hội tụ.

Tổng \(n\) số hạng đầu là:

\[S_n=u_1\dfrac{1-q^n}{1-q}\]Khi \(\lvert q\rvert\lt 1\) và \(n\to\infty\), ta có \(q^n\to0\). Do đó tổng vô hạn tồn tại và bằng:

\[S=\dfrac{u_1}{1-q}\]Điều kiện hội tụ có thể hiểu trực quan như sau: muốn cộng vô hạn mà vẫn nhận một kết quả hữu hạn, các phần được thêm vào phải nhỏ dần đủ nhanh. Trong dãy lùi, mỗi số hạng chỉ còn một phần cố định có độ lớn nhỏ hơn số trước, vì vậy phần “còn thiếu” sau \(n\) số hạng tiến về \(0\).

Nếu \(q=1\), các số hạng không nhỏ đi. Nếu \(q=-1\), tổng riêng dao động giữa hai giá trị. Nếu \(\lvert q\rvert\gt 1\), độ lớn số hạng tăng. Trong cả ba tình huống này, tổng riêng không tiến đến một giới hạn hữu hạn nên không được dùng công thức tổng lùi vô hạn.

Sai số sau khi chỉ cộng \(n\) số hạng đầu có thể được viết:

\[R_n=S-S_n=\dfrac{u_1q^n}{1-q}\]Công thức này hữu ích khi cần ước lượng cần cộng bao nhiêu số hạng để đạt độ chính xác cho trước.

Ví dụ tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Tính \(S=12+6+3+\dfrac32+\cdots\)

Lời giải:

Bước 1: Xác định số hạng đầu \(u_1=12\).

Bước 2: Tính công bội \(q=6/12=1/2\).

Bước 3: Kiểm tra điều kiện \(\lvert q\rvert=1/2\lt 1\), vì vậy tổng hội tụ.

Bước 4: Áp dụng công thức:

\[S=\dfrac{12}{1-\frac12}=24\]Kết luận: Tổng của dãy đã cho bằng \(24\).

Ứng dụng thực tiễn

Số thập phân tuần hoàn có thể đổi thành phân số bằng tổng vô hạn. Ví dụ:

\[0,\overline{27}=\dfrac{27}{100}+\dfrac{27}{100^2}+\cdots =\dfrac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\dfrac3{11}\]Trong mô hình dòng tiền vĩnh viễn, nếu khoản tiền \(C\) được nhận cuối mỗi kỳ và lãi suất chiết khấu là \(r\gt 0\), giá trị hiện tại lý tưởng là \(C/r\). Kết quả này đến từ dãy có số hạng đầu \(C/(1+r)\) và công bội \(1/(1+r)\).

Trong vật lý, các giá trị đo tại những thời điểm cách đều có thể giảm theo cùng một tỉ lệ. Nếu mức năng lượng còn lại lần lượt là \(100,80,64,\ldots\), tổng các số đo theo mô hình toán học là \[100/(1-0,8)=500\]Đây là tổng các lần ghi nhận, không phải khẳng định một vật tạo ra thêm năng lượng.

Bài tập cấp số nhân và phương pháp giải

Mỗi dạng dưới đây gồm dấu hiệu, cách làm, một ví dụ giải theo bước và một bài tự luyện có đáp án. Khi làm bài, nên ghi rõ dữ kiện \(u_1\), \(q\), \(n\) trước khi chọn công thức.

Quy trình chung trước khi giải

Bước 1: Phân tích đề

Xác định đề cho gì, hỏi gì và thuộc dạng nhận biết, tìm số hạng, tính tổng, mô hình thực tế hay kết hợp nhiều điều kiện.

Bước 2: Ghi dữ kiện

Viết \(u_1\), \(q\), chỉ số, tổng và điều kiện. Phân biệt “năm thứ \(n\)” với “sau \(n\) năm”.

Bước 3: Chọn công thức và kiểm tra điều kiện

Chọn hệ thức phù hợp; kiểm tra mẫu số, \(q=1\) hoặc \(\lvert q\rvert\lt 1\) nếu tính tổng vô hạn.

Bước 4: Tính toán

Thay dữ kiện, biến đổi theo từng dòng và giữ đúng dấu, số mũ, đơn vị.

Bước 5: Kiểm tra và kết luận

Đối chiếu xu hướng của dãy, dấu, đơn vị, mức làm tròn rồi trả lời đúng điều đề hỏi.

Dạng 1: Nhận biết dãy, tìm số hạng đầu và công bội

Dấu hiệu: Đề cho một vài số hạng hoặc công thức truy hồi và yêu cầu kiểm tra quy luật.

Phương pháp: Phân tích yêu cầu nhận biết; ghi các số hạng; chọn phép thử tỉ số; kiểm tra mẫu khác \(0\) và so sánh các tỉ số; kết luận \(u_1,q\).

Ví dụ: Xét dãy \(\dfrac12,-1,2,-4,\ldots\)

Bước 1: Phân tích đề: Đề cho các số hạng đầu; vì chúng khác \(0\), có thể kiểm tra bằng tỉ số liên tiếp.

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(u_1=1/2\); bốn số hạng đầu khác \(0\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: Dùng \(u_{n+1}/u_n\) vì các mẫu khác \(0\).

Bước 4: Tính toán: \((-1)/(1/2)=2/(-1)=(-4)/2=-2\).

Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Tỉ số không đổi, nên dãy là cấp số nhân có \(u_1=1/2,q=-2\).

Bài tự luyện: Dãy \(81,27,9,3,\ldots\) có phải dãy nhân không? Tìm \(u_1,q\).

Phân tích nhanh: Các số hạng khác \(0\); so sánh các tỉ số liên tiếp.

Đáp án: Có; \(u_1=81\), \(q=1/3\).

Dạng 2: Tính số hạng thứ n và viết số hạng tổng quát

Dấu hiệu: Đề cho \(u_1,q\) hoặc cho hai số hạng để tìm các đại lượng này.

Phương pháp: Xác định số hạng cần tìm; ghi \(u_1,q,n\); chọn \(u_n=u_1q^{n-1}\); thay số; kiểm tra số mũ \(n-1\) và dấu.

Ví dụ: Cho \(u_1=3,q=-2\). Tính \(u_6\) và viết \(u_n\).

Bước 1: Phân tích đề: Đề cho \(u_1,q\) và hỏi \(u_n,u_6\), nên dùng công thức số hạng tổng quát.

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(u_1=3,q=-2,n=6\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: \(u_n=u_1q^{n-1}\).

Bước 4: Tính toán:

\[u_n=3(-2)^{n-1},\qquad u_6=3(-2)^5=-96\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Số mũ \(5\) lẻ nên \(u_6\) âm. Vậy \(u_n=3(-2)^{n-1}\) và \(u_6=-96\).

Bài tự luyện: Cho \(u_1=2,q=3\). Viết \(u_n\) và tính \(u_5\).

Phân tích nhanh: Đã biết \(u_1,q\); dùng số mũ \(n-1\) rồi thay \(n=5\).

Đáp án: \(u_n=2\cdot3^{n-1}\); \(u_5=162\).

Dạng 3: Tính tổng n số hạng đầu

Dấu hiệu: Đề yêu cầu cộng một đoạn đầu của dãy và cho hoặc suy ra được \(u_1,q,n\).

Phương pháp: Xác định tổng cần tìm; ghi \(u_1,q,n\); tách trường hợp \(q=1\) hoặc \(q\ne1\); tính; kiểm tra dấu và độ lớn của tổng.

Ví dụ: Cho \(u_1=5,q=2\). Tính \(S_8\).

Bước 1: Phân tích đề: Đề hỏi tổng tám số hạng đầu và đã cho \(u_1,q\).

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(u_1=5,q=2,n=8\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: Vì \(q\ne1\), dùng \(S_n=u_1(1-q^n)/(1-q)\).

Bước 4: Tính toán:

\[S_8=5\dfrac{1-2^8}{1-2}=5\cdot255=1275\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Các số hạng đều dương nên tổng dương là hợp lý. Vậy \(S_8=1275\).

Bài tự luyện: Cho \(u_1=81,q=1/3\). Tính \(S_5\).

Phân tích nhanh: \(q\ne1\); có thể dùng công thức tổng hoặc cộng trực tiếp năm số hạng.

Đáp án: \(S_5=81+27+9+3+1=121\).

Dạng 4: Bài toán thực tế

Dấu hiệu: Đại lượng tăng hoặc giảm cùng một tỉ lệ qua từng năm, kỳ hoặc chu kỳ. Nếu tăng \(r\%\), công bội là \(1+r/100\); nếu giảm \(r\%\), công bội là \(1-r/100\).

Phương pháp: Xác định đại lượng và mốc thời gian; đổi tỉ lệ thành công bội; đếm số lần thay đổi; lập mô hình và tính; kiểm tra đơn vị, mức làm tròn.

Ví dụ: Mức lương năm đầu là 180 triệu đồng/năm, tăng 6% mỗi năm. Tính mức lương năm thứ 6.

Bước 1: Phân tích đề: Lương tăng cùng một tỉ lệ; “năm thứ 6” tương ứng \(5\) lần tăng.

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(u_1=180,q=1+6\%=1,06\); cần tìm \(u_6\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: Dùng \(u_6=u_1q^5\).

Bước 4: Tính toán:

\[u_6=180(1,06)^5\approx240,88\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Kết quả lớn hơn mức năm đầu và được làm tròn theo đơn vị triệu đồng. Lương năm thứ \(6\) khoảng \(240,88\) triệu đồng.

Bài tự luyện: Một thị trấn có 50.000 người, dân số tăng 2% mỗi năm. Ước tính dân số sau 4 năm.

Phân tích nhanh: “Sau 4 năm” có bốn lần tăng; \(q=1,02\).

Đáp án: \(50\,000(1,02)^4\approx54\,122\) người.

Dạng 5: Mối liên hệ giữa cấp số nhân và cấp số cộng

Dấu hiệu: Ba số \(x,y,z\) theo thứ tự lập thành dãy nhân, đồng thời chính ba số hoặc các biểu thức từ chúng lập thành dãy cộng.

Phương pháp: Nhận diện hai cấu trúc; ghi các điều kiện; lập \(y^2=xz\) và quan hệ trung bình cộng; giải hệ; kiểm tra thứ tự, dấu và kết luận.

Ví dụ: Ba số dương \(x,y,z\) theo thứ tự lập thành dãy nhân; \(x,y+\dfrac12,z\) lập thành dãy cộng và \(x+y+z=7\). Tìm ba số.

Bước 1: Phân tích đề: Đề cho đồng thời điều kiện cấp số nhân, cấp số cộng và tổng; cần lập hệ.

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện:

\[y^2=xz,\qquad 2\left(y+\dfrac12\right)=x+z,\qquad x+y+z=7\]Bước 3: Công thức và điều kiện: Biểu diễn \(x+z\) từ cấp số cộng rồi kết hợp \(xz=y^2\).

Bước 4: Tính toán: Từ \(x+z=2y+1\) và \(x+y+z=7\), suy ra \(y=2\). Khi đó \(x+z=5,xz=4\), nên \(\{x,z\}=\{1,4\}\).

Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Các số dương theo thứ tự tăng nên \(x=1,z=4\). Ba số cần tìm là \(1,2,4\).

Bài tự luyện: Ba số dương \(x,y,z\) theo thứ tự tăng lập thành dãy nhân; \(x,y+2,z\) lập thành dãy cộng và \(x+y+z=13\). Tìm ba số.

Phân tích nhanh: Lập ba điều kiện \(y^2=xz\), \(2(y+2)=x+z\) và \(x+y+z=13\).

Đáp án: \(x=1,y=3,z=9\).

Những lỗi sai thường gặp khi học cấp số nhân và cách khắc phục

Một cách kiểm tra nhanh là tính lại số hạng kế tiếp bằng hệ thức truy hồi. Ví dụ, nếu tìm được \(u_1=-2,q=-3\) thì \(u_2\) phải bằng \(6\), không phải \(-6\). Với bài thực tế, cần đếm số lần tăng: giá trị ở năm thứ \(n\) chỉ trải qua \(n-1\) lần thay đổi kể từ năm đầu.

Bài tập cấp số nhân tổng hợp có lời giải

Các bài sau được sắp xếp từ nhận biết đến nâng cao. Người học nên tự làm trước, sau đó mới đối chiếu lời giải.

Để ôn tập hiệu quả, có thể chia mỗi bài thành ba cột trong vở: “dữ kiện”, “công thức chọn” và “kiểm tra”. Ở cột kiểm tra, hãy trả lời một câu ngắn như “dấu có hợp lý không?”, “đã có đúng số lần tăng chưa?” hoặc “tổng vô hạn có hội tụ không?”. Thói quen này giúp biến việc ghi nhớ công thức thành quy trình giải có thể lặp lại trong bài kiểm tra.

Bài 1. Mức nhận biết

Cho \(u_1=-3,q=-2\). Viết năm số hạng đầu.

Bước 1: Phân tích đề: Đề cho \(u_1,q\) và yêu cầu tạo bốn số hạng kế tiếp; công bội âm làm dấu luân phiên.

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(u_1=-3,q=-2\); cần tìm đến \(u_5\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: Dùng \(u_{n+1}=u_nq\).

Bước 4: Tính toán:

\[u_1=-3,\quad u_2=6,\quad u_3=-12,\quad u_4=24,\quad u_5=-48\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Mỗi số sau bằng số trước nhân \(-2\), nên dấu luân phiên. Đáp án: \(-3,6,-12,24,-48\).

Bài 2. Mức thông hiểu

Biết \(u_3=12,u_6=96\) và \(q\gt 0\). Tìm \(u_n\) và \(S_{10}\).

Bước 1: Phân tích đề: Hai số hạng không liên tiếp giúp tìm \(q\), rồi suy ra \(u_1,u_n,S_{10}\).

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(u_3=12,u_6=96,q\gt 0\); cần tìm \(u_n,S_{10}\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: Dùng \(u_6/u_3=q^3\), \(u_3=u_1q^2\) và công thức tổng hữu hạn.

Bước 4: Tính toán:

\[\dfrac{u_6}{u_3}=q^3=\dfrac{96}{12}=8\]Vì \(q\gt 0\), suy ra \(q=2\) và \(u_1=12/2^2=3\). Do đó:

\[u_n=3\cdot2^{n-1},\qquad S_{10}=3\dfrac{1-2^{10}}{1-2}=3069\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Công thức cho lại \(u_3=12,u_6=96\). Đáp án: \(u_n=3\cdot2^{n-1}\) và \(S_{10}=3069\).

Bài 3. Mức vận dụng: Tăng trưởng dân số

Một khu vực có 120.000 người ở thời điểm đầu. Dân số tăng đều 1,5% mỗi năm. Ước tính dân số sau 8 năm.

Bước 1: Phân tích đề: Dân số tăng cùng một tỉ lệ; “sau 8 năm” tương ứng tám lần tăng.

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(P_0=120\,000,q=1,015\) và có \(8\) lần tăng.

Bước 3: Công thức và điều kiện: Dùng \(P_8=P_0q^8\).

Bước 4: Tính toán:

\[P_8=120\,000(1,015)^8\approx135\,179\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Dân số tăng nên kết quả phải lớn hơn \(120.000\); làm tròn đến người. Đáp án: khoảng \(135.179\) người.

Bài 4. Mức vận dụng: Lương năm thứ n

Lương tháng ở năm đầu là 10 triệu đồng. Mỗi năm lương tăng 7%. Tính lương tháng ở năm thứ 5 và lập công thức cho năm thứ \(n\).

Bước 1: Phân tích đề: “Năm thứ 5” có bốn lần tăng; tỉ lệ 7% cho công bội \(1,07\).

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(u_1=10,q=1,07,n=5\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: Dùng \(u_n=u_1q^{n-1}\).

Bước 4: Tính toán:

\[u_n=10(1,07)^{n-1},\qquad u_5=10(1,07)^4\approx13,108\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Mức lương tăng và đơn vị là triệu đồng/tháng. Đáp án: \(u_n=10(1,07)^{n-1}\); năm thứ 5 khoảng \(13,108\) triệu đồng/tháng.

Bài 5. Mức vận dụng: Chứng minh một dãy là cấp số nhân

Cho \(v_n=\dfrac{3^n}{2^{n-1}}\) với \(n\ge1\). Chứng minh \((v_n)\) là dãy nhân.

Bước 1: Phân tích đề: Cần chứng minh \(v_{n+1}/v_n\) xác định và không phụ thuộc vào \(n\).

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(v_n=3^n/2^{n-1}\), \(n\ge1\); mọi mẫu khác \(0\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: Xét \(v_{n+1}/v_n\).

Bước 4: Tính toán:

\[\dfrac{v_{n+1}}{v_n} =\dfrac{3^{n+1}}{2^n}\cdot\dfrac{2^{n-1}}{3^n} =\dfrac32\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Tỉ số bằng \(3/2\) và không phụ thuộc vào \(n\). Đáp án: \((v_n)\) là cấp số nhân có \(v_1=3,q=3/2\).

Bài 6. Mức nâng cao: Kết hợp hai tổng vô hạn

Cho \(a_n=2^{1-n}\). Tính:

\[T=(a_1+a_2+a_3+\cdots)+(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots)\]Bước 1: Phân tích đề: Biểu thức gồm hai tổng lùi; cần kiểm tra từng tổng rồi cộng kết quả.

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \((a_n)\) có \(a_1=1,q=1/2\); \((a_n^2)\) có số hạng đầu \(1\), công bội \(1/4\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: Vì \(1/2,1/4\) có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn \(1\), dùng \(S=u_1/(1-q)\).

Bước 4: Tính toán:

\[S_1=1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots=2\]

\[S_2=1+\dfrac14+\dfrac1{16}+\cdots=\dfrac43\]

\[T=S_1+S_2=2+\dfrac43=\dfrac{10}{3}\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Hai tổng đều hội tụ và dương. Đáp án: \(T=10/3\).

Bài 7. Mức nâng cao: Bài toán hình học

Một hình vuông có cạnh 12 cm. Bên trong nó, người ta tạo hình vuông mới có cạnh bằng một nửa cạnh hình trước và lặp lại vô hạn. Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông.

Bước 1: Phân tích đề: Đề hỏi diện tích, nên công bội bằng bình phương tỉ số cạnh; sau đó kiểm tra hội tụ.

Lời giải:

Bước 2: Dữ kiện: \(A_1=12^2=144\) cm²; tỉ số cạnh bằng \(1/2\).

Bước 3: Công thức và điều kiện: Công bội diện tích là:

\[q_A=\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14\]Vì \(\lvert q_A\rvert\lt 1\), tổng diện tích hội tụ.

Bước 4: Tính toán:

\[A=\dfrac{144}{1-\frac14}=192\text{ cm}^2\]Bước 5: Kiểm tra và kết luận: Tổng lớn hơn diện tích hình đầu và có đơn vị cm². Đáp án: \(192\) cm².

Cấp số nhân được nhận biết bởi một công bội không đổi; từ \(u_1\) và \(q\), người học có thể tìm \(u_n\), tổng \(S_n\) và tổng lùi vô hạn khi \(\lvert q\rvert\lt 1\). Năm dạng bài trọng tâm gồm nhận biết dãy, tìm số hạng, tính tổng, mô hình thực tế và kết hợp với cấp số cộng.

Khi thực hành, cần đặc biệt kiểm tra số mũ \(n-1\), dấu của công bội, trường hợp \(q=1\) và điều kiện hội tụ. Học sinh có thể tiếp tục khám phá các bài học bám sát chương trình tại chuyên mục Toán 11 của ZIM Academy.