Dấu hiệu chia hết | Tổng hợp các quy tắc, ví dụ và bài tập lớp 6

Trong chương trình Toán 6, dấu hiệu chia hết được sử dụng để xác định một số tự nhiên có chia hết cho số khác hay không mà không cần thực hiện phép chia trực tiếp. Các dấu hiệu chia hết thường gặp gồm dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9, dựa trên chữ số tận cùng hoặc tổng các chữ số. Nội dung dưới đây hệ thống quy tắc, ví dụ và bài tập vận dụng giúp học sinh nhận biết và áp dụng chính xác từng dấu hiệu chia hết.

Dấu hiệu chia hết là gì?

Dấu hiệu chia hết là quy tắc nhận biết một số tự nhiên có chia hết cho một số khác hay không dựa vào các đặc điểm như chữ số tận cùng hoặc tổng các chữ số mà không cần thực hiện phép chia trực tiếp.

Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0. Luôn tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q và r sao cho a = b.q + r, trong đó 0 \(\le\) r < b. Trong phép chia a cho b, q là thương và r là số dư.

Nếu r = 0, tức a = b.q, thì a chia hết cho b, kí hiệu a ⋮ b; khi đó a : b = q. [1]

Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

Các dấu hiệu chia hết cơ bản được chia làm hai nhóm chính dựa trên chữ số tận cùng và tổng các chữ số. Bảng dưới đây tổng hợp các quy tắc cần sử dụng:

Dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5

Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 dựa vào chữ số tận cùng của số tự nhiên cần xét:

• Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2. [1]

  Ví dụ: Số 136 có chữ số tận cùng là 6 (là số chẵn) nên 136 ⋮ 2. Số 247 có chữ số tận cùng là 7 nên không chia hết cho 2.

• Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.[1]

  Ví dụ: Số 485 có chữ số tận cùng là 5 nên 485 ⋮ 5. Số 970 có chữ số tận cùng là 0 nên 970 ⋮ 5.

Lưu ý: Những số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 thì vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5.

Ví dụ: Các số 10, 120, 2030 đều chia hết cho cả 2 và 5.

Dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9

Khác với nhóm trên, quy tắc xét tính chia hết cho 3 và 9 dựa trên tổng các chữ số:

• Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9. [1]

  Ví dụ: Số 729 có tổng các chữ số là 7 + 2 + 9 = 18. Vì 18 ⋮ 9 nên 729 ⋮ 9.

• Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3. [1]

  Ví dụ: Số 252 có tổng các chữ số là 2 + 5 + 2 = 9. Vì 9 ⋮ 3 nên 252 ⋮ 3.

Giải thích dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:

Xét số tự nhiên \(\overline{abc}\) có ba chữ số, với a ≠ 0. Khi đó:

\(\overline{abc}=100a+10b+c\)

= (99a + 9b) + (a + b + c)

= 9M + (a + b + c), trong đó M là một số tự nhiên.

Tổng quát, mọi số tự nhiên A có thể viết dưới dạng A = 9M + S, trong đó S là tổng các chữ số của A.

• Nếu S chia hết cho 3 thì 9M ⋮ 3 và S ⋮ 3, suy ra A = 9M + S ⋮ 3. Vì vậy, A chia hết cho 3.

Ngược lại, nếu A ⋮ 3 thì S = A - 9M cũng chia hết cho 3. Vì vậy, tổng các chữ số của A chia hết cho 3.

• Nếu S chia hết cho 9 thì 9M ⋮ 9 và S ⋮ 9, suy ra A = 9M + S ⋮ 9. Vì vậy, A chia hết cho 9.

Ngược lại, nếu A ⋮ 9 thì S = A - 9M cũng chia hết cho 9. Vì vậy, tổng các chữ số của A chia hết cho 9.

Dấu hiệu chia hết cho cả 2 và 3

Để xác định một số có đồng thời chia hết cho cả 2 và 3 hay không, cần kết hợp hai quy tắc:

• Bước 1: Kiểm tra điều kiện chia hết cho 2 (Số đó phải là số chẵn, tức có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8).

• Bước 2: Tính tổng các chữ số và kiểm tra tổng đó có chia hết cho 3 hay không.

Nếu thỏa mãn đồng thời cả hai bước trên thì số đó chia hết cho cả 2 và 3 (hay nói cách khác là chia hết cho 6).

Ví dụ minh họa:

Xét số 138:

• Bước 1: Chữ số tận cùng của 138 là 8 (chữ số chẵn) do đó 138 ⋮ 2.

• Bước 2: Tổng các chữ số là 1 + 3 + 8 = 12. Vì 12 ⋮ 3 do đó 138 ⋮ 3.

• Kết luận: Số 138 thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện nên chia hết cho cả 2 và 3.

Phân biệt các trường hợp chỉ thỏa mãn một điều kiện:

• Số 123 có tổng các chữ số là 1 + 2 + 3 = 6 ⋮ 3, nhưng chữ số tận cùng là 3 nên không chia hết cho 2.

• Số 114 có chữ số tận cùng là 4 nên 114 ⋮ 2; tổng các chữ số là 1 + 1 + 4 = 6 ⋮ 3 nên 114 chia hết cho cả 2 và 3.

• Số 112 có chữ số tận cùng là 2 nên 112 ⋮ 2, nhưng tổng các chữ số là 1 + 1 + 2 = 4 không chia hết cho 3 nên 112 không chia hết cho 3.

Cách hệ thống các dấu hiệu chia hết

Để phân biệt các quy tắc, các dấu hiệu chia hết có thể được hệ thống theo hai nhóm chính:

• Nhóm chữ số tận cùng: Gồm dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5. Chỉ cần xét chữ số tận cùng của số cần kiểm tra.

• Nhóm tổng các chữ số: Gồm dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9. Cần tính tổng các chữ số của số cần kiểm tra rồi xét tính chia hết của tổng tương ứng.

Những lỗi thường gặp khi áp dụng dấu hiệu chia hết

• Lỗi 1: Nhầm quy tắc tổng chữ số cho số 5 hoặc số 2 (Ví dụ: Cho rằng 104 chia hết cho 5 vì 1 + 0 + 4 = 5).

• Lỗi 2: Nhầm rằng số chia hết cho 3 thì mặc định chia hết cho 9 (Ví dụ: 15 ⋮ 3 nên kết luận 15 ⋮ 9 dẫn đến kết quả sai).

Cách kiểm tra lại kết quả:

Khi cần kiểm tra lại kết quả, học sinh có thể thực hiện phép chia trực tiếp để xác định số dư. Nếu số dư bằng 0, số đã cho chia hết cho số chia; nếu số dư khác 0, số đã cho không chia hết cho số chia.

Cách 1: Đối chiếu quy tắc

• Nhóm tận cùng (2 và 5): Chỉ nhìn duy nhất chữ số cuối cùng của kết quả vừa tìm được để kiểm tra xem đã thỏa mãn là số chẵn hay kết thúc bằng 0; 5 chưa.

• Nhóm tổng chữ số (3 và 9): Cộng lần lượt tất cả các chữ số lại rồi lấy tổng đó chia cho 3 hoặc 9 để xác định lại tính chia hết.

Cách 2: Thử lại bằng một giá trị cụ thể (Dành cho dạng bài tìm chữ số còn thiếu)

• Thay chữ số vừa tìm được vào vị trí dấu sao (*) hoặc ẩn số để tạo thành số hoàn chỉnh.

• Ví dụ: Nếu tìm được * = 4 để 35* ⋮ 3, ghép thành số 354 rồi kiểm tra lại: 3 + 5 + 4 = 12 ⋮ 3.

Cách 3: Thực hiện phép chia trực tiếp

• Thực hiện phép chia số đó cho 2, 3, 5 hoặc 9 để xác định số dư.

• Nếu số dư bằng 0, số đã cho chia hết cho số chia; nếu số dư khác 0, cần kiểm tra lại kết quả.

Bài tập vận dụng các dấu hiệu chia hết có lời giải

Dưới đây là một số dạng bài tập vận dụng dấu hiệu chia hết thường gặp trong chương trình Toán 6.

Dạng tìm chữ số còn thiếu

Bài 1: Cho số 35*. Điền chữ số thích hợp vào dấu * để:

a) Số 35* chia hết cho 2.

b) Số 35* chia hết cho 5.

c) Số 35* chia hết cho cả 2 và 5.

d) Số 35* chia hết cho 3.

Hướng dẫn giải

a) Để 35* ⋮ 2 thì chữ số tận cùng * phải là chữ số chẵn.

Do đó * ∈ {0; 2; 4; 6; 8}.

b) Để 35* ⋮ 5 thì chữ số tận cùng * phải là 0 hoặc 5.

Do đó * ∈ {0; 5}.

c) Để 35* chia hết cho cả 2 và 5 thì chữ số tận cùng * phải bằng 0.

Do đó * = 0. Số cần tìm là 350.

d) Để 35* ⋮ 3 thì tổng các chữ số (3 + 5 + *) ⋮ 3, hay (8 + *) ⋮ 3.

Vì * là chữ số nên * ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Do đó * ∈ {1; 4; 7}. Các số thỏa mãn là 351, 354, 357.

Dạng bài toán thực tế

Bài 2: Lớp 6A có 40 học sinh. Cô giáo muốn chia đều 40 học sinh thành các nhóm để thảo luận bài tập. Hỏi có thể chia lớp thành 3 nhóm hoặc 5 nhóm với số lượng học sinh ở mỗi nhóm như nhau hay không?

Hướng dẫn giải

Phân tích đề bài: Việc chia đều 40 học sinh thành các nhóm bằng nhau có nghĩa là tổng số học sinh phải chia hết cho số nhóm cần chia.

Xét trường hợp chia thành 3 nhóm:
Xét tính chia hết của 40 cho 3. Tổng các chữ số của 40 là 4 + 0 = 4. Vì 4 không chia hết cho 3 nên 40 không chia hết cho 3.
Do đó không thể chia lớp thành 3 nhóm có số học sinh bằng nhau.

Xét trường hợp chia thành 5 nhóm:
Chữ số tận cùng của 40 là 0 nên 40 ⋮ 5.
Do đó có thể chia lớp thành 5 nhóm bằng nhau, mỗi nhóm có 40 : 5 = 8 học sinh.

Tham khảo thêm: Dấu hiệu chia hết cho 4 | Cách nhận biết và ví dụ.

Dấu hiệu chia hết giúp xác định nhanh một số có chia hết cho 2, 3, 5, 9 hoặc các trường hợp kết hợp hay không mà không cần thực hiện phép chia trực tiếp. Học sinh cần phân biệt đúng quy tắc dựa trên chữ số tận cùng và tổng các chữ số để áp dụng chính xác trong từng bài toán.

Việc luyện tập các dạng bài liên quan giúp củng cố cách nhận biết và vận dụng các dấu hiệu chia hết trong chương trình lớp 6. Người học có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 6 để hệ thống kiến thức và luyện tập các nội dung liên quan.