Diện tích xung quanh hình trụ và toàn phần | Công thức và cách tính

Trong chương trình Toán 9 Kết nối tri thức với cuộc sống, hình trụ là nội dung quan trọng của hình học không gian. Để giải các bài toán về diện tích hình trụ, học sinh cần nắm chắc công thức diện tích xung quanh hình trụ, công thức diện tích toàn phần hình trụ, diện tích đáy, chu vi đáy, bán kính, chiều cao và đường sinh.

Bài viết hệ thống các công thức hình trụ, đồng thời hướng dẫn cách tính diện tích xung quanh hình trụ, cách tính diện tích toàn phần hình trụ và các dạng bài tập vận dụng thường gặp.

Hình trụ là gì?

Hình trụ (hay đầy đủ là hình trụ tròn xoay) được định nghĩa thông qua phép quay một hình phẳng trong không gian. [1]

Khi quay một hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh AB cố định, ta được một hình trụ:

• Cạnh CD quét nên mặt xung quanh của hình trụ.

• Hai cạnh AD và BC quét nên hai hình tròn đáy bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.

Các yếu tố quan trọng của hình trụ:

• Trục của hình trụ: Đường thẳng chứa cạnh cố định (đường thẳng AB).

• Chiều cao (h): Độ dài đoạn thẳng nối tâm hai đáy (độ dài đoạn AB).

• Bán kính đáy (R): Bán kính của hai hình tròn đáy (độ dài các đoạn AD hoặc BC).

• Đường sinh (l): Đoạn thẳng CD khi quay quét nên mặt xung quanh của hình trụ. Độ dài đường sinh ký hiệu là l; với hình trụ này, \(l=h\).

  

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

Chu vi đáy hình trụ được tính theo công thức \(C=2\pi R\). Vì vậy, diện tích xung quanh hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao:

\[S_{xq} = 2\pi R h\]

Hoặc viết theo đường kính đáy d (d = 2R):

\[S_{xq} = \pi d h\]

Trong đó:

• \(S_{xq}\): Diện tích xung quanh (\(\text{cm}^2, \text{m}^2,...\))

• R: Bán kính đường tròn đáy

• h: Chiều cao hình trụ

• \(\pi\): Hằng số Pi (thường lấy giá trị gần đúng \(\pi \approx 3,14\) hoặc giữ nguyên ký hiệu \(\pi\))

Hình thành công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

Nếu ta cắt mặt xung quanh của một hình trụ dọc theo một đường sinh rồi trải phẳng ra trên một mặt phẳng, ta sẽ nhận được một hình chữ nhật:

• Chiều rộng của hình chữ nhật chính là chiều cao h của hình trụ.

• Chiều dài của hình chữ nhật chính là chu vi đường tròn đáy, bằng \(2\pi R\).

Từ đó ta có diện tích xung quanh của hình trụ bằng diện tích hình chữ nhật:

\[S_{xq}=S_{hcn}\]

Và ta có được công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ: \[S = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} = (2\pi R) \times h = 2\pi Rh\]

Ví dụ tính diện tích xung quanh hình trụ

Bài toán: Tính diện tích xung quanh của một hình trụ: bán kính đáy \(R = 5\text{ cm}\) và chiều cao \(h = 8\text{ cm}\) (lấy \(\pi \approx 3,14\)).

Lời giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ:

\[S_{xq} = 2\pi Rh = 2 \times 3,14 \times 5 \times 8 = 251,2\text{ (cm}^2\text{)}\]

Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ

Diện tích đáy hình trụ được tính theo công thức \(Sđáy=\pi R^2\). Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ (\(S_{tp}\)) bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai hình tròn đáy:

\[S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy}\]

Thay \(S_{xq} = 2\pi Rh\) và \(S_{đáy} = \pi R^2\), ta có công thức tổng quát:

\[S_{tp} = 2\pi Rh + 2\pi R^2 = 2\pi R(h + R)\]

Trong đó:

• \(S_{tp}\): Diện tích toàn phần

• \(S_{đáy} = \pi R^2\): Diện tích một mặt đáy hình tròn

Quy trình tính diện tích toàn phần hình trụ

Để tính diện tích toàn phần hình trụ, học sinh thực hiện theo 3 bước sau:

Bước 1: Tính diện tích xung quanh \(S_{xq} = 2\pi Rh\).

Bước 2: Tính diện tích hai đáy \(2S_{đáy} = 2\pi R^2\).

Bước 3: Cộng hai kết quả lại để ra diện tích toàn phần \(S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy}\).

Ví dụ tính diện tích toàn phần hình trụ

Bài toán: Một lon sữa hình trụ có bán kính đáy \(R = 4\text{ cm}\) và chiều cao \(h = 10\text{ cm}\). Tính diện tích toàn phần của lon sữa (kết quả làm tròn đến hàng phần mười, lấy \(\pi \approx 3,14\)).

Lời giải

Diện tích xung quanh lon sữa là:

\[S_{xq} = 2\pi Rh = 2 \times 3,14 \times 4 \times 10 = 251,2\text{ (cm}^2\text{)}\]

Diện tích hai đáy lon sữa là:

\[2S_{đáy} = 2 \times \pi \times R^2 = 2 \times 3,14 \times 4^2 = 2 \times 3,14 \times 16 = 100,48\text{ (cm}^2\text{)}\]

Diện tích toàn phần lon sữa là:

\[S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 251,2 + 100,48 = 351,68 \approx 351,7\text{ (cm}^2\text{)}\]

Phân biệt diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

Khi giải bài toán hình trụ, học sinh cần phân biệt khi nào sử dụng \(S_{xq}\) và khi nào sử dụng \(S_{tp}\).

Lưu ý khi làm bài:

Nếu bài toán yêu cầu tính vật liệu làm ống nước, cống bê tông, nhãn dán lon nước: Chỉ tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) (vì không có 2 đáy).

Nếu bài toán tính vật liệu làm thùng không nắp (chỉ có 1 đáy): \[S = S_{xq} + S_{đáy} = 2\pi Rh + \pi R^2\]

Nếu bài toán tính vật liệu làm hộp kín hai đáy: Tính diện tích toàn phần \[S_{tp} = 2\pi Rh + 2\pi R^2\]

Bài tập về diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần khi biết bán kính, chiều cao

Cho hình trụ có bán kính đáy \(R = 6\text{ cm}\) và chiều cao \(h = 9\text{ cm}\). Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ theo \(\pi\).

Lời giải

Diện tích xung quanh của hình trụ:

\[S_{xq} = 2\pi Rh = 2 \times \pi \times 6 \times 9 = 108\pi\text{ (cm}^2\text{)}\]

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\[S_{tp} = 2\pi R(h + R) = 2 \times \pi \times 6 \times (9 + 6) = 12\pi \times 15 = 180\pi\text{ (cm}^2\text{)}\]

Dạng 2: Tính bán kính hoặc chiều cao khi biết diện tích xung quanh, diện tích toàn phần

Bài 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng \(120\pi\text{ cm}^2\) và chiều cao \(h = 10\text{ cm}\). Tính bán kính đáy R và diện tích toàn phần của hình trụ đó.

Lời giải

Từ công thức \(S_{xq} = 2\pi Rh\), suy ra bán kính đáy R:

\[R = \frac{S_{xq}}{2\pi h} = \frac{120\pi}{2\pi \times 10} = \frac{120\pi}{20\pi} = 6\text{ (cm)}\]

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\[S_{tp} = S_{xq} + 2\pi R^2 = 120\pi + 2 \times \pi \times 6^2 = 120\pi + 72\pi = 192\pi\text{ (cm}^2\text{)}\]

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy \(R = 5\text{ cm}\) và diện tích toàn phần \(S_{tp} = 150\pi\text{ cm}^2\). Tính chiều cao h của hình trụ.

Lời giải:

Ta có công thức: \(S_{tp} = 2\pi Rh + 2\pi R^2\)

Thay R = 5 và \(S_{tp} = 150\pi\) vào công thức:

\[150\pi = 2\pi \times 5 \times h + 2\pi \times 5^2\]

\[150\pi = 10\pi h + 50\pi\]

Chia cả hai vế cho \(\pi\):

\[150 = 10h + 50 \implies 10h = 100 \implies h = 10\text{ (cm)}\]

Vậy chiều cao của hình trụ là 10 cm.

Dạng 3: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần trong bài toán thực tế

Một người thợ cần làm một thùng sơn hình trụ bằng tôn có nắp đậy (hộp kín), chiều cao h = 80cm và đường kính đáy d = 40cm.

a) Tính diện tích tôn cần dùng để làm thùng sơn đó (bỏ qua diện tích các mép hàn, lấy \(\pi \approx 3,14\)).

b) Nếu giá tiền tôn là \(120.000\text{ đồng/m}^2\), tính tổng chi phí mua tôn để làm thùng sơn trên.

Lời giải

a) Bán kính đáy của thùng sơn là:

\[R = \frac{d}{2} = \frac{40}{2} = 20\text{ cm} = 0,2\text{ m}\]

Chiều cao đổi sang mét: \(h = 80\text{ cm} = 0,8\text{ m}\).

Vì thùng sơn có nắp đậy nên diện tích tôn cần dùng chính là diện tích toàn phần của hình trụ:

\[S_{tp} = 2\pi R(h + R) = 2 \times 3,14 \times 0,2 \times (0,8 + 0,2)\]

\[S_{tp} = 1,256 \times 1,0 = 1,256\text{ (m}^2\text{)}\]

b) Tổng chi phí mua tôn để làm thùng sơn là:

\[\text{Chi phí} = 1,256 \times 120.000 = 150.720\text{ (đồng)}\]

Vậy diện tích tôn cần dùng để làm thùng sơn là \(1,256\text{ m}^2\) và tổng chi phí mua tôn để làm thùng sơn là \(150.720\text{ đồng}\).

Các kiến thức sẽ xuất hiện trong các đề kiểm tra và còn là nền tảng trực tiếp để học thêm về Hình học không gian. Học sinh hãy rèn luyện các dạng bài tập trên và ghi nhớ các kiến thức sau nhé:

• Các yếu tố của hình trụ gồm: Bán kính đáy (R), chiều cao (h), đường sinh (I = h)

• Diện tích xung quanh: \(S_{xq} = 2\pi Rh\).

• Diện tích một đáy: \(S_{đáy} = \pi R^2\).

• Diện tích toàn phần: \[S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 2\pi Rh + 2\pi R^2 = 2\pi R(h + R)\]

Ngoài ra, học sinh có thể tham khảo thêm nhiều bài viết bổ ích khác tại trang chủ Toán 9 của ZIM Academy để củng cố kiến thức toàn diện hơn.