Thể tích hình trụ | Công thức, cách tính và bài tập có lời giải

Thể tích hình trụ là đại lượng biểu thị phần không gian mà hình trụ chiếm chỗ và được xác định dựa trên diện tích đáy cùng chiều cao. Trong bài học này, học sinh sẽ tìm hiểu thể tích hình trụ là gì, công thức tính thể tích hình trụ, cách tính thể tích hình trụ tròn, hình trụ đáy tròn và vận dụng công thức để giải các dạng bài tập tính thể tích của hình trụ trong chương trình Toán 9.

Hình trụ là gì?

Hình trụ được tạo thành khi ta quay một hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định của nó. [1]

Giả sử ta có hình chữ nhật \(ABCD\). Khi quay hình chữ nhật này quanh cạnh \(CD\) cố định, ta sẽ được một hình trụ. Lúc này:

• Trục của hình trụ: Chính là cạnh \(CD\) cố định.

• Hai mặt đáy: Cạnh \(AD\) và cạnh \(BC\) khi quay sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau. Hai hình tròn này được gọi là hai mặt đáy của hình trụ.

• Mặt xung quanh: Cạnh \(AB\) quay quanh \(CD\) vạch ra một mặt cong, gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

• Đường sinh (\(l\)): Mỗi vị trí của đoạn thẳng \(AB\) khi quay vạch ra mặt xung quanh được gọi là một đường sinh.

• Chiều cao (\(h\)): Độ dài của trục (đoạn \(CD\)) hoặc khoảng cách giữa hai mặt đáy chính là chiều cao của hình trụ. Đối với hình trụ thẳng, chiều cao luôn bằng độ dài đường sinh (\(h = l\)).

• Bán kính đáy (\(r\)): Là bán kính của hình tròn đáy (đoạn \(AD\) hoặc \(BC\)).

Thể tích hình trụ là gì?

Thể tích hình trụ là đại lượng biểu thị phần không gian mà một khối trụ chiếm chỗ. Giá trị thể tích phụ thuộc vào kích thước của mặt đáy và chiều cao của hình trụ: bán kính đáy hoặc diện tích đáy càng lớn, chiều cao càng lớn thì thể tích khối trụ càng lớn.

Đơn vị của thể tích hình trụ là các đơn vị thể tích như \(\mathrm{cm^3},\mathrm{dm^3},\mathrm{m^3}\). Trong các bài toán thực tế, thể tích hình trụ còn được dùng để xác định dung tích của các vật có dạng hình trụ như bể chứa, lon hoặc thùng hình trụ.

Công thức tính thể tích hình trụ

Công thức tổng quát: Tương tự như công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng, thể tích của hình trụ được xác định bằng tích của diện tích mặt đáy với chiều cao:

\[V = S_{đáy} \cdot h\]

Công thức chi tiết: Do mặt đáy của hình trụ là một hình tròn có bán kính \(r\), diện tích mặt đáy được tính theo công thức diện tích hình tròn: \(S_{đáy} = \pi \cdot r^2\).

Thay diện tích đáy vào công thức tổng quát, ta thu được công thức thể tích hình trụ:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Trong đó:

• \(V\): Thể tích của khối trụ (đơn vị đo thể tích tương ứng: \(cm^3, dm^3, m^3, \text{lít}...\)).

• \(\pi\): Hằng số Pi, thông thường trong tính toán sẽ lấy giá trị xấp xỉ \(\pi \approx 3,14\) hoặc \(\pi \approx \frac{22}{7}\).

• \(r\): Bán kính mặt đáy của hình trụ.

• \(h\): Chiều cao của hình trụ (khoảng cách vuông góc giữa hai mặt phẳng chứa đáy). [1]

Lưu ý: Trường hợp đề bài cung cấp thông số đường kính đáy (\(d\)) thay vì bán kính (\(r\)), học sinh cần nhớ mối quan hệ \(r = \frac{d}{2}\) để chuyển đổi sang bán kính trước khi đưa vào công thức tính toán.

Cách tính thể tích hình trụ

Cách tính thể tích hình trụ gồm 3 bước sau:

Bước 1: Xác định thông số và thống nhất đơn vị đo

Phân tích đề bài để xác định các đại lượng bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\). Nếu đề bài cho đường kính đáy \(d\), thực hiện phép tính \(r = \frac{d}{2}\).

Kiểm tra đơn vị đo của bán kính và chiều cao. Nếu hai thông số này không cùng đơn vị, người học bắt buộc phải quy đổi chúng về cùng một đơn vị đo độ dài trước khi tính toán.

Bước 2: Thiết lập công thức và thay số

Viết công thức chuẩn \(V=\pi\cdot r^2\cdot h\). Sau đó, tiến hành thay các giá trị số đã xác định ở Bước 1 vào công thức.

Bước 3: Thực hiện phép tính và kết luận

Tính toán giá trị đại số. Kết quả có thể giữ nguyên dưới dạng chứa hằng số \(\pi\) hoặc nhân với \(\pi \approx 3,14\) tùy theo yêu cầu của đề bài. Viết câu kết luận kèm theo đơn vị thể tích phù hợp.

Ví dụ minh họa:

Một hình trụ có đường kính đáy bằng \(12\text{ cm}\) và chiều cao bằng \(18\text{ cm}\). Hãy tính thể tích của hình trụ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

• Bước 1:

  Bán kính đáy của hình trụ là: \(r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ (cm)}\).

  Chiều cao của hình trụ là: \(h = 18\text{ cm}\).

  Hai đại lượng đã cùng đơn vị đo là \(cm\).

• Bước 2:

  Thể tích của hình trụ được tính theo công thức:

  \[V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 6^2 \cdot 18\]

• Bước 3:

  \[V = \pi \cdot 36 \cdot 18 = 648\pi \text{ (cm}^3\text{)}\]

  Lấy \(\pi \approx 3,14\), ta có: \[V \approx 648 \cdot 3,14 = 2034,72 \text{ (cm}^3\text{)}\]

  Kết luận: Vậy thể tích của hình trụ xấp xỉ \(2034,72\text{ cm}^3\).

Ứng dụng công thức tính thể tích hình trụ trong bài toán thực tế

Công thức \(V = \pi r^2 h\) được áp dụng phổ biến để xác định dung tích lon nước, thùng phuy hay bể chứa nước. Trong công nghiệp và xây dựng, công thức này có thể dùng để tính dung tích bể chứa, thể tích các vật thể dạng trụ hoặc thể tích phần không gian bên trong một đoạn ống hình trụ.

Bên cạnh đó, các bài toán thực tế thường kết hợp thể tích với diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ với công thức \(S_{xq} = 2\pi rh\); \(S_{tp} = 2\pi rh + 2\pi r^2\). Dạng bài này yêu cầu người học dùng dữ kiện diện tích để tìm bán kính \(r\) hoặc chiều cao \(h\) trước khi tính thể tích.

Ví dụ minh họa:

Một lon nước hình trụ đặt vừa khít trong hộp giấy hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh \(8\text{ cm}\) và chiều cao \(12\text{ cm}\). Tính thể tích lon nước (bỏ qua độ dày vỏ lon và hộp; lấy \(\pi \approx 3,14\)).

Lời giải:

Do lon nước đặt vừa khít trong hộp giấy:

• Bán kính đáy lon: \(r = \frac{8}{2} = 4\text{ (cm)}\)

• Chiều cao lon: \(h = 12\text{ cm}\)

Thể tích lon nước hình trụ là:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h \approx 3,14 \cdot 4^2 \cdot 12 = 602,88 \text{ (cm}^3\text{)}\]

Kết luận: Thể tích lon nước xấp xỉ \(602,88\text{ cm}^3\).

Bài tập vận dụng về thể tích hình trụ

Dạng 1: Tính thể tích hình trụ khi biết bán kính và chiều cao

Bài tập 1:

Tính thể tích của một khối sắt hình trụ có bán kính đáy \(r = 8\text{ cm}\) và chiều cao \(h = 25\text{ cm}\). (Lấy kết quả theo \(\pi\)).

Lời giải:

Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Thay số: \(V = \pi \cdot 8^2 \cdot 25 = \pi \cdot 64 \cdot 25 = 1600\pi \text{ (cm}^3\text{)}\).

Đáp số: \(1600\pi\text{ cm}^3\).

Dạng 2: Tính thể tích hình trụ khi biết diện tích xung quanh hoặc diện tích toàn phần

Bài tập 2:

Một hình trụ có chiều cao \(h = 12\text{ cm}\) và diện tích xung quanh bằng \(144\pi \text{ cm}^2\). Tính thể tích của hình trụ đó.

Lời giải:

Bước 1: Tìm bán kính đáy \(r\) thông qua công thức diện tích xung quanh.

Ta có: \(S_{xq} = 2\pi \cdot r \cdot h\)

Thay \(S_{xq} = 144\pi\) và \(h = 12\):

\[2\pi \cdot r \cdot 12 = 144\pi\]

\[\Leftrightarrow 24\pi \cdot r = 144\pi \Rightarrow r = \frac{144\pi}{24\pi} = 6\text{ (cm)}\]

Bước 2: Tính thể tích hình trụ.

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = \pi \cdot 36 \cdot 12 = 432\pi \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(432\pi\text{ cm}^3\).

Bài tập 3: Cho một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5\text{ cm}\). Biết diện tích toàn phần của hình trụ bằng \(150\pi \text{ cm}^2\). Tính thể tích của hình trụ.

Lời giải:

Bước 1: Xác định chiều cao \(h\) từ diện tích toàn phần.

Công thức diện tích toàn phần: \(S_{tp} = 2\pi rh + 2\pi r^2\)

Thay \(S_{tp} = 150\pi\) và \(r = 5\):

\[2\pi \cdot 5 \cdot h + 2\pi \cdot 5^2 = 150\pi\]

\[\Leftrightarrow 10\pi \cdot h + 50\pi = 150\pi\]

\[\Leftrightarrow 10\pi \cdot h = 150\pi - 50\pi = 100\pi\]

\[\Rightarrow h = \frac{100\pi}{10\pi} = 10\text{ (cm)}\]

Bước 2: Tính thể tích hình trụ:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(250\pi\text{ cm}^3\).

Dạng 3: Bài toán thực tế về thể tích hình trụ

Bài tập 4:

Một bể chứa nước hình trụ có bán kính đáy \(r = 1,5\text{ m}\) và chiều cao \(h = 2\text{ m}\).

a) Tính thể tích của bể nước (lấy \(\pi \approx 3,14\)).

b) Hỏi bể nước đó chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?

Lời giải:

a) Thể tích của bể chứa nước hình trụ là:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h \approx 3,14 \cdot (1,5)^2 \cdot 2\]

\[V \approx 3,14 \cdot 2,25 \cdot 2 = 3,14 \cdot 4,5 = 14,13 \text{ (m}^3\text{)}\]

b) Đổi thể tích ra đơn vị lít:

\[14,13\text{ m}^3 = 14,13 \cdot 1000 = 14130\text{ (lít)}\]

Đáp số:

a) \(14,13\text{ m}^3\).

b) \(14130\) lít nước.

Tham khảo thêm: Tổng hợp công thức tính thể tích các hình khối và cách tính chi tiết.

Nắm vững thể tích hình trụ giúp học sinh vận dụng chính xác công thức tính thể tích hình trụ và giải hiệu quả các bài toán Hình học không gian lớp 9. Khi làm bài, cần xác định đúng bán kính đáy, chiều cao, quy đổi các đại lượng về cùng đơn vị và thay số cẩn thận để tránh sai sót. Học sinh có thể tham khảo thêm các chuyên đề Toán 9 tại ZIM Academy để củng cố kiến thức và luyện tập thêm các dạng bài liên quan.