Cách làm dạng bài Isolating quantities trong SAT® Math và bài tập

Isolating Quantities là một dạng bài quan trọng trong phần Advanced Math của SAT, yêu cầu học sinh cô lập biến trong phương trình hoặc bất phương trình. Bài viết này cung cấp kiến thức tổng quan, ví dụ minh họa và chiến lược làm bài hiệu quả giúp người học làm chủ dạng bài này trong kỳ thi SAT.

Tổng quan về dạng bài Isolating quantities

Trong phần Advanced Math của SAT, một dạng bài quan trọng là Isolating Quantities. Dạng bài này yêu cầu học sinh giải một phương trình hoặc bất phương trình để tìm ra một biến cụ thể. Đây là một dạng bài quen thuộc với nhiều cấp độ khác nhau, từ các phương trình đơn giản đến phức tạp hơn liên quan đến mũ, căn bậc hai, logarit và nhiều biểu thức đại số khác.

Đặc điểm của dạng bài Isolating quantities

Biến đổi phương trình hoặc bất phương trình 

Trọng tâm của dạng bài Isolating Quantities là biến đổi phương trình sao cho biến cần giải được cô lập ở một vế của phương trình. Để làm điều này, học sinh cần phải thực hiện các phép toán tương ứng như cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa hoặc lấy căn bậc hai. Một bước sai có thể dẫn đến kết quả sai lệch, vì vậy kỹ năng phân tích và áp dụng chính xác các quy tắc toán học là rất cần thiết.

Ví dụ: Trong một phương trình đơn giản như 3x + 5 = 20, học sinh cần cô lập x bằng cách thực hiện phép trừ 5 ở cả hai vế rồi chia cho 3, dẫn đến x = 5.

Đa dạng loại phương trình

• Phương trình bậc nhất và bậc hai: Đây là các dạng phương trình cơ bản nhất, trong đó học sinh cần cô lập biến bằng cách sử dụng các phép toán cơ bản hoặc dùng công thức nghiệm.

• Phương trình có căn bậc hai: Học sinh cần biết cách loại bỏ căn bậc hai bằng cách bình phương cả hai vế, sau đó tiến hành giải phương trình như bình thường.

• Phương trình mũ và logarit: Ở mức độ nâng cao hơn, học sinh sẽ gặp phải các phương trình mũ hoặc logarit. Ví dụ, đối với phương trình \(2^{x}=16\), học sinh sẽ dùng quy tắc logarit hoặc nhận biết rằng \(16=2^4\), từ đó suy ra x = 4.

Ứng dụng của các quy tắc đại số

Dạng bài Isolating Quantities yêu cầu học sinh hiểu và áp dụng thành thạo các quy tắc đại số, bao gồm:

• Quy tắc phân phối.

• Quy tắc khai căn và lũy thừa.

• Sự tương quan giữa các hàm mũ và logarit.

• Biến đổi bất phương trình khi nhân hoặc chia với số âm (phải đảo chiều dấu bất phương trình).

Thực hiện theo đúng thứ tự

Một trong những yếu tố quan trọng là học sinh phải biết cách thực hiện các phép biến đổi theo đúng thứ tự ưu tiên trong toán học. Sai sót trong thứ tự tính toán có thể dẫn đến sai kết quả, đặc biệt khi giải các phương trình phức tạp có nhiều bước tính toán.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Nonlinear functions trong SAT Math & bài tập

Chiến lược làm bài dạng bài Isolating quantities trong SAT Math

Để giải quyết dạng Isolating quantities trong SAT Math, học sinh cần làm theo các bước cụ thể nhằm đảm bảo sự chính xác và hiệu quả. Sau đây là các bước cơ bản để xử lý dạng bài này:

Bước 1: Hiểu yêu cầu của bài toán

Đầu tiên, học sinh cần xác định rõ bài toán yêu cầu tìm giá trị của biến nào. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu học sinh cô lập một biến trong một phương trình hoặc bất phương trình.

Bước 2: Biến đổi phương trình để cô lập biến

Bước tiếp theo là sử dụng các phép biến đổi đại số để cô lập biến cần tìm. Điều này thường bao gồm việc loại bỏ các hằng số hoặc các hệ số không liên quan bằng cách thực hiện các phép toán ngược lại (cộng, trừ, nhân, chia).

Bước 3: Kiểm tra lại kết quả

Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị vừa tìm vào phương trình ban đầu. Nếu phương trình vẫn đúng, nghĩa là bạn đã giải chính xác. Đây là cách hiệu quả để đảm bảo rằng bạn không mắc lỗi trong quá trình biến đổi phương trình.

Ví dụ ứng dụng chiến lược 3 bước vào câu hỏi thực tế

Ví dụ 1

The total surface area A of a cylinder, with a radius r and a height h, is expressed by the equation:

\[A = 2\pi r^2 + 2\pi r h\]Which of the following formulas correctly isolates the cylinder's height h in terms of its surface area A and radius r?

A) \(h = r - \frac{A}{2\pi r}\)
B) \(h = \frac{A}{2\pi r} - r\)
C) \(h = r - \frac{A}{r}\)
D) \(h = \frac{A}{r} - r\)

Bước 1: Hiểu yêu cầu của bài toán

Câu hỏi yêu cầu tìm cách viết công thức chiều cao h của một hình trụ dưới dạng hàm số của bán kính r và diện tích bề mặt A. 

Phương trình đã cho là:

\[A = 2\pi r^2 + 2\pi r h\]Nhiệm vụ là cô lập biến h, tức là tìm hhh theo A và r.

Bước 2: Biến đổi phương trình để cô lập biến

• Trừ \(2\pi r^2\) từ cả hai vế

Đầu tiên, đưa tất cả các thành phần không chứa h về một vế:

\[A - 2\pi r^2 = 2\pi r h\]

• Chia cả hai vế cho 2πr

Tiếp theo, chia cả hai vế cho 2πr để cô lập h:

\[h = \frac{A - 2\pi r^2}{2\pi r} \]

• Phân tích kết quả

Kết quả trên cho h dưới dạng hàm số của A và r.

Bước 3: Kiểm tra lại kết quả

Bây giờ cần đối chiếu kết quả vừa tìm được với các lựa chọn trong câu hỏi:

• Đáp án A: \(h = r - \frac{A}{2\pi r} \) (sai)

• Đáp án B: \(h = \frac{A}{2\pi r} - r \) (đúng)

• Đáp án C: \(h = r - \frac{A}{r} \) (sai)

• Đáp án D: \(h = \frac{A}{r} - r \) (sai)

Vậy đáp án đúng là B.

Ví dụ 2

A math teacher uses the equation below to determine the final score C on a test, where M represents the number of correct answers from the multiple-choice section, and F represents the points earned on the free-response section:

\[C=1.2272M+3.0556F\]Which of the following equations correctly expresses the number of correct multiple-choice answers M in terms of the final score C and the points from the free-response section F?

A) \(M=\frac{C-3.0556F}{1.2272}\)
B) \(M=\frac{C}{1.2272}-3.0556F\)
C) \(M=\frac{3.0556F-C}{1.2272}\)
D) \(M=\frac{3.0556F}{1.2272}-C\)

Bước 1: Hiểu yêu cầu của bài toán

Phương trình được cung cấp:

\[C=1.2272M+3.0556F\]Trong đó:

• C là điểm tổng hợp cuối cùng.

• M là số câu trả lời đúng trong phần câu hỏi trắc nghiệm.

• F là số điểm trong phần câu hỏi tự luận.

Câu hỏi yêu cầu cô lập M, tức là viết lại phương trình để biểu thị M theo C và F.

Bước 2: Biến đổi phương trình để cô lập biến M

• Trừ 3.0556F từ cả hai vế

Chúng ta cần chuyển thành phần chứa M sang một vế, và phần chứa F sang vế còn lại:

C − 3.0556F = 1.2272M

• Chia cả hai vế cho 1.2272

Tiếp theo, chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho 1.2272 để cô lập M:

\[M=\frac{C-3.0556F}{1.2272}\]

Bước 3: Kiểm tra lại kết quả

Đối chiếu kết quả trên với các đáp án trong câu hỏi:

• Đáp án A: \(M=\frac{C-3.0556F}{1.2272}\) (đúng)

• Đáp án B: \(M=\frac{C}{1.2272}-3.0556F\) (sai)

• Đáp án C: \(M=\frac{3.0556F-C}{1.2272}\) (sai)

• Đáp án D: \(M=\frac{3.0556F}{1.2272}-C\) (sai)

Vậy đáp án đúng là A.

Bài tập ứng dụng

Câu hỏi 1:

The formula below represents the stability factor, s, for a boat with a beam b feet wide and a water displacement of d pounds:

\[s=\frac{5b}{\sqrt[3]{d}}\]A higher stability factor indicates a more stable boat. Which of the following equations expresses d, the displacement, in terms of s and b?

A) \(d=\left(\frac{5b}{s}\right)^3\)
B) \(d=\frac{s^3}{5b}\)
C) \(s=\frac{5b}{s^3}\)
D) \(d=\left(\frac{s}{5b}\right)^3\)

Câu hỏi 2:

The formula below can be used to calculate the area A of a sector of a circle with radius r, where θ is the central angle of the sector in degrees:

\[A=\frac{\pi r^{2}\theta }{360}\]Which of the following correctly expresses the radius r in terms of the area A of the sector and the central angle θ?

A) \(r=\sqrt{\frac{360A}{\pi\theta}}\)
B) \(r=\frac{360A}{\pi r\theta }\)
C) \(r=\sqrt{\frac{\pi \theta }{360A}}\)
D) \(r=\frac{\pi \theta }{360Ar}\)

Câu hỏi 3:

The gravitational force, F, between two objects with masses M and mmm, separated by a distance r, is given by the formula below, where G is the gravitational constant:

\[F=\frac{GMm}{r^2}\]Which of the following represents the correct formula for m, in terms of the gravitational force F, the constant G, the mass M, and the distance r?

A) \(m=\frac{GFMr}{r^{2}}\)
B) \(m=\frac{Fr^{2}}{MG}\)
C) \(m=\frac{Fr^{2}}{GM}\)
D) \(m=\frac{F}{GMr^{2}}\)

Đáp án: 1-A / 2-A / 3-C

Đọc tiếp: Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

Tổng kết

Bài viết đã cung cấp cái nhìn tổng quan về dạng bài Isolating Quantities trong phần SAT Math, bao gồm đặc điểm nhận diện, chiến lược giải ba bước và bài tập thực hành kèm lời giải chi tiết. Đây là dạng câu hỏi phổ biến yêu cầu học sinh cô lập biến trong phương trình – một kỹ năng quan trọng để giải quyết các bài toán đại số nhanh chóng và chính xác.

Để đạt kết quả cao trong kỳ thi SAT, việc nắm vững chiến lược và phương pháp giải các dạng toán là yếu tố then chốt. Tựa sách “Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies” cung cấp cho thí sinh cái nhìn tổng quan về các dạng toán trong kỳ thi, cùng hướng tư duy hiệu quả để giải quyết từng dạng bài. Mỗi chủ đề được trình bày với kiến thức cơ bản, ví dụ minh họa, cách giải mẫu và bài tập luyện tập kèm đáp án chi tiết. Đọc thử: tại đây.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.