Linear inequality word problems trong SAT Math – Cách làm và bài tập
Các bài toán về bất phương trình tuyến tính (Linear inequality word problems) là một dạng bài toán có lời văn, yêu cầu thí sinh phải hiểu và áp dụng các bất phương trình tuyến tính vào các tình huống thực tế. Bài viết sẽ cung cấp cái nhìn tổng quan về dạng bài này cùng chiến lược và bài tập ứng dụng để giúp thí sinh chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi SAT.
Tổng quan về dạng bài Linear inequality word problems
Dạng bài Linear inequality word problems là những bài toán có lời văn yêu cầu giải quyết các tình huống thực tế bằng cách sử dụng bất phương trình tuyến tính (Linear inequality).
Dấu hiệu nhận biết
Các từ "at least" (ít nhất), "no more than" (không quá), "less than" (ít hơn), “not exceed” (không vượt quá) thường là dấu hiệu nhận biết bất phương trình.
Ví dụ:
Statement | Inequality | Possible solutions |
---|---|---|
The temperature today will not exceed 32 degrees Fahrenheit. | x ≤ 32 | 32 degrees, 31 degrees, 30 degrees, etc. |
I need at least 5 apples for the pie. | x ≥ 5 | 5 apples, 6 apples, 7 apples, etc. |
A system of linear inequalities
Trên thực tế, trong bài thi SAT Math, thí sinh thường được yêu cầu giải hệ bất phương trình tuyến tính (a system of linear inequalities). Đây giống như một hệ phương trình tuyến tính (a system of linear equalities), được sử dụng trong các tình huống có nhiều điều kiện ràng buộc.
Ví dụ:
Hệ bất phương trình tuyến tính: y ≥ 2x + y và y < −x + 4
Hệ phương trình tuyến tính: y = 2x + y và y = −x + 4
Điểm khác biệt là trong khi hệ phương trình tuyến tính có một nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc không có nghiệm, thì hệ bất phương trình tuyến tính thường cho ra một tập nghiệm gồm vô số điểm nằm trong một vùng trên mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ 1
Giả sử ta có hệ phương trình tuyến tính: 2x + y = 5 (1) và x − y = 1 (2)
Từ phương trình (2) ta có: x = y + 1
Thay x = y + 1 vào phương trình (1): 2(y + 1) + y = 5
→ 2y + 2 + y = 5
→ 3y = 3
→ y = 1
→ x = 1 + 1 = 2
Vậy, nghiệm duy nhất của hệ phương trình này là (x, y) = (2, 1).
Giả sử ta có hệ bất phương trình tuyến tính: 2x + 3y ≤ 5 (1) và x − y ≥ 1 (2)
Biểu diễn hai bất phương trình (1) và (2) trên mặt phẳng tọa độ:
Đường thẳng màu đỏ biểu diễn phương trình 2x + 3y = 5. Vùng màu đỏ phía dưới đường thẳng này là tập nghiệm của bất phương trình 2x + 3y ≤ 5.
Đường thẳng màu vàng biểu diễn phương trình x − y = 1. Vùng màu tím phía trên đường thẳng này là tập nghiệm của bất phương trình x − y ≥ 1.
Phần giao nhau giữa vùng màu tím và vùng màu đỏ là vùng nghiệm ta cần tìm.
Ví dụ 2
A đang mua đồ uống cho một bữa tiệc. A muốn mua sao cho không ai thiếu phần (đồ uống ≥ số người ăn), nhưng A cũng không muốn chi tiêu quá nhiều (tiền mua đồ uống ≤ ngân sách cho bữa tiệc). Nếu A quản lý để mua đủ đồ uống cho tất cả mọi người mà không vượt quá ngân sách, A đã giải quyết một hệ bất phương trình: đồ uống ≥ số người ăn và tiền mua đồ uống ≤ ngân sách cho bữa tiệc.
Xem thêm: Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề
Chiến lược làm bài dạng bài Linear inequality word problems trong SAT Math
Đọc kỹ đề bài
Xác định các đại lượng trong bài toán thông qua các từ khoá như "số lượng", "chiều dài", "khối lượng", "giá tiền"…
Tìm các từ khóa gợi ý đến bất đẳng thức như "ít nhất", "nhiều nhất", "không quá", "không dưới", "lớn hơn", "nhỏ hơn"…
Gán biến
Chọn một hoặc nhiều biến (thường là các chữ cái x, y, z…) để đại diện cho các đại lượng chưa biết.
Lập bất đẳng thức
Xác định các dấu bất đẳng thức phù hợp dựa trên các từ khóa "ít nhất", "nhiều nhất", "không quá", "không dưới", "lớn hơn", "nhỏ hơn"…
Dựa vào thông tin trong đề bài để thiết lập mối quan hệ giữa các biến và các giá trị đã biết.
Giải bất đẳng thức
Áp dụng các quy tắc giải bất đẳng thức để tìm tập nghiệm.
Vẽ trục số (nếu cần) để trực quan hóa tập nghiệm.
Kiểm tra lại đáp án
Kiểm tra xem đáp án có thỏa mãn tất cả các điều kiện trong đề bài hay không.
Loại trừ các đáp án không thoả mãn một trong số các yêu cầu của đề bài.
Kiểm tra lại đơn vị của đáp án.
Các dạng bài thường gặp
Bài toán về tuổi: So sánh tuổi của các nhân vật.
Bài toán về tiền bạc: Tính toán chi phí, lợi nhuận.
Bài toán về khoảng cách: Tính toán quãng đường, thời gian.
Bài toán về hỗn hợp: Tính toán tỉ lệ thành phần của hỗn hợp.
Một số lưu ý
Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất phương trình với một số âm, phải đổi dấu bất đẳng thức.
Ví dụ: −2x > 4 → x < −2 (chia cả hai vế cho -2)
Đảm bảo tất cả các đại lượng trong bài toán có cùng đơn vị đo trước khi thực hiện phép tính. Ví dụ, nếu một bài toán nói về quãng đường tính bằng km và thời gian tính bằng giờ, cần đổi thời gian sang giờ để tính vận tốc (km/h).
Xác định mối quan hệ giữa các đại lượng bằng các từ khóa như "tỉ lệ thuận", "tỉ lệ nghịch", "tổng", "hiệu", "gấp bao nhiêu lần”...
Kiểm tra xem kết quả có thỏa mãn tất cả các điều kiện trong đề bài hay không.
Kiểm tra tính hợp lý của kết quả. Ví dụ, nếu tính được tuổi của một người là âm thì chắc chắn có gì đó sai sót.
Xem thêm: Phương pháp giải các dạng bài trong SAT Math
Bài tập ứng dụng
Bài tập 1:
A bike rental shop offers two rental plans:
Plan A: $10 for the first hour and $5 for each additional hour.
Plan B: $15 for the first two hours and $4 for each additional hour.
a) The total cost of renting a bike under Plan A for x hours (x > 1) is:
A. 10x + 5
B. 5x + 10
C. 10 + 5(x - 1)
D. 5 + 10(x - 1)
b) The total cost of renting a bike under Plan B for y hours (y > 2) is:
A. 15 + 4(y - 2)
B. 15 - 4(y - 2)
C. 4 + 15(y - 2)
D. 4 + 15(y + 2)
c) If you have $50, you can rent a bike under Plan A for utmost ________________ hours.
Bài tập 2:
A bakery sells cupcakes in boxes of different sizes. A small box contains 12 cupcakes and costs $15. A large box contains 24 cupcakes and costs $28. A customer wants to buy at least 100 cupcakes but wants to spend no more than $100. Let x be the number of small boxes and y be the number of large boxes. Which system of inequalities represents this situation?
A. 12x + 24y ≥ 100; 15x + 28y ≤ 100
B. 12x + 24y ≤ 100; 15x + 28y ≥ 100
C. x + y ≥ 100; 15x + 28y ≤ 100
D. x + y ≤ 100; 15x + 28y ≥ 100
Bài tập 3:
A fruit store sells apples for $2 each and oranges for $3 each. You have $20 to spend. Let x be the number of apples and y be the number of oranges you buy. Write a system of inequalities representing the number of fruits you can buy with your budget.
Bài tập 4:
A factory produces two products, X and Y. Product X requires 3 machines and 2 workers, while product Y needs 2 machines and 4 workers. The factory has 18 machines and 24 workers. Let x be the number of units of product X and y be the number of units of product Y produced. Write a system of inequalities representing the constraints on machines and workers.
Bài tập 5:
A company produces two products, A and B. Product A requires 2 hours and 3 units of material to produce, while product B needs 3 hours and 2 units of material. The company has a maximum of 12 hours of labor and 10 units of material available each day. Let x be the number of units of product A and y be the number of units of product B produced daily.Write a system of inequalities representing the production constraints.
Bài tập 6:
A dietitian recommends consuming at least 2000 calories and no more than 60 grams of fat per day. One serving of food A contains 200 calories and 5 grams of fat, while one serving of food B contains 150 calories and 3 grams of fat. Let x be the number of servings of food A and y be the number of servings of food B. Write a system of inequalities to represent this situation.
Bài tập 7:
A school is selling tickets to a play. Student tickets cost $5 and adult tickets cost $8. The school needs to sell at least 100 tickets to cover costs and wants to make at least $600 in revenue. Write a system of inequalities to represent this situation.
Bài tập 8:
A farmer has 200 feet of fencing to enclose a rectangular garden. The garden must be at least 20 feet wide. Let x be the length and y be the width of the garden. Write a system of inequalities to represent this situation.
Bài tập 9:
A dietitian recommends consuming at least 2000 calories and no more than 60 grams of fat per day. One serving of food A contains 200 calories and 5 grams of fat, while one serving of food B contains 150 calories and 3 grams of fat. Let x be the number of servings of food A and y be the number of servings of food B. Write a system of inequalities to represent this situation.
Bài tập 10:
A nutritionist recommends that a person consume at least 2000 calories, no more than 60 grams of fat, and at least 40 grams of protein each day. One serving of food X contains 150 calories, 5 grams of fat, and 10 grams of protein. One serving of food Y contains 250 calories, 8 grams of fat, and 15 grams of protein. Let x be the number of servings of food X and y be the number of servings of food Y. Write a system of inequalities to represent the nutritional requirements.
Đáp án
Bài tập 1:
a) For Plan A, the cost consists of two parts:
A fixed cost of $10 for the first hour.
A variable cost of $5 for each additional hour, which is represented by 5(x - 1) for x - 1 additional hours.
Therefore, the total cost for Plan A is: 10 + 5(x - 1).
Answer: C
b) Similarly, for Plan B:
A fixed cost of $15 for the first two hours.
A variable cost of $4 for each additional hour, which is represented by 4(y - 2) for y - 2 additional hours.
Therefore, the total cost for Plan B is: 15 + 4(y - 2).
Answer: A
c) To find the maximum number of hours for Plan A with a $50 budget, we set up the following inequality:
10 + 5(x - 1) ≤ 50
Solving for x, we get: x ≤ 9
Therefore, the maximum number of hours for Plan A with a $50 budget is 9 hours.
Answer: 9
Bài tập 2:
The customer wants to buy at least 100 cupcakes. A small box contains 12 cupcakes, and a large box contains 24 cupcakes.
Therefore, the total number of cupcakes bought can be represented by: 12x + 24y ≥ 100
The customer wants to spend no more than $100. A small box costs $15, and a large box costs $28.
Therefore, the total cost of the boxes can be represented by: 15x + 28y ≤ 100
Answer: A
Bài tập 3:
You have $20 to spend. The cost of apples and oranges can be represented by: 2x + 3y ≤ 20
You cannot buy a negative number of fruits, so we also have: x ≥ 0 and y ≥ 0
System of Inequalities: 2x + 3y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
Bài tập 4:
Product X requires 3 machines per unit, and product Y requires 2 machines per unit. The factory has a total of 18 machines.
Therefore, the constraint on machines can be represented by: 3x + 2y ≤ 18
Product X requires 2 workers per unit, and product Y requires 4 workers per unit. The factory has a total of 24 workers.
Therefore, the constraint on workers can be represented by: 2x + 4y ≤ 24
The factory cannot produce a negative number of units, so we also have: x ≥ 0 and y ≥ 0
System of Inequalities: 3x + 2y ≤ 18; 2x + 4y ≤ 24; x ≥ 0; y ≥ 0
Bài tập 5:
Product A requires 2 hours of labor per unit, and product B requires 3 hours of labor per unit. The company has a maximum of 12 hours of labor available each day.
Therefore, the constraint on labor hours can be represented by: 2x + 3y ≤ 12
Product A requires 3 units of material per unit, and product B requires 2 units of material per unit. The company has a maximum of 10 units of material available each day.
Therefore, the constraint on material can be represented by: 3x + 2y ≤ 10
The company cannot produce a negative number of units, so we also have: x ≥ 0 and y ≥ 0
System of Inequalities: 2x + 3y ≤ 12; 3x + 2y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0
Bài tập 6:
The dietitian recommends consuming at least 2000 calories per day. Food A provides 200 calories per serving, and food B provides 150 calories per serving.
Therefore, the calorie constraint can be represented by: 200x + 150y ≥ 2000
The dietitian recommends consuming no more than 60 grams of fat per day. Food A provides 5 grams of fat per serving, and food B provides 3 grams of fat per serving.
Therefore, the fat constraint can be represented by: 5x + 3y ≤ 60
The number of servings cannot be negative, so we also have: x ≥ 0 and y ≥ 0
System of Inequalities: 200x + 150y ≥ 2000; 5x + 3y ≤ 60; x ≥ 0; y ≥ 0
Bài tập 7:
The school needs to sell at least 100 tickets.
Therefore, the constraint on the total number of tickets can be represented by: x + y ≥ 100
he school wants to make at least $600 in revenue. Student tickets cost $5 each, and adult tickets cost $8 each.
Therefore, the revenue constraint can be represented by: 5x + 8y ≥ 600
The number of tickets cannot be negative, so we also have: x ≥ 0 and y ≥ 0
System of Inequalities: x + y ≥ 100; 5x + 8y ≥ 600; x ≥ 0; y ≥ 0
Bài tập 8:
The total amount of fencing available is 200 feet. The perimeter of the rectangular garden is given by: 2x + 2y ≤ 200
Simplifying, we get: x + y ≤ 100
The width of the garden must be at least 20 feet.
Therefore, the constraint on the width can be represented by: y ≥ 20
The dimensions of the garden cannot be negative, so we also have: x ≥ 0 and y ≥ 0
System of Inequalities: x + y ≤ 100; y ≥ 20; x ≥ 0
Bài tập 9:
The dietitian recommends consuming at least 2000 calories per day. Food A provides 200 calories per serving, and food B provides 150 calories per serving.
Therefore, the calorie constraint can be represented by: 200x + 150y ≥ 2000
The dietitian recommends consuming no more than 60 grams of fat per day. Food A provides 5 grams of fat per serving, and food B provides 3 grams of fat per serving.
Therefore, the fat constraint can be represented by: 5x + 3y ≤ 60
The number of servings cannot be negative, so we also have: x ≥ 0 and y ≥ 0
System of Inequalities: 200x + 150y ≥ 2000; 5x + 3y ≤ 60; x ≥ 0; y ≥ 0
Bài tập 10:
The person should consume at least 2000 calories per day. Food X provides 150 calories per serving, and food Y provides 250 calories per serving.
Therefore, the calorie constraint can be represented by: 150x + 250y ≥ 2000
The person should consume no more than 60 grams of fat per day. Food X provides 5 grams of fat per serving, and food Y provides 8 grams of fat per serving.
Therefore, the fat constraint can be represented by: 5x + 8y ≤ 60
The person should consume at least 40 grams of protein per day. Food X provides 10 grams of protein per serving, and food Y provides 15 grams of protein per serving.
Therefore, the protein constraint can be represented by: 10x + 15y ≥ 40
The number of servings cannot be negative, so we also have: x ≥ 0 and y ≥ 0
System of Inequalities: 150x + 250y ≥ 2000; 5x + 8y ≤ 60; 10x + 15y ≥ 40; x ≥ 0; y ≥ 0
Xem thêm: Cách làm dạng bài Heart of Algebra trong SAT Math hiệu quả
Tổng kết
Bài viết này đã cung cấp cái nhìn tổng quan về dạng bài Linear Inequality Word Problems trong SAT Math và các chiến lược giải bài hiệu quả. Bằng cách hiểu và áp dụng các phương pháp giải thích và giải quyết vấn đề, thí sinh có thể cải thiện khả năng làm bài của mình. Ngoài ra, người học còn có thể tham khảo thêm tựa sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies do đội ngũ giáo viên chuyên môn tại ZIM biên soạn để bổ trợ thêm trong quá trình học.
Nguồn tham khảo
“Linear inequality word problems | Lesson.” Khan Academy, www.khanacademy.org/test-prep/v2-sat-math/x0fcc98a58ba3bea7:algebra-easier/x0fcc98a58ba3bea7:linear-inequality-word-problems-easier/a/v2-sat-lesson-linear-inequality-word-problems. Accessed 25 January 2025.
Bình luận - Hỏi đáp