Mệnh đề chứa biến | Định nghĩa, ví dụ và các dạng bài tập Toán 10

Trong chương trình Đại số lớp 10, mệnh đề chứa biến là một đơn vị kiến thức cơ bản mà học sinh cần nắm vững. Việc hiểu sai hoặc hiểu chưa sâu phần này có thể ảnh hưởng tới kết quả kiểm tra, thi cử của học sinh. Do đó, bài viết này sẽ tiến hành làm rõ khái niệm mệnh đề chứa biến, đi kèm ví dụ cụ thể và bài tập, giúp người học nắm chắc lý thuyết và vận dụng chính xác vào bài thi.

Mệnh đề là một phát biểu khẳng định một sự kiện nào đó, mà khẳng định đó chỉ nhận một trong hai giá trị “đúng” hoặc “sai” [1]. Ví dụ, “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là một mệnh đề đúng, “Số 7 là số chẵn” là một mệnh đề sai.

Mệnh đề chứa biến là gì?

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định có chứa một hoặc nhiều biến số, mà tính đúng sai của nó phụ thuộc vào giá trị cụ thể được gán cho các biến đó.

Xét câu “n chia hết cho 5” (với n là số tự nhiên). Ta chưa thể khẳng định được tính đúng sai của câu này, do vậy câu này chưa phải là một mệnh đề. Tuy nhiên, nếu thay n bằng số tự nhiên cụ thể, ta sẽ có mệnh đề đúng hoặc sai.

Với n = 5, ta được mệnh đề “5 chia hết cho 5”. Đây là mệnh đề đúng.

Với n = 6. ta được mệnh đề “6 chia hết cho 5”. Đây là mệnh đề sai.

Như vậy, ta nói “n chia hết cho 5” là một mệnh đề chứa biến.

Bài tập mệnh đề chứa biến

Dạng 1: Nhận biết mệnh đề chứa biến

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề chứa biến?

A. 2 + 3 = 5
B. x + 2 = 5
C. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam
D. 7 là số nguyên tố

Lời giải:

Mệnh đề chứa biến là mệnh đề có tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị cụ thể được gán cho biến trong mệnh đề đó. A, C, D đều là mệnh đề xác định được tính đúng sai rõ ràng. B chứa biến x nên là mệnh đề chứa biến.

B là đáp án đúng.

Dạng 2: Tìm giá trị của biến để mệnh đề đúng/sai

Câu 2: Cho mệnh đề chứa biến P(x): x + 1 > 0. Với giá trị nào của x thì P(x) đúng?

A. x = -2
B. x = -1
C. x = 0
D. x = -3

Lời giải:

Ta có: x + 1 > 0 ⇔ x > -1.

A. -2 > -1 (sai)
B. -1 > -1 (sai)
C. 0 > -1 (đúng)
D. -3 > -1 (sai)

C là đáp án đúng.

Câu 3: Cho mệnh đề chứa biến Q(x): \(x^2\ge0\) \(\forall\) x \(\in\) R. Kết luận nào đúng?

A. Q(x) đúng với một số x
B. Q(x) sai với mọi x
C. Q(x) đúng với mọi x
D. Q (x) vừa đúng vừa sai

Lời giải:

Với mọi số thực x, ta luôn có \(x^2\ge0\). Do vậy, mệnh đề đúng với mọi giá trị của x.

C là đáp án đúng.

Câu 4: Cho mệnh đề chứa biến R(x): x - 5 = 0. Giá trị nào của x làm mệnh đề R(x) đúng?

A. x = 0
B. x = 5
C. x = -5
D. x = 10

Lời giải:

Giải phương trình x - 5 = 0 ⇔ x = 5. Chỉ có x = 5 làm mệnh đề đúng.

B là đáp án đúng.

Câu 5: Cho mệnh đề chứa biến P(x): x là số chẵn. Trong các giá trị sau, giá trị nào làm P(x) sai?

A. x = 2
B. x = 4
C. x = 7
D. x = 10

Lời giải:

Số chẵn là số chia hết cho 2. 2, 4, 10 đều là số chẵn nên sẽ khiến P(x) đúng. 7 không chia hết cho 2 nên P(x) sẽ sai.

C là đáp án đúng.

Câu 6: Cho mệnh đề chứa biến P(x): 2x - 3 < 1. Giá trị nào của x làm P(x) đúng?

A. x = 2
B. x = 4
C. x = 3
D. x = 1

Lời giải:

Giải bất phương trình: 2x - 3 < 1 ⇔ 2x < 4 ⇔ x <2

Giá trị của x ở phương án A, B, C đều không thoả mãn điều kiện x < 2, phương án D có x = 1 thỏa mãn điều kiện x < 2.

D là đáp án đúng.

Câu 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x): \(x^2=x\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của x làm mệnh đề đúng?

A. 2
B. 1
C. 3
D. Vô số

Lời giải:

Giải: \(x^2=x\) ⇔ x(x - 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Vậy ta có 2 giá trị nguyên làm mệnh đề đúng.

A là đáp án đúng.

Câu 8: Cho mệnh đề chứa biến P(x): \(x+3\ge0\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. P(x) đúng với mọi \(x\in\) R
B. P(x) sai với mọi \(x\in\) R
C. P(x) đúng khi \(x\ge-3\)
D. P(x) đúng khi \(x>-3\)

Lời giải:

Giải phương trình: \(x+3\ge0\) ⇔ \(x\ge-3\).

C là đáp án đúng.

Câu 9: Cho mệnh đề chứa biến R(x): x là số chia hết cho 3. Giá trị nào của x làm mệnh đề R(x) đúng?

A. x = 10
B. x = 14
C. x = 16
D. x = 12

Lời giải:

Số chia hết cho 3 là số có tổng chữ số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 3. Trong 4 phương án, chỉ có 12 chia hết cho 3.

D là đáp án đúng.

Câu 10: Cho mệnh đề chứa biến P(x): \(x^2-4<0\). Tập giá trị của x để P(x) đúng là:

A. x < -2 hoặc x > 2
B. -2 < x < 2
C. x \(\le\) -2 hoặc x \(\ge\) 2
D. x = -2 hoặc x = 2

Lời giải:

Giải: : \(x^2-4<0\) ⇔ \(x^2<4\) ⇔ -2 < x < 2.

B là đáp án đúng.

Bài 11: Cho mệnh đề chứa biến P(x) \(x^2\ge9\). Tìm tập giá trị của x để P(x) đúng.

Lời giải:

\(x^2\ge9\) ⇔ \(\left\vert x\right\vert\ge3\) ⇔ \(x\le-3\) hoặc \(x\ge3\).

Dạng 3: Giải phương trình/bất phương trình liên quan đến mệnh đề chứa biến

Bài 12: Cho mệnh đề chứa biến P(x) 3x - 2 = 7.

a) Tìm giá trị của x để P(x) đúng

b) Kết luận về tập nghiệm

Lời giải:

a) Giải phương trình 3x - 2 = 7 ⇔ x = 3

b) Tập nghiệm là S = {3}

Bài 13: Cho mệnh đề chứa biến P(x) \(x^2-5x+6=0\).

a) Tìm giá trị của x để P(x) đúng.

b) Mệnh đề đúng với bao nhiêu giá trị nguyên của x?

Lời giải:

a) Giải phương trình \(x^2-5x+6=0\) ⇔ (x - 2)(x - 3) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 3.

b) Có giá trị nguyên thỏa mãn là 2 và 3.

Bài 14: Cho mệnh đề chứa biến P(x) \(\sqrt{x-1}\ge2\)

a) Tìm điều kiện xác định của mệnh đề.

b) Tìm các giá trị của x để P(x) đúng

c) Kết luận tập nghiệm

Lời giải:

a) Điều kiện xác định \(x-1\ge0\) ⇔ \(x\ge1\)

b) Giải bất phương trình:

\(\sqrt{x-1}\ge2\)

Bình phương hai vế (vì hai vế \(\ge0\))

\(x-1\ge4\) ⇔ \(x\ge5\)

c) Tập nghiệm S = [5; \(+\infty\))

Bài 15: Cho mệnh đề chứa biến P(x) \(\sqrt{2x+3}=x-1\)

a) Tìm điều kiện xác định của mệnh đề.

b) Tìm các giá trị của x để P(x) đúng

c) Kiểm tra nghiệm tìm được

Lời giải:

a) Điều kiện \(2x+3\ge0\) ⇔ \(x\ge-\frac32\)

Đồng thời vế phải \(\ge0\) \(\Rightarrow x-1\ge0\Rightarrow x\ge1\)

\(\rightarrow\) Điều kiện chung: \(x\ge1\)

b) Bình phương hai vế \(\sqrt{2x+3}=x-1\)

⇔ \(2x+3=\left(x-1\right)^2\)

⇔ \(2x+3=x^2-2x+1\)

⇔ \(x^2-4x-2=0\)

Giải phương trình: \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{24}}{2}=2\pm\sqrt6\)

c) Kiểm tra điều kiện:

\(x=2+\sqrt6\) (thỏa mãn điều kiện \(x\ge1\))

\(x=2-\sqrt6\) (không thỏa mãn điều kiện \(x\ge1\))

Vậy ta có tập nghiệm S = {\(2+\sqrt6\)}

Tổng kết

Mệnh đề chứa biến là một nội dung quan trọng trong kiến thức nền tảng Toán lớp 10, vì vậy, học sinh cầm nắm vững kiến thức và vận dụng chính xác vào các dạng bài tập, từ đó hướng đến mốc điểm cao trong thi cử.

Để tối ưu hóa hiệu quả học tập, đồng thời giải quyết các bài tập Toán khó, người học cũng có thể tham khảo ZIM Forum, không gian trực tiếp được ZIM xây dựng nhằm hỗ trợ người học chia sẻ tài nguyên và trao đổi học thuật.