Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính, biết một điểm và hệ số góc

Trong các bài thi chuẩn hoá quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT®, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê, và các phép tính cơ bản. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính có đồ thị đi qua một điểm, cho trước hệ số góc, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hoá các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi.

Lý thuyết về Hàm số tuyến tính và đồ thị hàm số tuyến tính

Hàm số tuyến tính còn có tên gọi là hàm số bậc nhất. Phương trình hàm số tuyến tính có dạng tổng quát là:

Ax + By + C = 0

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A và B không đồng thời bằng 0.

Ngoài dạng tổng quát, hàm số tuyến tính có thể xuất hiện dưới dạng slope-intercept (hệ số góc-tung độ gốc):

y = f(x) = mx + b

Trong đó:

• y là biến số phụ thuộc.

• x là biến số độc lập.

• m là hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc), thể hiện mức độ biến đổi của biến y khi biến x thay đổi.

• b là tung độ gốc (hay còn gọi là điểm cắt trục tung y), là giá trị ban đầu của hàm số khi x = 0.

Xem thêm: Graph of a linear function trong SAT Math: Chiến lược làm bài hiệu quả

Vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số tuyến tính

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, hai đồ thị của hai hàm số tuyến tính có thể có ba vị trí tương đối, tương ứng với ba mối liên hệ tương ứng của ba cặp hệ số góc m của hai hàm số tuyến tính này.

Hai đồ thị cắt nhau

Xét hai đường thẳng A1x + B1y + C1 = 0 và A2x + B2y + C2 = 0, hai đường thẳng này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất nếu ta nhận thấy: \(\frac{A1}{A2}\) khác \(\frac{B1}{B2}\).

Ví dụ: Đường thẳng 2x + y + 1 = 0 và đường thẳng 2x - 5y + 1 = 0 cắt nhau tại một điểm duy nhất (-1/2, 0).

Fig. 1. Line 2x + y + 1 = 0 and line 2x - 5y + 1 = 0 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Hai đồ thị vuông góc (trường hợp đặc biệt của hai đồ thị cắt nhau)

Tích của độ dốc hệ số góc của một đường thẳng cho trước và hệ số góc của đường vuông góc bằng -1. 

Nếu hệ số góc của một đường thẳng cho trước là m1 và hệ số góc của đường vuông góc với nó là m2 , ta có: 

m1.m2=-1

Ví dụ: Đường thẳng y = -2x + 1 vuông góc với đường thẳng y = x/2 tại điểm (0.4, 0.2).

Fig. 2. Line y = -2x + 1 and line y = (1/2)x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Hai đồ thị song song

Nếu hai đường thẳng song song trên Oxy nhưng không trùng nhau, hệ số góc của chúng bằng nhau nhưng tung độ gốc của chúng khác nhau.  

Nếu hệ số góc của hai đường thẳng song song được biểu diễn là m1 , m2 thì ta có: 

m1=m2

Nếu tung độ gốc của hai đường thẳng song song được biểu diễn là b1, b2 thì ta có:

b1 khác b2

Ví dụ: Đường thẳng y = x + 2 song song với đường thẳng y = x - 1.

Fig. 3. Line y = x + 2 and line y = x - 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Hàm số tuyến tính trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về hàm số tuyến tính là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về đồ thị hàm số tương ứng với hàm số cho sẵn, so sánh vị trí tương đối giữa hai đồ thị hàm số tuyến tính, hoặc tìm hàm số tuyến tính có đồ thị đi qua một điểm.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi SAT Math ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính có đồ thị đi qua một điểm, cho trước hệ số góc

Để sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính có đồ thị đi qua một điểm, cho trước hệ số góc, người học cần vận dụng tính năng thanh trượt (sliders) từ DESMOS. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định hệ số góc được cho từ dữ kiện nào. Ví dụ, nếu đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng có hệ số góc là 3 thì đường thẳng cần tìm cũng có hệ số góc là 3. Sau đó, người học xác định toạ độ của điểm cho trước (VD: A(1,2).)

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: hàm số có sẵn từ đề bài.

• Nhập ở dòng thứ hai: toạ độ điểm có sẵn từ đề bài.

• Nhập ở dòng thứ ba dạng slope-intercept của hàm số cần tìm: y = mx + b, trong đó m đã biết được từ đề bài, b là hằng số cần tìm. Người học sau đó bấm “Add slider”. → DESMOS xuất hiện thanh trượt thể hiện các giá trị của b.

Bước 3: Người học thao tác kéo chuột trên thanh trượt, sao cho đồ thị của hàm số cần tìm thoả yêu cầu về hệ số góc và đi qua toạ độ điểm cho trước.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại toạ độ điểm vào hàm số tìm được để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: A line ℓ passes through the point (3,4) and is perpendicular to the line y = x/2 + 6.

Which of the following is the equation of line ℓ in the form y = mx + b?

A. y = -2x + 10

B. y = 2x + 3

C. y = -2x + 7

D. y = -x/2 + 11/2

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Đường thẳng ℓ vuông góc với  y = x/2 + 6. → Hệ số góc của ℓ là -2, do tích hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc luôn bằng -1.

• Đường thẳng ℓ đi qua điểm (3, 4) → Gọi điểm này là A(3, 4).

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: hàm số có sẵn từ đề bài là y = x/2 + 6.

• Nhập ở dòng thứ hai: toạ độ điểm có sẵn từ đề bài: A=(3,4).

• Nhập ở dòng thứ ba dạng slope-intercept của hàm số cần tìm: y = -2x + b, trong đó b là hằng số cần tìm. 

• Người học sau đó bấm “Add slider”. → DESMOS xuất hiện thanh trượt thể hiện các giá trị của b.

Fig. 6. Line y = x/2 + 6 and line y = -2x + b on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Người học thao tác kéo chuột trên thanh trượt, sao cho đồ thị của hàm số cần tìm thoả yêu cầu về hệ số góc và đi qua toạ độ điểm (3,4).

Fig. 7. Line y = x/2 + 6 and line y = -2x + 10 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Từ giá trị b = 10 trên thanh trượt, người học đã có được phương trình đường thẳng cần tìm: y = -2x + 10.

Bước 4: Thử lại toạ độ điểm vào hàm số tìm được để kiểm tra đáp án: -2*(3) + 10 = 4 (Khớp) → Chọn đáp án A.

Lưu ý: Khi dùng thanh trượt, DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính có đồ thị đi qua một điểm, cho trước hệ số góc. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

A line M passes through the point (-2,5) and is parallel to the line given by the equation 4x - 2y = 10. Which of the following is an equation of line M in the form y = mx + b?

A. y = 2x + 9

B. y = 2x + 1

C. y = -2x + 1

D. y = -2x + 9

Answer: A

Question 2: 

A line K passes through the point (6,-1) and is perpendicular to the line given by the equation
y = (1/2)x + 4. Which of the following is an equation of line K in the form y = mx + b?

A. y = 2x - 13 

B. y = (-1/2)x + 2

C. y = -2x + 11

D. y = -2x + 5

Answer: C

Question 3:

A line S passes through the point (-3,2) and is perpendicular to the line 5x + 2y = 8. Which of the following is an equation of line S in the form y = mx + b?

A. \(\frac25x+\frac{16}{5}\)

B. \(-\frac52x+\frac{11}{2}\)

C. \(-\frac52x-\frac12\)

D. \(\frac52x+\frac{19}{2}\) 

Answer: A

Question 4:

A line Q passes through the point (-1,4) and is perpendicular to the line given by the equation y − 2 = 2/3*(x+5). Which of the following is the equation of line Q in the form y = mx + b?

A. y = 3x/2 +11/2

B. y = -3x/2 + 5/2

C. y = -2x/3 + 10/2

D. y = 2x/3 + 14/3

Answer: B

Question 5:

A line W passes through the point (2, -3) and is parallel to the line x/4 + y/2 = 1. Which of the following is the equation of line W in the form y = mx + b?

A. y = x/2 - 4

B. y = -x/2 + 4

C. y = -x/2 - 2

D. y = -2x + 5

Answer: C

Question 6:

The following table illustrates 3 pairs of values of line m.

A line G is parallel to line m and passes through the point (4, -5). Which of the following is the equation of line G in the form y = mx + b?

A. y = 3x/2 + 1

B. y = -3x/2 + 1

C. y = -3x/2 - 2

D. y = 3x/2 - 5

Answer: B

Question 7:

Line H passes through the point (-2,1) and is parallel to the line y = -3x + 4. What is the product of the slope and y-intercept of line H?

A. -15

B. -5

C. 8

D. 15

Answer: D

Question 8:

A line U passes through the point (-6,2) and is perpendicular to the line  y = 3x/2 - 4. Let b be the y-intercept of line U. What is the value of 2b + 1?

A. -3

B. -5

C. 0

D. 1

Answer: A

Question 9:

A line T passes through the point (2,3) and is perpendicular to the line y = 2x/3 - 5. Let m and b be the slope and y-intercept of line T, respectively. Which of the following statements about line T are true?

I. The slope m of line T is -3/2​.
II. The y-intercept b of line T is 0.
III. The line T passes through the point (0,6).

Which of the following is correct?

A. I and II only

B. I and III only

C. II and III only

D. I, II, and III

Answer: B

Question 10:

A line E passes through the point (4, -2) and is perpendicular to the line 6x - 3y =12. Which of the following points also lies on line E?

A. (7,2)

B. (1,-6)

C. (0,1)

D. (6,-3)

Answer: D

Luyện tập thêm: Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính trong bài thi Digital SAT, giải quyết các dạng bài liên quan đến hàm số tuyến tính và vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Hi vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Tham khảo khóa học SAT tại ZIM Academy để được hướng dẫn chi tiết và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.