Area and volume - Công thức, cách làm và bài tập vận dụng

Trong phần SAT Math, các bài toán liên quan đến Area and volume là một trong những chủ đề quan trọng mà người học cần nắm vững. Những bài toán này không chỉ kiểm tra khả năng áp dụng các công thức hình học cơ bản, mà còn yêu cầu người học có khả năng phân tích và giải quyết các vấn đề phức tạp hơn. Để làm tốt phần này, người học cần hiểu rõ các công thức, cách thức tính toán và các bước giải quyết phù hợp.

Tổng quan về dạng bài Area and volume trong SAT Math

Geometry and Trigonometry là 1 trong 4 lĩnh vực toán học có trong bài thi SAT Math. Dạng toán này chiếm khoảng 5-7 câu trong tổng số 44 câu hỏi [1]. Trong Geometry and Trigonemetry, thí sinh sẽ thường xuyên bắt gặp các câu hỏi về Area and volume (diện tích và thể tích). Trong đề thi, hầu hết các câu hỏi về hình học sẽ xuất hiện ở cuối cùng [2]. 

Các bài toán về Area and Volume (diện tích và thể tích) tập trung vào việc làm việc với các hình dạng hai chiều (hình vuông, hình tròn, …) và ba chiều (hình nón, hình cầu,...). Dạng toán này được thiết kể để đánh giá khả năng tính toán chiều dài các cạnh, diện tích và thể tích của các hình dạng, cũng như khả năng xác định các thay đổi về chiều dài cạnh ảnh hưởng như thế nào đến diện tích và thể tích.

Câu hỏi về hình học có thể xuất hiện theo 2 kiểu là câu hỏi gồm hình minh họa và câu hỏi ở dạng chỉ có chữ.

Chiến lược làm bài dạng bài Area and volume trong SAT Math

Nắm rõ các kiến thức về diện tích và thể tích

Công thức tính diện tích (Area)

Diện tích hình vuông (square):

Trong đó: side là độ dài của một cạch của hình vuông.

Diện tích hình chữ nhật (rectangle):

Trong đó:

• length (l): chiều dài

• width (r): chiều rộng

Diện tích hình tam giác (triangle):

Diện tích hình tròn (circle):

r (radius): bán kính.

Diện tích hình bình hành (parallelogram):

Trong đó:

• a: cạnh đáy

• b: chiều cao

Diện tích hình thoi (rhombus):

Trong đó: d1 và d2 là độ dài 2 đường chéo.

Diện tích hình thang (trapezium/ trapezoid):

Trong đó:

• a và 2 là độ dài 2 cạnh đáy

• h là chiều cao

Diện tích hình lục giác đều (hexagon):

Trong đó: a là cạnh của lục giác đều.

Công thức tính thể tích (Volume)

Thể tích hình lập phương (cube):

Trong đó: a là độ dài một cạnh của hình lập phương.

Thể thích hình hộp chữ nhật (right rectangular prism):

Thể tích hình hình trụ (right rectangular prism):

Trong đó:

• r (radius) là bán kính của hình tròn đáy

• h (height) là chiều cao

Thể tích hình cầu (sphere):

Trong đó: r (radius) là bán kính của hình tròn đáy.

Thể tích hình nón (right cicular cone) 

Trong đó:

• r (radius) là bán kính của hình tròn đáy

• h (height) là chiều cao

Thể tích hình chóp chữ nhật (rectangular pyramid)

Trong đó:

• l (length): chiều dài cạnh đáy

• w (width): chiều rộng cạnh đáy

• h (height): chiều cao

Xem thêm: SAT Math formulas - Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

Thay đổi về chiều dài cạnh ảnh hưởng như thế nào đến diện tích và thể tích

Diện tích và thể tích của các vật thể tăng theo cấp số mũ với độ dài các cạnh (với hình tròn thì là bán kính):

• diện tích theo bình phương của hệ số tỷ lệ

• thể tích theo lập phương của hệ số tỷ lệ.

Như vậy, nếu nhân đôi chiều dài cạnh của một hình vuông, diện tích của nó tăng lên gấp bốn lần (vì diện tích tỷ lệ thuận với lũy thừa bậc hai của chiều dài).

Tương tự, nếu tăng gấp đôi kích thước của một khối lập phương, thể tích của nó sẽ tăng lên gấp tám lần (vì thể tích tỷ lệ thuận với lũy thừa bậc ba của chiều dài). [3]

Ví dụ: Một hình chữ nhật có chiều dài bằng 5 cm, chiều rộng bằng 4 cm. Nếu chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật tăng gấp đôi:

• Diện tích ban đầu của hình chữ nhật: S = l.w= 5.4=20

• Diện tích sau khi tăng chiều dài và chiều rộng lên gấp đôi: S = l.w = 10.8 =80 

→ Diện tích tăng gấp 4 lần.

Các bước làm bài

Bước 1. Xác định đề bài đang hỏi gì.

Đầu tiên, người học cần xác định mình đang cần xử lý hình học nào (hình phẳng hay hình khối) và để bài cần người học tìm kết quả nào của hình. 

Ví dụ: What is the area, in square centimeters, of a rectangle with a length of 34 centimeters (cm) and a width of 29 cm?

Có thể biết được đề bài cần người học xử lý hình chữ nhật (rectangle) và tìm diện tích (area). 

Bước 2. Vẽ hình và điền dữ kiện được cho.

Mặc dù đây là một bước không bắt buộc, tuy nhiên một số câu hỏi buộc người học cần vẽ hình để có hình dung rõ nhất khi đề bài không cho sẵn hình minh họa. Bằng cách này, người học sẽ biết được mình đã có thông tin nào và có thể dùng những thông tin này như thế nào để giải quyết câu hỏi. 

Bước 3. Dùng công thức để tính.

Sau khi vẽ hình và thêm các thông tin đề cho vào hình, người học cần xác định công thức (diện tích, thể tích) cần dùng để giải quyết yêu cầu của đề bài.

Đề bài có thể yêu cầu người học tính diện tích hoặc thể tích dựa trên độ dài các cạnh được cho sẵn. Khi này, người học cần áp dụng thẳng công thức để tính ra kết quả. Ngược lại, người học có thể được yêu cầu tính độ dài của cạnh khi đề bài cho sẵn diện tích hoặc thể tích của hình. Khi này, người học cần rút ra kết quả từ phương trình (tương tự như tìm biến x). 

Ví dụ 1: Tính diện tích dựa trên độ dài cạnh 

A rectangle has a length of 8 cm and a width of 5 cm. Find the area of the rectangle.

Diện tích hình vuông = chiều dài x chiều rộng = 8 x 5 = 40 cm

Ví dụ 2: Tính độ dài cạnh dựa trên thể tích 

A cube has a volume of 64 cm³. Find the side length of the cube.

Thể tích hình khối lập phương: V = (độ dài cạnh)^3

V = x³ = 64  

\[x=\sqrt[3]{64}=4\operatorname{\mathrm{cm}}\] Bước 4: Kiểm tra kết quả.

Người học cần thực hiện bước kiểm tra lại câu trả lời của mình nếu bạn có thời gian. Người học xét xem kết quả có được có thực tế không. Ví dụ người học có kết quả một chiếc hộp có thể tích 15 feet khối đựng vừa chiếc hộp khác cao 20 feet. Kết quả này nghe có vẻ không đúng và phi thực tế nên người học cần kiểm tra lại xem mình có sai ở bước tính toán nào không.

Tham khảo thêm: SAT Math Question - Hình học và lượng giác (góc, tam giác & hình tròn)

Bài tập vận dụng

Bài 1. What is the area, in square centimeters, of a rectangle with a length of 42 centimeters and a width of 25 centimeters?

A. 67
B. 134
C. 268
D. 1050

Bài 2. The perimeter of an equilateral triangle is 540 centimeters. The height of this triangle is \(k\sqrt3\)centimeters, where k is a constant. What is the value of k?
A. 30
B. 45
C. 90
D. 120

Bài 3. A cube has an edge length of 12 inches. What is the volume, in cubic inches, of the cube?

A 144
B. 240
C. 1,728
D. 2,880

Bài 4. A gift box is shaped like a rectangular prism and has a volume of 450 cubic inches. If the gift box has a length of 9 inches and a width of 10 inches, what is the height of the gift box in inches?

A. 5 
B. 6 
C. 7 
D. 8

Bài 5. A pyramid has a square base with a side length of 10 centimeters. The height of the pyramid is 2/3 as long as the side length of its base. What is the volume of the pyramid in cubic centimeters?

A. \(\frac{500}{3}\)
B. \(\frac{1000}{3}\)
C. \(\frac{1000}{9}\)
D. \(\frac{2000}{9}\)

Bài 6. A model of the Earth is in the shape of a sphere. If the model has a radius of 12 centimeters, what is the volume of the model in cubic centimeters?

A. \(1527\pi\)
B. \(2304\pi\)
C. \(2875\pi\)
D. \(3019\pi\)

Bài 7. Two balloons are each in the shape of a sphere. The larger balloon has a diameter of 4y, and the smaller balloon has a diameter of y. What is the ratio of the volume of the larger balloon to the volume of the smaller balloon?

A. 4 to 1
B. 8 to 1
C. 16 to 1
D. 64 to 1

Bài 8. Alex wants to find the volume of his silver bracelet in cubic inches. He uses a rectangular container with a base of 5 inches by 4 inches and fills the container with water up to a height of 6 inches. Alex places his silver bracelet in the container and notices the new water height is 6.75 inches. What is the volume of Alex's bracelet in cubic inches?

Bài 9. A tea infuser in the shape of a right rectangular pyramid is 8.5 centimeters tall, and has a base 4.0 cm long and 2.5 cm wide. To make the best tea, the infuser should be 75 percent filled with tea. What is the volume of tea, in cubic centimeters (cm3), needed to fill the infuser to 75 percent of its capacity? Round to the nearest tenth.

A. 21.3
B. 18.5
C. 24.6
D. 32.1

Bài 10. The volume of the right circular cone T is 6 cubic meters. What is the volume, in cubic meters, of a right circular cone with 3 times the radius and 5 times the height of cone T?

A. 90
B. 54
C. 210
D. 270

Đáp án và giải thích

Bài 1. What is the area, in square centimeters, of a rectangle with a length of 42 centimeters and a width of 25 centimeters?

Diện tích hình vuông: S = length x width = 42 x 25 = 1050 cm2

→ Đáp án đúng là D

Bài 2.

Có chu vi tam giác đều là 540 cm: a x 3 = 540 → Cạnh hình tam giác là a = 180 cm

Diện tích của tam giác đều: \[S=180^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}\]Tam giác đều có thể được phân tách thành 2 tam giác vuông có diện tích bàng nhau. Khi đó, tam giác vuông có cạnh góc vuông thứ nhất (a1) bằng chiều cao (h) của tam giác đều, cạnh góc vuông thứ 2 (a2) bằng ½ cạnh của tam giác đều (a). Diện tích tam giác vuông bằng: \[\frac12\cdot\left(a1\cdot a2\right)\]Từ đó, ta có Diện tích tam giác đều tính theo chiều cao\[S=2\cdot\left(\frac12\cdot\frac{a}{2}\cdot h\right)=2\cdot\frac12\cdot\frac{180}{2}\cdot k\sqrt3=90k\sqrt3\]Suy ra: \[180^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=90k\sqrt3\]\[90^2\cdot2^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=90k\sqrt3\]\[90\sqrt3=k\sqrt3\]\[k=90\]→ Đáp án đúng là C

Bài 3.

Thể tích hình lập phương bằng a³:

\[a^3=12^3=1,728\]→ Đáp án đúng là C

Bài 4.

Thể tích lăng trụ: length x width x height = 9 x 10 x height = 450 

90 x height = 450 → height = 5 inches

→ Đáp án đúng là A

Bài 5.

Chiều cao (height) của hình chóp kim tự tháp: \[\frac23\cdot10=\frac{20}{3}\]Thể tích của kim tự tháp có đáy là hình vuông:

\[\frac13\cdot10^2\cdot\frac{20}{3}=\frac{2000}{9}\]→ Đáp án đúng là D.

Bài 6.

Thể tích của mô hình Trái đất là: \[V=\frac{4\cdot\pi\cdot r^3}{3}=\frac{4\cdot\pi\cdot12^3}{3}=2304\pi\left(cm^3\right)\]→ Đáp án đúng là B.

Bài 7.

Bán kính bong bóng nhỏ: \[r=\frac{y}{2}\]Bán kính bong bóng to: \[r=\frac{4y}{2}=2y\]

Gọi thể tích bong bóng nhỏ là V(s):

\[V\left(s\right)=\frac{4\cdot\pi\cdot\left(\frac{y}{2}_{}\right)^3}{3}=\frac{4\cdot\pi\cdot\frac{y^3}{8}}{3}=\frac{4\cdot\pi\cdot y^3}{24}=\frac{\pi\cdot y^3}{6}\]

Gọi thể tích bong bóng to là V(l):

\[V\left(l\right)=\frac{4\cdot\pi\cdot\left(2y_{}\right)^3}{3}=\frac{4\cdot\pi\cdot8y^3}{3}=\frac{32\cdot\pi\cdot y^3}{3}\]Tỉ lệ bóng bỏng to : bong bóng nhỏ là: \[\frac{32\pi y^3}{3}:\frac{\pi y^3}{6}=\frac{32}{3}:\frac16=\frac{32\cdot6}{3}=64\]Vậy tỉ lệ bóng bóng to : bong bóng nhỏ là: 64:1

→ Đáp án đúng là D.

Bài 8.

Thể tích nước tăng lên so với thể tích nước ban đầu chính là thể tích của chiếc vòng bạc.

Độ cao mực nước tăng lên là: 6.76 - 6 = 0.75 cm

Thể tích tăng lên của nước là: \[V=l.w.h=5\cdot4\cdot0.75=15\left(\operatorname{\mathrm{cm}}^3\right)\]Bài 9.

Thể tích của bình nghâm trà là: \[V=\frac{l\cdot w\cdot h}{3}=\frac{4\cdot2.5\cdot8.5}{3}=\frac{85}{3}\operatorname{\mathrm{cm}}^3\]Thể tích nước trà trong 75% thể tích bình ngâm trà là: \[85\cdot70\%=\frac{85}{3}\cdot\frac{75}{100}=21,25\operatorname{\mathrm{cm}}^3\]Làm tròn đến chữ số thập phân gần nhất: 21,3 cm³

→ Đáp án đúng là A.

Bài 10.

Thể tích ban đầu của hình nón:\[V\left(T1\right)=\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}\]Thể tích của hình nón sau khi tăng bán kính lên 3 lần và tăng chiều cai lên 5 lần:

\[V\left(T2\right)=\frac{\pi\cdot\left(3r\right)^2\cdot5h}{3}=45\cdot\frac{\pi r^2h}{3}\]Có thể thấy thể tích T2 gấp 45 lần thể tích T1.

V(T2) = 45 . 6 = 270 cm³

→ Đáp án đúng là D.

Đọc tiếp: Right triangle trigonometry SAT math - Tỉ số lượng giác tam giác vuông

Tổng kết

Để giúp người học làm tốt dạng bài Area and volume trong SAT Math, bài viết đã cung cấp người học những thông tin về dạng bài, các công thức, bài tập vận dụng. Tác giả hy vọng người học có thể sử dụng kỹ năng tính toán chính xác và xử lý các tình huống phức tạp để nâng cao khả năng giải toán nhanh chóng và hiệu quả.

Ngoài ra, thí sinh có thể đọc thử tựa sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies, được biên soạn bởi đội ngũ chuyên môn tại ZIM, giúp thí sinh giải quyết các dạng toán hiệu quả trong bài thi SAT Math. Với mỗi dạng bài, cuốn sách sẽ cung cấp kiến thức cơ bản, các ví dụ và cách giải mẫu, cuối cùng là bài tập luyện tập kèm đáp án có giải thích chi tiết.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.