Cách làm dạng bài Geometry and Trigonometry trong SAT Math & Bài tập

Tổng quan về dạng bài Geometry and Trigonometry

Phần Geometry and Trigonometry trong SAT tập trung vào việc kiểm tra kiến thức cơ bản về hình học và lượng giác. Kiến thức về Geometry and Trigonometry không chỉ giúp học sinh phát triển khả năng tư duy không gian và giải quyết vấn đề, mà còn là nền tảng quan trọng cho các lĩnh vực như kỹ thuật, kiến trúc, và khoa học máy tính.

Các câu hỏi trong phần này thường xoay quanh việc sử dụng các khái niệm hình học như các tính chất của hình tam giác, hình tròn, đa giác, và các phương pháp tính diện tích, chu vi. Ngoài ra, phần này cũng bao gồm các câu hỏi liên quan đến lượng giác, yêu cầu học sinh phải áp dụng các hàm số lượng giác cơ bản như sin, cos, tan để giải quyết các bài toán liên quan đến góc và độ dài cạnh trong tam giác. Kiến thức về định lý Pythagoras và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông cũng là những chủ đề thường gặp.

Đặc điểm của phần Geometry and Trigonometry

Thời gian làm bài, số lượng câu hỏi

Các câu hỏi thuộc dạng Geometry and Trigonometry trong bài thi SAT chiếm khoảng 15% tổng số câu hỏi trong phần Toán, với số lượng từ 5 đến 7 câu. Trong 70 phút làm bài thi Toán, thí sinh có thể cân nhắc dành khoảng 10 phút cho dạng bài này.

Các dạng câu hỏi trong dạng bài Geometry and Trigonometry

Theo hướng dẫn từ College Board, phần Geometry and Trigonometry đánh giá khả năng giải quyết các vấn đề tập trung vào các nội dung hình học phẳng như sau:

• Area and volume (Công thức tính diện tích và thể tích)

• Congruence, similarity, and angle relationships (Đường thẳng, góc và tam giác)

• Right triangle trigonometry (Tam giác vuông và lượng giác)

• Circle theorems (Các bài toán liên quan đến hình tròn)

Ví dụ một câu hỏi dạng Geometry and Trigonometry:

In the figure shown, ∠AXB and ∠AYB are inscribed in the circle. Which of the are the following statements true?

A) The measure of ∠AXB is greater than the measure of ∠AYB
B) The measure of ∠AXB is less than the measure of ∠AYB
C) The measure of ∠AXB is equal to the measure of ∠AYB
D) There is not enough information to determine the relationship between the measure of ∠AXB and the measure of ∠AYB

Các tiêu chí đánh giá quan trọng

Nhìn vào phương diện thiết kế câu hỏi ở phần Geometry and Trigonometry, những tiêu chí sau có thể được đánh giá khi thí sinh thực hiện bài thi SAT:

• Khả năng phân tích các yếu tố hình học: Khi bài toán yêu cầu phân tích các yếu tố hình học như đường thẳng, góc, và tam giác, thí sinh cần thực hiện phân tích hình vẽ và dữ kiện cẩn thận và chính xác.

• Nắm rõ các khái niệm và kỹ năng cụ thể sau: Công thức tính diện tích và thể tích; tính chất của đường thẳng, góc và tam giác; tam giác vuông và lượng giác; định lý Pythagoras; và các tính chất của hình tròn.

• Khả năng áp dụng công thức: Đối với các bài toán hình học và lượng giác, việc nắm vững và áp dụng chính xác các công thức tính diện tích, thể tích, và tỉ số lượng giác là rất quan trọng.

Đọc thêm: SAT Math Question — Hình học và lượng giác (góc, tam giác & hình tròn)

Cách làm dạng bài Geometry and Trigonometry trong SAT Math

Bước 1: Phân tích đề bài và nhận diện đối tượng hình học

Đầu tiên, đọc kỹ đề bài để xác định đối tượng hình học cần giải quyết (ví dụ: đường thẳng, góc, tam giác, đường tròn, hình đa giác,…).

Xem xét hình vẽ kèm theo đề bài (nếu có) để nhận diện các yếu tố hình học như đoạn thẳng, góc, đường song song, đường vuông góc,… Chú ý đến các chú thích về hình vẽ như “không vẽ theo tỉ lệ” để tránh rút ra kết luận sai.

Bước 2: Áp dụng các định lý và công thức hình học

Sử dụng các định lý và tính chất hình học đã học để thiết lập các mối quan hệ giữa các yếu tố hình học trong bài toán (ví dụ: định lý Pythagoras, tính chất góc của tam giác cân, công thức tính diện tích và chu vi,…).

Nếu đề bài yêu cầu tính toán diện tích, thể tích, hoặc chu vi, hãy áp dụng các công thức tương ứng. Nếu công thức không quen thuộc, kiểm tra xem có được cung cấp trong đề bài hay không.

Bước 3: Giải quyết bài toán bằng cách tính toán cụ thể

Sau khi xác định được công thức hoặc định lý cần sử dụng, tiến hành thực hiện các phép tính cần thiết. Cẩn thận với các bước trung gian như tính toán góc, chiều dài, hoặc sử dụng các tỉ lệ để đảm bảo kết quả chính xác.

Nếu bài toán liên quan đến nhiều bước, hãy giải quyết từng bước một và ghi lại các giá trị trung gian để dễ kiểm tra.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và đối chiếu với đề bài

Sau khi tính toán, kiểm tra lại các bước giải để đảm bảo không có sai sót nào trong quá trình tính toán.

Đối chiếu kết quả với yêu cầu của đề bài để đảm bảo rằng đáp án đúng và phù hợp với hình học của bài toán. Nếu có thời gian, có thể thử lại các bước hoặc kiểm tra lại hình vẽ để xác nhận kết quả.

Đọc thêm: Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

Ví dụ ứng dụng vào câu hỏi thực tế

Câu hỏi 1: Công thức tính diện tích và thể tích

A rectangle has an area of 63 square meters and a length of 9 meters. What is the width, in meters, of the rectangle?

A. 7
B. 54
C. 81
D. 567

Bước 1: Phân tích đề bài và nhận diện đối tượng hình học.

Đối tượng: Hình chữ nhật.

Thông tin đã biết:

• Diện tích hình chữ nhật = 63 m²

• Chiều dài = 9 m

Yêu cầu: Tìm chiều rộng.

Bước 2: Áp dụng các định lý và công thức hình học.

Công thức tính diện tích hình chữ nhật: Diện tích = Chiều dài × Chiều rộng.

Bước 3: Giải quyết bài toán bằng cách tính toán cụ thể.

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

63 m² = 9 m × Chiều rộng.

Tìm chiều rộng:

Chiều rộng = 63 m² / 9 m = 7 m.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và đối chiếu với đề bài.

Ta có: Diện tích = 9 m × 7 m = 63 m² (đúng với đề bài).

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 7 mét. Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi 2: Đường thẳng, góc và tam giác

In the figure above, two sides of a triangle are extended. What is the value of 𝑥?

A. 110
B. 120
C. 130
D. 140

Bước 1: Phân tích đề bài và nhận diện đối tượng hình học.

Đề bài yêu cầu tính giá trị của góc 𝑥°  khi hai cạnh của tam giác được kéo dài. Ta cần chú ý đến tam giác có các góc 70° và 50°, và góc 𝑥° bên ngoài tam giác này.

Bước 2: Áp dụng các định lý và công thức hình học.

Ta sử dụng định lý về tổng ba góc trong một tam giác, đó là 180°, để tính góc còn lại trong tam giác. Sau đó, áp dụng định lý về góc ngoài của tam giác, theo đó góc ngoài bằng tổng hai góc đối trong của tam giác.

Bước 3: Giải quyết bài toán bằng cách tính toán cụ thể.

Tính góc còn lại trong tam giác:

180° − 70° − 50° = 60°

Tính giá trị của góc 𝑥°:

𝑥° = 180° − 60° = 120°

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và đối chiếu với đề bài.

Kiểm tra lại các phép tính và đối chiếu với hình vẽ. Đáp án đúng là 120°, phù hợp với các định lý hình học đã áp dụng. Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi 3: Tính toán liên quan đến hình tròn

In the xy-plane the graph of \(2x^2 - 6x + 2y^2 + 2y = 45\) is a circle. What is the radius of the circle?

A. 5
B. 6.5
C. √40
D. √50

Bước 1: Phân tích đề bài và nhận diện đối tượng hình học.

Đề bài yêu cầu tìm bán kính của đường tròn từ phương trình đã cho trong mặt phẳng tọa độ 𝑥𝑦. Ta cần nhận diện rằng \(2x^2 - 6x + 2y^2 + 2y = 45\) là phương trình của một đường tròn.

Bước 2: Áp dụng các định lý và công thức hình học.

Ta cần sử dụng phương trình chuẩn của đường tròn: \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) với (h, k) là tâm và 𝑟 là bán kính của đường tròn.

Để tìm bán kính, ta cần đưa phương trình đã cho về dạng chuẩn của phương trình đường tròn. Cụ thể, ta cần hoàn thành bình phương các nhóm biến x và y trong phương trình ban đầu để đưa về dạng chuẩn.

Bước 3: Giải quyết bài toán bằng cách tính toán cụ thể.

Bắt đầu bằng cách chia toàn bộ phương trình ban đầu cho 2 để đưa các hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) về 1:

\(x^2 + 3x - y^2 + y = 22.5\)

Hoàn thành bình phương cho các nhóm x và y:

\((x^2 - 3x + 2.25) + (y^2 + y + 0.25) = 25\)

Phương trình sẽ trở thành:

\((x-1.5)^2 + (y+0.5)^2 = 5^2\)

Từ đó, suy ra bán kính của đường tròn là 𝑟 = 5.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và đối chiếu với đề bài

Kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo rằng quá trình hoàn thành bình phương và đưa về dạng chuẩn không có sai sót. Kết quả cho thấy bán kính của đường tròn là 5, phù hợp với đáp án A.

Luyện tập

Câu hỏi luyện tập 1:

A rectangle has a length of 13 and a width of 6. What is the perimeter of the rectangle?

A. 12
B. 26
C. 38
D. 52

Câu hỏi luyện tập 2:

In the figure, three lines intersect at point P. If x = 65 and y = 75, what is the value of z?

A. 140
B. 80
C. 40
D. 20

Câu hỏi luyện tập 3:

The circle above with center O has a circumference of 36. What is the length of minor arc AC?

A. 9
B. 12
C. 18
D. 36

Đáp án:

Câu hỏi 1: C

Câu hỏi 2: C

Câu hỏi 3: A

Đọc thêm: Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề

Tổng kết

Bài viết trên đã giới thiệu tổng quát về dạng bài Geometry and Trigonometry trong SAT Math, đồng thời trình bày những đặc điểm quan trọng và các bước chiến lược để làm bài hiệu quả. Tài liệu này hy vọng sẽ giúp thí sinh ôn luyện một cách hiệu quả và cải thiện điểm số trong phần thi này.

Ngoài ra, để giúp thí sinh giải quyết các dạng toán hiệu quả trong bài thi SAT Math, đội ngũ chuyên môn tại ZIM đã biên soạn tựa sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies. Với mỗi dạng bài, cuốn sách sẽ cung cấp kiến thức cơ bản, các ví dụ và cách giải mẫu, cuối cùng là bài tập luyện tập kèm đáp án có giải thích chi tiết. Đọc thử tại đây.