Hệ phương trình trong bài toán thực tế SAT | Cách giải và bài tập

Mở đầu

Kì thi SAT đang đần trở nên phổ biến vì là một trong những yêu cầu quan trọng nhất của một số trường đối với hồ sơ du học, đặc biệt là du học Mỹ. Không đánh giá khả năng sử dụng tiếng Anh ở 4 kỹ năng như những kỳ thi khác như IELTS, TOEIC, PTE,…, kỳ thi SAT có phần thi Math và đây cũng là phần thi đầy thử thách đối với một số người học. Để cung cấp kiến thức và hỗ trợ người học sâu hơn, bài viết dưới đây sẽ giới thiệu một dạng bài trong SAT Math là hệ phương trình trong bài toán thực tế (System of linear equations in context) cùng với cách làm bài, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.

Tổng quan về dạng bài Hệ phương trình trong ngữ cảnh thực tế

Dạng bài Hệ phương trình trong ngữ cảnh thực tế thuộc dạng bài lớn là Đại số (Algebra). Các câu hỏi thuộc dạng bài này có thể ở dạng câu hỏi trắc nghiệm 4 phương án (multiple-choice question) hoặc học sinh tự đưa ra câu trả lời (student-produced response). Dạng bài này cũng có thể nằm trong phần thi có thể sử dụng máy tính (Calculator portion) hoặc không được sử dụng máy tính (No-calculator portion) [1]. 

Dạng bài tập hệ phương trình trong ngữ cảnh trong đề thi SAT Math thường đòi hỏi khả năng diễn giải thông tin từ một tình huống thực tế và thiết lập hệ phương trình từ đó và yêu cầu người học sử dụng các hệ phương trình để giải quyết các bài toán thực tế. 

Đặc điểm của dạng bài tập:

• Đề bài sẽ cho một ngữ cảnh thực tế: Câu hỏi thường liên quan đến các tình huống thực tế như mua bán, vận tốc, công việc, hoặc các vấn đề hàng ngày khác.

Ngoài ra phần còn lại trong đề bài có thể là yêu cầu:

• Thiết lập hệ phương trình: Dựa trên thông tin từ đề bài, người học sẽ cần thiết lập nhiều hơn một phương trình biểu diễn các mối quan hệ giữa các đại lượng. 

• Giải hệ phương trình: Sau khi thiết lập hệ phương trình, bạn sẽ cần giải để tìm các giá trị của các biến. Ví dụ, một câu hỏi có thể yêu cầu tính số lượng sản phẩm bán ra hoặc xác định chi phí dựa trên một số điều kiện.

Đề bài minh họa:

Chiến lược làm dạng bài hệ phương trình trong bài toán thực tế

Bước 1: Xác định những yếu tố cần tìm trong bài toán và gán biến số để đại diện cho các yếu tố đó.

Trong bài toán thực tế, cần gán các đại lượng cần tìm như số lượng sản phẩm, thời gian, chi phí, khoảng cách, …, hoặc những con số khác mà bài toán yêu cầu xác định thành các biến. Điều này giúp người học dễ dàng xử lý với các biến số và tránh nhầm lẫn.

Ví dụ:

Nếu bài toán yêu cầu xác định số lượng hai loại sản phẩm A và B mà một công ty sản xuất, bạn có thể đặt:

𝑥 là số lượng sản phẩm loại A

𝑦 là số lượng sản phẩm loại B

Bước 2: Viết các phương trình, biểu thức hoặc hàm số thể hiện các mối quan hệ được mô tả trong câu hỏi

Người học cần chú ý đến các dữ kiện đề cho là các cụm từ mô tả sự liên kết giữa các yếu tố, chẳng hạn như "nhiều hơn", "ít hơn", "tổng cộng", "gấp đôi", v.v. Đây là những thông tin sẽ giúp người học lập nên các phương trình hoặc biểu thức đúng.

Ví dụ:
Giả sử bài toán cho biết tổng số giờ làm việc của hai người là 50 giờ và một người làm việc nhiều hơn người kia 10 giờ. Người học có thể viết phương trình như sau:

• x + y = 50 (tổng số giờ làm việc)

• x = y +10 (người thứ nhất làm nhiều hơn người thứ hai 10 giờ)

Bước 3: Giải phương trình và diễn giải lời giải theo những gì câu hỏi yêu cầu 

Sau khi thiết lập hệ phương trình, người có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải. Sau khi tìm được giá trị của các biến, hãy đảm bảo bạn kiểm tra lại kết quả với bài toán ban đầu và đảm bảo rằng các kết quả đó có ý nghĩa thực tế.

Ví dụ:

Sau khi giải hệ phương trình ở bước 2, bạn tìm được x = 30, y=20. Người học có thể diễn giải rằng: Người thứ nhất làm 30 giờ và người thứ hai làm 20 giờ.

Lưu ý:

• Ở bước này, người học cần linh hoạt chọn phương pháp giải hiệu quả để tiết kiệm thời gian, đặc biệt trong các bài toán yêu cầu tính toán thủ công.

• Luôn kiểm tra lại xem kết quả của bạn có phù hợp với các mối quan hệ ban đầu và ngữ cảnh bài toán hay không.

Tham khảo thêm:

• Phương pháp giải các dạng bài trong SAT Math (P1)

• SAT là gì? Luyện thi SAT – Những điều cơ bản thí sinh cần biết

Các cách giải hệ phương trình

Phương pháp thế

Phương pháp thế là một trong những phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình hai ẩn. Ý tưởng chính của phương pháp này là người học biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại từ một phương trình, rồi thay biểu thức đó vào phương trình còn lại để đưa về phương trình một ẩn.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Chọn phương trình và biểu diễn một ẩn

Từ một trong hai phương trình của hệ, người học biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại. Việc chọn phương trình và ẩn nào để biểu diễn thường dựa vào việc tính toán cho đơn giản.

Ví dụ: Xét hệ phương trình x + y = 5 và 2x - y = 1

Từ phương trình x + y = 5, người học có thể biểu diễn x = 5 - y.

Bước 2: Thế biểu thức vào phương trình còn lại

Lấy biểu thức vừa tìm được ở bước 1, thay vào phương trình còn lại của hệ phương trình.

thay x = 5 - y vào phương trình 2x - y = 1, người học phương trình mới: 2 (5 - y) - y = 1.

Bước 3: Giải phương trình một ẩn

Giải phương trình một ẩn vừa thu được ở bước 2.

2 (5 - y) - y = 1 

→ 10 - 2y - y = 1

→ -3y = -9 

→ y = 3 

Bước 4: Tìm giá trị của ẩn còn lại

Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào biểu thức ở bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại.

x + y = 5 → x + 3 = 5 → x = 2 

Phương pháp cộng đại số

Phương pháp cộng đại số là một trong những phương pháp phổ biến để giải hệ phương trình hai ẩn. Ý tưởng chính của phương pháp này là biến đổi các phương trình để khi cộng hoặc trừ từng vế của chúng, một ẩn sẽ bị triệt tiêu, từ đó dễ dàng tìm được giá trị của ẩn còn lại.

Các bước thực hiện

Bước 1: Nhân (nếu cần)

Nhân cả hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.

Xét hệ phương trình:

2x + y = 6 

4x + 3y = 14 

Nhận thấy các hệ số của x trong hai phương trình là 2 và 4 nên người học có thể nhân 2 ở phương trình thứ nhất để cùng hệ số 4 trong phương trình thứ 2. 

2x + y = 6 

→ 4x + 2y = 12 

Bước 2: Cộng/ trừ từng vế hai phương trình
Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình đã biến đổi ở bước 1 để loại bỏ một ẩn. Người học sẽ thu được một phương trình mới chỉ còn một ẩn.

(4x + 2y) - (4x + 3y) = 12 - 14

→ - y = - 2

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ở bước 2. 

y = 2

Bước 4: Tìm giá trị của ẩn còn lại

Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của ẩn còn lại.

Thay y = 2 vào phương trình đầu tiên: 2x + 2 = 6 => y = 2

Bài tập vận dụng

Bài 1

A professor is designing a quiz worth 100 points. The quiz will include questions worth 2 points and questions worth 5 points. Which equation represents this situation, where x represents the number of 2-point questions and y represents the number of 5-point questions?

A. 2xy = 100

B. 2(x + y) = 100

C. 5x + 2y = 100

D. 2x + 5y = 100

Bài 2

At a café, each sandwich has 30 more calories than each drink. If 3 sandwiches and 4 drinks together have a total of 2200 calories, approximately how many calories are in a sandwich?

A. 331

B. 297

C. 285

D. 346

Bài 3

Kate and Liz both bought books at a bookstore. Kate bought a novel for $15 and a reference book. Liz bought the same reference book as Linh and a workbook for $20. The total amount they spent was $70. What was the price of the reference book?

Bài 4

Emma and Noah are planning to buy some tickets for a concert. Emma buys 3 tickets for adults and 2 tickets for children, paying a total of $120. Noah buys 1 ticket for adults and 4 tickets for children, paying a total of $80. What is the price of one adult ticket and one child ticket?

A. adult ticket: $30, children ticket: 12.5

B. adult ticket: $32, children ticket: $12 

C. adult ticket: $30, children ticker: $12

D. adult ticket: $32, children ticker: $12.5

Bài 5

Linda is analyzing the number of faulty devices from Group X and Group Y in a tech company. She tested a total of 120 devices from both groups. 25% of the devices from Group X and 60% of the devices from Group Y were faulty, for a total of 48 faulty devices. Solving which of the following systems of equations yields the number of devices tested from Group X and Group Y?

A. x + y = 120

0.25x + 0.6y = 48 

B. x + y = 48 

0.25x + 0.6y = 120

C. x + y = 120

0.6x + 0.25y = 48 

D. x + y = 48 

0.6x + 0.25y = 120

Bài 6

An electronics store sells two types of headphones: wired and wireless. Wired headphones cost $25 each, and wireless headphones cost $50 each. On a particular day, the store sold a total of 40 headphones, with total revenue amounting to $1,500. How many wired and how many wireless headphones were sold?

A. 22 wired headphones, 18 wireless headphones. 

B. 15 wired headphones, 25 wireless headphones.

C. 20 wired headphones, 20 wireless headphones.

D. 30 wired headphones, 10 wireless headphones. 

Bài 7

During a trip, a group of friends spent a total of $320 on two types of expenses: entrance tickets to an amusement park and meal tickets. The entrance tickets cost $40 per person, and the meal tickets cost $20 per person. If a total of 10 meal tickets were purchased, how many entrance tickets were bought?

Bài 8

Maria and Alex are both saving money to buy a new bicycle. Maria saves $5 per week, and Alex saves $8 per week. After a certain number of weeks, the combined amount of money they have saved is $156. If Maria has saved $18 less than Alex, how many weeks has Alex saved money?

A. 9

B. 11

C. 13

D. 14

Bài 9

Two friends, Ann and Ben, run a fruit juice stand. Each day, Ann sells 10 more cups of juice than Ben. The number of cups sold per day is fixed. After one week (7 days), they sold a total of 210 cups. How many cups did each of them sell over the week?

A. Ann sold 70 cups, Ben sold 140 cups

B. Ann sold 140 cups, Ben sold 70 cups

C. Ann sold 60 cups, Ben sold 150 cups

D. Ann sold 150 cups, Ben sold 60 cups

Bài 10

A company produces two types of electric scooters: Model A and Model B. Each Model A scooter requires 4 hours of assembly and 2 hours of quality testing. Each Model B scooter requires 3 hours of assembly and 3 hours of quality testing. The company has 60 hours available for assembly and 36 hours available for quality testing in one week. What is the total number of scooters of both models that the company can produce?

A. 10

B. 12

C. 14

D. 16

Đáp án và giải thích

Bài 1.

Bài tập này chỉ yêu cầu người học thành lập phương trình dựa trên dữ kiện trong đề (không yêu cầu giải phương trình). 

Đề bài gắn số câu hỏi trị giá 2 điểm là x, số câu hỏi trị giá 5 điểm là y. Tổng số điểm của các câu hỏi là 100. 

Người học có được phương trình: 2x + 5y = 100

→ Đáp án đúng là D.

Bài 2.

Gọi số calo trong 1 chiếc sandwich là S, số calo trong 1 món nước là D. 

Có hệ phương trình: 

• D = S - 30 (each sandwich has 30 more calories than each drink)

• 3S + 4D = 2200 (3 sandwiches and 4 drinks together have a total of 2200 calories)

Áp dụng phương pháp thế: 

Thế D = S - 30 vào phương trình thứ 2, có: 3S + 4 (S - 30) = 2200 

→ 3S + 4S - 120 = 2200

→ 7S = 2320

→ S = 331,43. Vì vậy, số calo trong 1 chiếc sandwich là khoảng 331 calo.

→ Đáp án đúng là A.

Bài 3.

Gọi số tiền của sách tham khảo (reference book) là R

Số tiền sách Kate mua là: 15 + R

Số tiền sách Liz mua là: 20 + R

Tổng số tiền Kate và Liz mua là: 70

Có phương trình: 15 + R + 20 + R = 70 

35 + 2R = 70 

→ 2R = 70 - 35 = 35

→ R = 35: 2 = 17.5 

Vậy số tiền của một cuốn sách tham khảo là $17.50 

Bài 4.

Gọi số tiền cho một vé người lớn (adult ticket) là A, số tiền cho một vé trẻ em (children ticket) là C. 

Có hệ phương trình: 

• 3A + 2C = 120 (Emma buys 3 tickets for adults and 2 tickets for children, paying a total of $120)

• A + 4C = 80 (Noah buys 1 ticket for adults and 4 tickets for children, paying a total of $80)

Áp dụng phương pháp cộng đại số: 

Nhân phương trình thứ nhất với hệ số 2 (để triệt tiêu 4C) trong phương trình 2.

2 (3A + 2C) = 240 

→ 6A + 4C = 240 

Lấy phương trình vừa có trừ phương trình 2: 

(6A + 4C) - (A + 4C) = 240 - 80 

→ 5A = 160 

→ A = 32

Thế A = 32 vào phương trình thứ 2, có: 32 + 4C = 80 

→ 4C = 48 → C = 12 

Vậy số tiền cho 1 vé người lớn là 32, số tiền cho một vé trẻ em là 12. 

→ Đáp án đúng là B.

Bài 5.

Gọi số thiết bị bị lỗi từ nhóm X là x, số thiết bị lỗi từ nhóm Y là y. 

Có hệ phương trình:

• x + y = 120 (She tested a total of 120 devices from both groups.)

• 0.25x + 0.6y = 48 (25% of the devices from Group X and 60% of the devices from Group Y were faulty, for a total of 48 faulty devices).

→ Đáp án đúng là A.

Bài 6.

Gọi số lượng tai nghe có dây (wired headphones) là x, số lượng tai nghe không dây (wireless headphones) là y. 

Có hệ phương trình: 

• x + y = 40 (the store sold a total of 40 headphones)

• 25x + 50y = 1500 (Wired headphones cost $25 each, and wireless headphones cost $50 each, total revenue amounting to $1,500)

Áp dụng phương pháp thế: 

x + y = 40 → x = 40 - y

Thế x = 40 - y vào phương trình 2: 25 (40 - y) + 50y = 1500

→ 1000 - 25y + 50y = 1500 

→ 25y = 500 

→ y = 20 

Thế y = 20 vào phương trình 1: x + 20 = 40 → x = 20

Vậy số tai nghe có dây là 20, số tai nghe không dây là 20. 

→ Đáp án đúng là C.

Bài 7.

Gọi số vé vào cổng (entrance ticket) là E, số vé bữa ăn (meal ticket) là M. 

Có phương trình: 40E + 20M = 320 

Thế M = 10 (If a total of 10 meal tickets were purchased) vào phương trình: 40E + 20x10 = 320

→ 40E + 200 = 320

→ 40E = 120

→ E = 3

Vậy số vé vào cổng là 3. 

Bài 8.

Gọi số tuần là x, số tiền Maria tiết kiệm là M, số tiền Alex tiết kiệm là A.

Có:

• M = 5x (Maria saves $5 per week)

• A = 8x (Alex saves $8 per week) 

• M + A = 156 (The combined amount of money they have saved is $156)

• M = A - 18 (Maria has saved $18 less than Alex)

Áp dụng phương pháp thế: 

Thế M = A - 18 vào phương trình thứ 1 có: A - 18 + A = 156 

→ 2A = 117 → A = 87 

Thế A = 87 vào phương trình A = 8x: 

87 = 8x → x = 10,875

Vậy số tuần Alex tiết kiệm tiền là 11 tuần.

→ Đáp án đúng là B.

Bài 9.

Gọi số cốc Ann bán được mỗi ngày là A, số cốc Ben bán được mỗi ngày là B. 

Có hệ phương trình: 

• A = 10 + B (Ann sells 10 more cups of juice than Ben)

• 7A + 7B = 210 (After one week (7 days), they sold a total of 210 cups)

Áp dụng phương pháp thế:

Thế A = 10 + B vào phương trình thứ 2: 7(10+ B) + 7B = 210

70 + 7B + 7B = 210 

14B = 140

B = 10 

Thế B = 10 vào phương trình thứ nhất: A = 10 + 10 = 20

Vậy, số cốc Ann bán ra sau một tuần là: 20.7= 140

số cốc Ann bán ra sau một tuần là: 10.7 = 70

→ Đáp án đúng là B.

Bài 10.

Gọi số model A có thể sản xuất là A, số model B có thể sản xuất là B. 

Có hệ phương trình: 

• 4A + 3B = 60 (Model A scooter requires 4 hours of assembly, Model B scooter requires 3 hours of assembly)

• 2A + 3B = 36 (Model A requires 2 hours of quality testing, Model B requires 3 hours of quality testing)

Áp dụng phương pháp cộng đại số:

Lấy phương trình 1 trừ phương trình 2 (để triệt tiêu 3B)

(4A + 3B) - (2A + 3B) = 24 → 2A = 24 → A = 12

Thế A = 12 vào phương trình 1: 4.12 + 3B = 60 → 48 + 3B = 60 → 3B = 12 → B = 4

 Vậy tổng số xe ở cả 2 model mà công ty có thể sản xuất là 12 + 4 = 16 

→ Đáp án đúng là D.

Tổng kết

Vì dạng bài hệ phương trình trong bài toán thực tế thường xuất hiện trong đề SAT Math, người học cần xử lý dạng bài này một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bài viết trên đã giới thiệu đến người học những điều cần biết về dạng bài, phương pháp giải và cung cấp bài tập luyện tập. Tác giả hy vọng, bài viết trên hữu ích cho người học có dự định tham gia kỳ thi SAT có thể tối đa hóa điểm số ở dạng bài hệ phương trình trong bài toán thực tế, từ đó đạt điểm số mong muốn.