Circle theorems trong SAT® Math - Chiến lược làm bài và bài tập

Bài viết giới thiệu các thí sinh về dạng bài Circle theorems trong phần SAT Math Geometry và Trigonometry, từ đó cung cấp cho thí sinh các kiến thức và kí năng phù hợp để giải quyết dạng bài này một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Tổng quan về dạng bài Circle theorems

Circle theorems là một dạng bài nằm trong phần Geometry and Trigonometry, một phần thi chiếm đến 15% tổng số điểm trong module SAT Math. Dạng bài này bao gồm các bài tập yêu cầu vận dụng các định lý hình học về đường tròn để giải quyết các vấn đề về góc, đoạn thẳng, và mối quan hệ giữa các yếu tố trong đường tròn.

Để làm tốt dạng bài này, thí sinh cần nắm rõ những nội dung kiến thức về các yếu tố trong đường tròn, các định lý quan trọng diễn tả các yếu tố trong đường tròn và các công thức tính toán các yếu tố trong đường tròn.

Các yếu tố trong đường tròn

• Center (tâm): Điểm là tâm của đường tròn.

• Radius (bán kính): Đoạn thẳng nối tâm với một điểm bất kỳ trên đường tròn.

• Diameter (đường kính): Đoạn thẳng đi qua tâm và có độ dài gấp đôi bán kính.

• Chord (dây cung): Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn.

• Arc (cung): Một phần của đường tròn, được xác định bởi hai điểm trên đó.

• Tangent (tiếp tuyến): Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.

• Secant (cát tuyến): Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.

Các định lý quan trọng

Inscribed Angle Theorem (Định lý góc nội tiếp)

Định nghĩa: Góc nội tiếp trong một hình tròn có số đo bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.

Ví dụ: Góc ở tâm là góc AOB chắn cung AB có số đo là 120° thì góc nội tiếp ACB cũng chắn cung AB có số đo bằng một nửa góc AOB và bằng 60°.

Định nghĩa các khái niệm:

• Góc nội tiếp: Là góc được tạo bởi hai dây cung giao nhau tại một điểm trên đường tròn.

• Góc tại tâm: Là góc được tạo bởi hai bán kính giao nhau tại tâm đường tròn.

• Cung bị chắn: Một cung được xem là "bị chắn" bởi góc nếu nó nằm giữa hai đường thẳng tạo nên góc.

Ứng dụng:

• Nếu góc nội tiếp và góc tại tâm cùng chắn một cung thì góc tại tâm sẽ có số đo gấp đôi góc nội tiếp.

• Tất cả góc nội tiếp mà cùng chắn một cung thì đều có số đo góc bằng nhau.

Tangent and Radius Theorem (Định lý tiếp tuyến và bán kính)

Định nghĩa: Đường tiếp tuyến luôn luôn vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc giữa hai đường.

Định nghĩa các khái niệm:

• Tiếp tuyến: Là một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.

• Bán kính tại điểm tiếp xúc: Là đoạn thẳng nối tâm đường tròn đến điểm tiếp xúc với tiếp tuyến.

Ứng dụng: Được dùng để tìm độ dài các đoạn tiếp tuyến hoặc chứng minh quan hệ vuông góc.

Angle in a Semicircle (Góc trong nửa đường tròn)

Ví dụ: Đường tròn tâm O có AB là đường kính. Mọi góc CAB có C là một điểm thuộc đường tròn sẽ luôn có số đo bằng 90°.

Định nghĩa: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn bằng 90°

Định nghĩa các khái niệm:

• Nửa đường tròn: Là cung lớn của đường tròn bị chắn bởi đường kính, chia đường tròn thành hai cung tròn có độ dài bằng nhau và bằng một nửa chu vi đường tròn.

• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn: Là góc nội tiếp có hai cạnh đi qua hai đầu mút của đường kính đường tròn đó.

Ứng dụng: Dùng để xác định tam giác vuông hoặc tính toán các góc khác trong hình tròn.

Equal Lengths of Tangents (Định lý tiếp tuyến bằng nhau)

Cho một điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ điểm P, kẻ hai đường tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại hai điển lần lượt là A và B. AP sẽ luôn có độ dài bằng với BP.

Định nghĩa: Hai đoạn thẳng từ một điểm bên ngoài đường tròn đến hai điểm tiếp xúc của đường tròn có độ dài bằng nhau.

Định nghĩa các khái niệm:

• Điểm bên ngoài đường tròn: Là điểm không nằm trên đường tròn hoặc bên trong nó.

• Tiếp tuyến từ điểm đó: Là hai đường tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn.

Ứng dụng: Dùng để tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh tính đối xứng trong đường tròn.

Các công thức thường gặp trong dạng Circle Theorems

Công thức tính chu vi: 2πr

Công thức tính diện tích: π x r²

Công thức tính độ dài một cung tròn: \[l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r\]

Các dạng bài thường gặp trong dạng Circle theorems

• Dạng bài tính góc:
  Đề bài cho một số dữ liệu như độ dài cung, góc tại tâm, v.v và thí sinh phải dựa vào đó để tính góc nội tiếp hoặc góc tại tâm dựa trên các thông số đã được cho.

• Dạng bài tính độ dài đoạn thẳng:
  Từ các thông số như số đo góc, độ dài đường hoặc chu vi của hình tròn, thí sinh tìm độ dài dây cung, bán kính, hoặc đoạn tiếp tuyến.

• Dạng bài tính toán liên quan đến diện tích, chu vi:
  Từ các thông số như số đo góc hay độ dài đoạn thẳng, thí sinh vận dụng các thông số đó để tính toán diện tích, chu vi của hình tròn.

Xem thêm: Right triangle trigonometry SAT math - Tỉ số lượng giác tam giác vuông

Chiến lược làm bài dạng bài Circle theorems trong SAT Math

Bước đầu khi thí sinh tiếp cận dạng bài Circle Theorems cũng như các dạng bài toán khác trong SAT Math đó là bước đọc và phân tích đề bài để từ đó xác định các thông tin quan trọng như độ dài bán kính, các góc trong hình tròn như góc nội tiếp, ngoại tiếp, các đường như đường kính, bán kính, dây cung, cát tuyến và đồng thời xem xét tổng thể hình minh họa. Nếu đề bài không bao gồm hình minh họa, thí sinh nên vẽ sơ đồ đơn giản dựa trên thông tin đề bài để dễ dàng xác định tâm đường tròn, các điểm giao nhau, và mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình tròn.

Sau khi xác định được các thông tin quan trọng trong đề bài, thí sinh cần thực hiện bước tiếp theo đó là sử dụng các mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình tròn và áp dụng các định lý hình tròn để từ đó giải quyết được yêu cầu của đề bài. Ngoài ra với các dạng bài tập yêu cầu tính toán thì thí sinh cần linh hoạt sử dụng máy tính được tích hợp trong bài thi để có thể giải quyết bài toán một cách nhanh nhất.

Chiến thuật xử lý nhanh:

1. Làm quen với các biểu thức và hình dạng đặc biệt:

   • Luôn nhớ rằng: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn = 90°.

   • Nếu hai góc trong một tứ giác nội tiếp đối diện nhau, chúng có tổng 180°.

2. Đơn giản hóa bài toán:

   • Tập trung vào các mối quan hệ trực tiếp. Đừng bị rối nếu bài toán có cung cấp quá nhiều yếu tố, vì SAT thường chỉ yêu cầu áp dụng đúng một định lý, thí sinh chỉ cần xác định đúng định lý đó và làm bài mà không cần quan tâm quá nhiều đến các định lý khác.

3. Tận dụng đáp án:

   • Trong SAT, thí sinh thường được cung cấp sẵn đáp án, và trong tình huống thí sinh không chắc chắn về đáp án của mình thì luôn có thể thay các giá trị từ đáp án vào công thức để kiểm tra kết quả.

4. Luyện tập thường xuyên:

   • Thí sinh nên thường xuyên luyện tập và làm quen với các dạng câu hỏi phổ biến và luyện các cách áp dụng định lý đường tròn vào làm bài để có thể sử dụng kiến thức một cách nhuần nhuyễn nhất, cũng như có thể học được cách quản lí thời gian khi làm bài. Thí sinh có thể tham khảo các nguồn câu hỏi SAT uy tín qua SAT Suite Question Bank, Khan Academy hoặc qua các đề thi thử ở trong Bluebook.

Một số lưu ý

Thí sinh không cần phải học thuộc các công thức tính diện tích hay tính chu vi hình tròn vì các công thức này đã nằm trong phần reference mà các thí sinh có thể tra cứu được trong quá trình thi. Tuy nhiên thí sinh vẫn nên ghi nhớ các công thức này vì chúng cũng khá đơn giản và không quá phức tạp, hơn nữa còn để tránh mất thời gian tra cứu trong khi làm bài.

Các đơn vị về góc được dùng trong bài thi SAT đều là ở đơn vị độ góc (degrees) chứ không phải đơn vị rad (radians), vì vậy thí sinh nên lưu ý chỉnh chế độ ở máy tính của mình về đơn vị góc để tránh dẫn đến những sai sót không đáng có khi tính toán. Để chỉnh từ đơn vị góc sang đơn vị radian với máy tính Casio 580fx, thí sinh nhấn nút Shift + Menu/Set up + 2: Đơn vị góc + 1: Độ.

Bài tập ứng dụng

Bài tập 1:

In the circle below with center O, the length of arc ABC is 4π, and the central angle AOC =120°. What is the length of arc ADC?

Cách trả lời:

Trước hết ta thấy hình tròn tâm O có góc tại tâm AOC có số đo 120, mà góc AOC có cung bị chắn là cung ABC có độ dài 4π.

Vậy ta có \[4\pi=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi r\]=> r = 6

=> Chu vi hình tròn = 2.π .6 = 12π

Vậy độ dài cung ADC = Chu vi hình tròn - độ dài cung ABC = 12π - 4π = 8π.

Bài tập 2:

A is the center of the circle above, and the measure of angle ACB is 40 degrees. If the length of AD = 9 , what is the length of arc BC?

Câu trả lời:

Chu vi đường tròn tâm A bán kính bằng 9 là = 2.9.π= 18π.
Tam giác ACB là tam giác cân tại tâm A do AC và AB bằng nhau do chúng đều là bán kính của đường tròn tâm A.

Từ định lý tổng ba góc trong tam giác bằng 180°, ta tính được số đo góc CAB là 180° - 40° - 40° = 100°.

Mà góc CAB là góc ở tâm chắn cung BC, vậy nên ta có thể tính được độ dài của cung BC theo công thức:

Độ dài cung BC = \[\frac{100^\circ}{360^\circ}.18\pi=5\pi\]

Đọc tiếp: Congruence, similarity, and angle relationships - Cách làm và bài tập

Tổng kết

Qua bài viết, tác giả đã giới thiệu cho các thí sinh biết về dạng bài Circle theorems, những kiến thức cần biết về dạng bài này, một số các định lý quan trọng, các công thức cần phải ghi nhớ, chiến lược làm bài và cuối cùng là bài tập minh họa đi kèm đáp án. Tác giả hi vọng qua bài viết này, thí sinh có thể nắm chắc các kiến thức về dạng bài Circle theorems và từ đó đạt được điểm số mong ước trong kì thi SAT Math.

Ngoài ra, thí sinh có thể đọc thử tựa sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies, được biên soạn bởi đội ngũ chuyên môn tại ZIM, giúp thí sinh giải quyết các dạng toán hiệu quả trong bài thi SAT Math. Với mỗi dạng bài, cuốn sách sẽ cung cấp kiến thức cơ bản, các ví dụ và cách giải mẫu, cuối cùng là bài tập luyện tập kèm đáp án có giải thích chi tiết.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.