Cung tròn | Dây cung và công thức tính độ dài cung tròn

Trong Hình học Toán 9, cung tròn là phần của đường tròn nằm giữa hai điểm cố định trên đường tròn. Khi tìm hiểu cung đường tròn, học sinh cần nắm được khái niệm cung tròn là gì, cách xác định cung nhỏ, cung lớn, số đo cung, độ dài cung tròn và mối quan hệ giữa cung với dây cung trong đường tròn.

Nội dung về cung tròn thuộc chủ đề Đường tròn, là cơ sở để giải các bài toán liên quan đến góc ở tâm, dây cung đường tròn, công thức tính độ dài cung theo bán kính và số đo góc ở tâm, đồng thời hỗ trợ việc tính diện tích hình quạt tròn và các bài toán hình học liên quan.

Cung tròn là gì?

Cho hai điểm \(A\) và \(B\) cùng thuộc một đường tròn. Hai điểm ấy chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung tròn, hay cung đường tròn. Hai điểm \(A\) và \(B\) gọi là hai mút (hay đầu mút) của mỗi cung đó.

Dây cung đường tròn là gì?

Dây cung trong đường tròn là đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý trên đường tròn, còn gọi ngắn gọn là dây.

Mặc dù đều được xác định từ hai điểm trên đường tròn, cung tròn và dây cung có bản chất hình học hoàn toàn khác nhau:

Trường hợp đặc biệt: Khi dây cung đi qua tâm \(O\) của đường tròn:

• Dây cung này trở thành đường kính (đây là dây cung lớn nhất của đường tròn).

• Hai cung tương ứng bị chia đôi bởi đường kính được gọi là các nửa đường tròn (có số đo bằng \(180^\circ\)).

Phân loại cung tròn

Dựa vào vị trí và độ lớn so với góc ở tâm, cung tròn được phân chia thành ba loại cơ bản: Cung nhỏ, cung lớn và nửa đường tròn. Theo hình vẽ bên dưới ta có:

• Khi góc \(A O B\) không bẹt thì cung nằm trong góc \(A O B\) gọi là cung nhỏ (trên Hình, \(\overparen{A n B}\) là cung nhỏ). Khi đó \(\overparen{A n B}\) còn có thể kí hiệu gọn là \(\overparen{A B}\).

• Cung còn lại, \(\overparen{A m B}\) gọi là cung lớn.

• Khi góc \(A O B\) bẹt thì mỗi cung \(A B\) được gọi là một nửa đường tròn.

• Ta còn nói góc \(A O B\) chắn cung \(A B\) hay cung \(A B\) bị chắn bởi góc \(A O B\).

Cách xác định số đo của một cung

• Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^{\circ}\).

• Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \(360^{\circ}\) và số đo của cung nhỏ có chung hai mút.

Số đo của cung \(A B\) được kí hiệu là sđ \(\overparen{A B}\). Trên hình trên , ta có:

\[\text{sđ }\overparen{AnB} = \widehat{AOB} = \alpha, \qquad 0^\circ<\alpha<180^\circ\]

và \[\text{sđ }\overparen{AmB} = 360^\circ-\alpha\]

Khi \(\widehat{AOB}=180^\circ\), hai cung có chung hai mút A, B đều là nửa đường tròn và có số đo \(180^\circ\).

Chú ý:

• Cung có số đo \(n^{\circ}\) còn gọi là cung \(n^{\circ}\). Cả đường tròn được coi là cung \(360^{\circ}\). Đôi khi ta cũng coi một điểm là cung \(0^{\circ}\).

• Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo.

Nhận xét: Trên đường tròn \((O)\), cho \(B\) là một điểm nằm trên cung \(AC\). Ta nói điểm \(B\) chia cung \(AC\) thành hai cung \(\overparen{AB}, \overparen{BC}\). Một cách tổng quát, ta có

\[\text{sđ }\overparen{AC} = \text{sđ }\overparen{AB} + \text{sđ }\overparen{BC}\]

Ví dụ: Tính số đo của các cung có các đầu mút là hai trong các điểm \(A\), \(B\), \(C\) trong hình bên, biết rằng \(ABC\) là tam giác vuông cân tại đỉnh \(A\).

Giải

• Ta thấy \(\overparen{AB}\) và \(\overparen{AC}\) là các cung nhỏ bị chắn bởi các góc ở tâm thứ tự là \(\widehat{AOB}\) và \(\widehat{AOC}\).

  Do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên đường trung tuyến \(AO\) cũng là đường cao, tức là \(AO\perp BC\).

  Do đó \(\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=90^{\circ}\), suy ra \(\text{sđ} \overparen{AB}=\text{sđ} \overparen{AC}=90^{\circ}\).

• \(\widehat{ACB}\) là cung lớn có chung hai mút \(A\), \(B\) với cung nhỏ \(AB\) nên

  \[\text {sđ} \overparen{ACB}=360^{\circ}-\text {sđ} \overparen{AB}=360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ}.\]

  Tương tự, ta có \[\text{sđ} \overparen{ABC}=360^{\circ} -\text{sđ} \overparen{AC} = 360^{\circ}-90^{\circ} = 270^{\circ}\]

  Ngoài ra còn có hai nửa đường tròn có chung hai mút \(B\) và \(C\), có số đo bằng \(180^{\circ}\).

Công thức tính độ dài cung tròn

Người ta chứng minh được rằng tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn bằng một số vô tỉ không đổi gọi là số \(\pi\) (đọc là pi). Ta có thể tìm được giá trị gần đúng của \(\pi\) nhờ máy tính cầm tay. Trong đời sống, ta thường lấy \(\pi \approx 3{,}14\).

Do đó, ta có công thức tính độ dài \(C\) của đường tròn \((O;R)\), đường kính \(d=2R\) là

\(\begin{align}C=\pi d=2\pi R.{}\end{align}\) (1)

Ta có công thức tính độ dài \(l\) của cung \(n^{\circ}\) trên đường tròn \((O;R)\) là

\(\begin{align} l=\dfrac{\pi Rn}{180}.\end{align}\) (2)

Từ hai công thức (1) và (2), ta được \[l=\dfrac{n}{360} \pi d=\dfrac{n}{360} C\]

hay \(\dfrac{l}{C}=\dfrac{n}{360}\), nghĩa là tỉ số giữa độ dài cung \(n^{\circ}\) và độ dài đường tròn (cùng bán kính) đúng bằng \(\dfrac{n}{360}\).

Ví dụ 1:

a) Tính chu vi đường tròn biết đường kính là \(5\, \mathrm{cm}\).

b) Tính độ dài cung \(120^{\circ}\) của đường tròn bán kính \(4\, \mathrm{cm}\).

Giải

a) Chu vi đường tròn \(C = 2\pi R = 5\pi\, \left(\mathrm{cm}\right)\).

b) Độ dài cung \(120^{\circ}\) của đường tròn bán kính \(4\, \mathrm{cm}\) là

\[l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi\cdot 4\cdot 120}{180} = \dfrac{8\pi}{3}\, \left(\mathrm{cm}\right)\]

Ví dụ 2: Cho \(A\) và \(B\) là hai điểm trên đường tròn \((O;3\mathrm{~cm})\) sao cho \(\widehat{AOB}=120^{\circ}\). Tính số đo và độ dài các cung có hai mút \(A\), \(B\).

Giải

Ta có hai cung:

• Cung nhỏ \(AB\) bị chắn bởi góc ở tâm \(AOB\).

  Do đó \(\overparen{AB}=\widehat{AOB}=120^{\circ}\);

  Độ dài \(l_1\) của cung \(AB\) là

  \[l_1=\dfrac{120}{180} \cdot\pi \cdot 3=2 \pi~(\text{cm}).\]

• Cung lớn \(AmB\) có số đo là

  \[\text{sđ}\overparen{AmB}=360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ} \text {.}\]

  Độ dài \(l_2\) của cung \(AmB\) là

  \[l_2=\dfrac{240}{180} \cdot\pi \cdot 3=4 \pi~(\text{cm}).\]

Mối liên hệ giữa cung tròn và dây cung

Trong một đường tròn, cung và dây cung có mối quan hệ hình học rất chặt chẽ. Việc nắm vững các tính chất này giúp chúng ta dễ dàng chuyển đổi qua lại giữa các đại lượng đại số (độ dài) và đại lượng hình học (số đo góc).

Định lý về độ lớn của cung và dây

Trong một đường tròn (hoặc hai đường tròn bằng nhau):

• Hai dây bằng nhau sẽ chắn hai cung bằng nhau và ngược lại.

• Dây nào lớn hơn thì chắn cung lớn hơn và ngược lại (áp dụng đối với cung nhỏ).

Công thức liên hệ giữa độ dài dây cung và bán kính

• Xét đường tròn \((O; R)\) có dây cung \(AB\). Gọi \(h\) là khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây cung \(AB\) (chính là đoạn vuông góc \(OH\) hạ từ Tâm xuống dây).

• Dựa vào định lý Pythagore trong tam giác vuông \(OHA\), ta có công thức tính độ dài dây cung \(AB\) như sau:

\[AB = 2\sqrt{R^2 - h^2}\]

Tính chất đường kính vuông góc với dây cung

Nếu một đường kính vuông góc với một dây cung thì đường kính đó sẽ đi qua trung điểm của dây cung ấy, đồng thời đi qua điểm chính giữa của cung bị chắn bởi dây.

Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn \(A B C\). Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(B C\) cắt các canh \(A B\) và \(A C\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Chứng minh \(MN<BC\).

Giải

• Xét \((O)\) có \(BC\) là dây đường kính.

• Suy ra \(BC\) là dây lớn nhất của đường tròn.

• Suy ra \(MN < BC\).

Ví dụ 2: Trong hình bên, so sánh độ dài của các đoạn thẳng \(OC\), \(PQ\) với \(AB\).

Giải

Trong đường tròn \((O)\), \(AB\) là đường kính, \(OC\) là bán kính, \(PQ\) là dây cung không đi qua \(O\). Suy ra \(OC=\dfrac{AB}{2}\) và \(PQ<AB\).

Ví dụ 3: Cho đường tròn \((O;10)\). Lấy một điểm \(A\) tùy ý thuộc \((O)\). Vẽ dây \(MN\) vuông góc với \(OA\) tại trung điểm của \(OA\). Tính độ dài dây \(MN\).

Giải

Gọi \(I\) là trung điểm của \(OA\). Ta có \[OI=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{1}{2}\cdot 10=5\]

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(IMO\), ta được

\[IM^2 =OM^2-OI^2=10^2-5^2=75 \Rightarrow IM=5\sqrt{3}\]

Ta có \(MN\) vuông góc \(OA\) tại trung điểm \(I\) của \(OA\), nên

\[IM=IN=\dfrac{1}{2}MN\Rightarrow MN=2IM=2\cdot5\sqrt{3}=10\sqrt{3}.\]

Bài tập cung tròn và dây cung có đáp án

Đề bài

Bài tập 1. Cho ba điểm \(A\), \(B\) và \(C\) thuộc đường tròn \((O)\) như hình bên. Tìm các cung có hai mút là hai trong ba điểm \(A\), \(B\), \(C\).

Bài tập 2. Cho \(C\) là điểm trên đường tròn \((O)\). Đường trung trực của đoạn \(OC\) cắt \((O)\) tại \(A\) và \(B\). Tính số đo của các cung \(\overparen{ACB}\) và \(\overparen{ABC}\).

Bài tập 3. Cho đường tròn \((O;R)\) và dây \(MN=R\). Hãy tính khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(MN\) theo R.

Bài tập 4. Trong hình sau, coi mỗi vành đồng hồ là một đường tròn. Tìm số đo của cung nhỏ \(AB\) và cung lớn \(CD\).

Bài tập 5. Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính \(650\) mm. Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe quay được khoảng \(3{,}3\) vòng. Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp \(10\) vòng liên tục?

Đáp án

Bài tập 1.

• Các cung có hai mút \(A\), \(B\) là \(\overparen{AB}\), \(\overparen{ACB}\).

• Các cung có hai mút \(A\), \(C\) là \(\overparen{AC}\), \(\overparen{ABC}\).

• Các cung có hai mút \(B\), \(C\) là \(\overparen{BAC}\), \(\overparen{BaC}\).

Bài tập 2.

Vì \(AB\) là trung trực của \(OC\) nên \(AO = AC\); \(BO = BC\). Mà \(OA = OB = R\). Do đó\[AO=OB=BC=CA=R\]

Hay \(\triangle AOC\) và \(\triangle BOC\) là hai tam giác đều.

Nên \(\widehat {AOC}=\widehat {BOC}=60^\circ\) suy ra \(\widehat {AOB}=120^\circ\).

Vậy \(\text{sđ }\overparen {ACB} = 120^\circ\).

Và \[\text{sđ}\overparen {ABC} = 360^\circ - \text{sđ}\overparen {AC} = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\]

Bài tập 3.

Vẽ \(OH\perp MN\) tại \(H\) thì \[MH=HN=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{R}{2}\]

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(OMH\) có \[OM^2=OH^2+MH^2\].\[\begin{eqnarray*} &\Rightarrow&OH^2=OM^2-MH^2=R^2-\left(\dfrac{R}{2}\right)^2 =\dfrac{3R^2}{4}\\ &\Rightarrow&OH=\sqrt{\dfrac{3R^2}{4}}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}. \end{eqnarray*}\]

Vậy khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(MN\) là \(\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\).

Bài tập 4.

a) Vì số đo của cung cả đường tròn gấp sáu lần số đo cung nhỏ \(AB\) và cung cả đường tròn có số đo \(360^{\circ}\) nên

\[\text{sđ } \overparen{AB}=\dfrac{1}{6}\cdot 360^{\circ}=60^{\circ}.\]

b) Vì số đo của cung cả đường tròn gấp bốn lần số đo cung nhỏ \(CD\) và cung cả đường tròn có số đo \(360^{\circ}\) nên

\[\text{sđ } \overparen{CD}=\dfrac{1}{4}\cdot 360^{\circ}=90^{\circ}.\]

Do đó, số đo cung lớn có hai mút C và D là: \[\text{sđ cung lớn }CD = 360^\circ-\text{sđ }\overparen{CD} = 360^\circ-90^\circ = 270^\circ\]

Bài tập 5.

Chu vi của bánh xe là \(C=\pi\cdot650=650\pi~\text{(mm).}\)

Khi đạp giò đĩa \(10\) vòng thì bánh xe quay được \(10\cdot3{,}3=33~\text{(vòng)}.\)

Khi đó mỗi điểm trên bánh xe di chuyển được quãng đường là

\[l=33\cdot650\pi\approx33\cdot650\cdot3{,}14=67353~\text{(mm)}=67{,}353~\text{(m)}.\]

Vậy người đi xe đạp giò đĩa \(10\) vòng liên tục thì xe đạp di chuyển được quãng đường xấp xỉ \(67{,}353\) m.

Ứng dụng của cung tròn và dây cung trong thực tế

Kiến thức về cung tròn và dây cung không chỉ gói gọn trên trang sách mà là nền tảng toán học xuất hiện liên tục trong đời sống, từ những công trình vĩ đại cho đến các thiết bị cơ khí nhỏ bé. Việc thấu hiểu các ứng dụng này giúp người học thấy được giá trị thực tiễn và tăng thêm hứng thú đối với môn Hình học.

• Trong ngành xây dựng, các kết cấu như cầu vòm, mái vòm nhà thờ, biệt thự cổ điển hay các cổng chào hình cung đều ứng dụng triệt để nguyên lý của cung tròn.

• Các kỹ sư cơ khí thường xuyên phải tính toán chính xác độ dài cung tròn và kích thước dây cung để thiết kế các bộ phận chuyển động: bánh răng ròng rọc hay vành bánh xe.

• Trong thiết kế cảnh quan và sân thi đấu thể thao, cung tròn là công cụ không thể thiếu để tạo ra sự chính xác và công bằng như: đường chạy sân vận động, sân bóng rổ,….

Chủ đề "Cung tròn" đã hệ thống hóa bốn nội dung cốt lõi: định nghĩa và cách phân biệt cung tròn với dây cung; phân loại cung nhỏ, cung lớn, nửa đường tròn; công thức tính độ dài cung tròn và mối liên hệ giữa cung và dây. Khi làm bài, người học cần lưu ý phân biệt rõ cung tròn (phần đường cong) với dây cung (đoạn thẳng nối hai đầu mút), đồng thời luôn kiểm tra và đổi đúng đơn vị của số đo góc trước khi áp dụng công thức tính toán.

Để mở rộng tư duy và tối ưu hóa điểm số, người học có thể tiếp tục khám phá các chủ đề liên quan chặt chẽ trong chương trình Toán 9 như góc ở tâm, góc nội tiếp hay diện tích hình quạt tròn. Các nội dung này hiện đều được hệ thống chi tiết với lý thuyết và bài tập minh họa tại chuyên mục bài giảng Toán lớp 9 của ZIM Academy.