Diagonal of polygon formula là gì? Công thức tính số đường chéo của đa giác

Trong kỳ thi SAT, đặc biệt là phần Toán (SAT Math), thí sinh thường tập trung vào các chủ đề trọng tâm như đại số tuyến tính, hàm số, và các định lý hình học cơ bản về tam giác và đường tròn. Tuy nhiên, đôi khi những câu hỏi liên quan đến các tính chất ít phổ biến hơn của đa giác, chẳng hạn như số đường chéo có thể làm khó thí sinh. Dù các dạng câu hỏi này không xuất hiện với tần suất cao, việc nắm vững công thức giúp thí sinh tiết kiệm được thời gian, giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu đến thí sinh khái niệm Diagonal of polygon formula, hay công thức tính đường chéo đa giác, các dạng bài thường gặp và bài tập thực hành.

Diagonal of polygon là gì?

Định nghĩa: Diagonal of polygon (đường chéo của đa giác) à một đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác đó [1].

Lưu ý: Thí sinh cần ghi nhớ yếu tố “không kề nhau”, bởi nếu một đoạn thẳng nối hai đỉnh kề nhau của đa giác, nó chỉ đơn giản là một cạnh chứ không phải đường chéo.

Minh họa trực quan:

• Tam giác : Có 3 đỉnh. Từ một đỉnh bất kỳ, ví dụ đỉnh A, hai đỉnh còn lại (B và C) đều kề với nó. Do không có hai đỉnh nào không kề nhau, tam giác không có đường chéo (0 đường chéo).

• Tứ giác: Xét tứ giác ABCD.

  • Từ đỉnh A, có thể vẽ một đoạn thẳng đến C (A và C không kề nhau). Không thể vẽ đến B hoặc D (vì chúng kề với A).

  • Từ đỉnh B, có thể vẽ một đoạn thẳng đến D (B và D không kề nhau).

  • Đường chéo AC và BD là hai đường chéo duy nhất. Lưu ý đường chéo từ C đến A chính là AC, đã được đếm. Tương tự, đường chéo từ D đến B chính là BD.

  • Vậy tứ giác có 2 đường chéo.

• Ngũ giác: Xét ngũ giác ABCDE.

  • Từ A, có thể vẽ 2 đường chéo: AC và AD.

  • Từ B, có thể vẽ 2 đường chéo: BD và BE.

  • Từ C, có thể vẽ 2 đường chéo: CE và CA (CA đã được đếm).

  • Từ D, có thể vẽ 2 đường chéo: DA và DB (cả hai đã được đếm).

  • Từ E, có thể vẽ 2 đường chéo: EB và EC (cả hai đã được đếm).

  • Đếm các đường chéo duy nhất: AC, AD, BD, BE, CE.

  • Vậy ngũ giác có 5 đường chéo.

• Lục giác: Sử dụng cách kẻ và đếm tương tự, đếm được 9 đường chéo.

Có thể thấy, khi số cạnh tiếp tục tăng lên, việc kẻ và đếm thủ công trở nên phức tạp, tốn thời gian và dễ dẫn đến sai sót. Bởi vậy, cần một công thức tổng quát để thí sinh áp dụng một cách chính xác, nhanh gọn.

Diagonal of polygon formula - Công thức tính số đường chéo của đa giác

Công thức chính: Công thức tính số đường chéo của một đa giác được tính theo công thức: D = n(n - 3)/ 2

Trong đó:

• D là tổng số đường chéo cần tính.

• n là số đỉnh hoặc số cạnh của đa giác (bởi trong đa giác số đỉnh luôn bằng số cạnh) [2].

Phân tích công thức:

Để giúp thí sinh hiểu rõ hơn về công thức này, sau đây sẽ là các bước phân tích lần lượt của các yếu tố xuất hiện trong công thức.

Phân tích từ một đỉnh: (n - 3)

Khi chọn một đỉnh bất kỳ trong một đa giác, thí sinh cần vẽ các đoạn thẳng đến tất cả các đỉnh khác để tạo thành các đường chéo. Tuy nhiên, thí sinh không thể vẽ đường chéo để 3 đỉnh: chính nó, đỉnh liền kề bên trái và đỉnh liền kề bên phải. Do đó, từ một đỉnh trong một đa giác có n đỉnh, số đường chéo có thể vẽ được là (n - 3).

Tính toán cho n đỉnh: n(n - 3)

Một đa giác có n đỉnh, và mỗi đỉnh có thể vẽ n - 3 đường chéo, do đó phép tính sơ bộ sẽ là n(n - 3).

Loại bỏ trùng lặp: n(n - 3)/ 2

Ở bước trước, một vấn đề đã xảy ra với số đường chéo được tính, đó là có những đường chéo được tính hai lần, ví dụ từ hai đường chéo từ đỉnh A đến đỉnh C và ngược lại (AC và CA) thực chất là một. Bởi vậy, cần phải chia tổng số đường chéo tính được bên trên cho 2. Và công thức cuối cùng có được là: D = n(n - 3)/ 2

Bài tập ví dụ (bài toán xuôi):

Để giúp thí sinh hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức tính số đường chéo trong một đa giác, sau đây là một bài toán xuôi - dạng bài toán cơ bản nhất.

Đề bài: Tính số đường chéo của một đa giác có 10 cạnh.

Hướng dẫn giải: Đa giác 10 cạnh => n = 10.

Áp dụng công thức: D = n(n - 3) /2 vào bài toán có:

D = 10(10 - 3)/ 2

D = 10.7/ 2

D = 70/ 2

D = 35

Vậy một đa giác 10 cạnh có 35 đường chéo.

Dạng bài tập "Đảo ngược": Tìm số cạnh khi biết số đường chéo

Trong kỳ thi SAT, các bài toán không chỉ xuất hiện ở dạng xuôi, yêu cầu thí sinh áp dụng trực tiếp công thức để tính toán số đường chéo của một đa giác. Một dạng bài toán thử thách hơn đó là dạng bài tập “đảo ngược”, yêu cầu thí sinh tìm ra số cạnh khi biết số đường chéo cho sẵn bởi đề bài.

Thiết lập phương trình

Từ công thức gốc tính số đường chéo trong một đa giác: D = n(n - 3)/ 2, thí sinh sẽ đảo ngược lại và thay D bằng giá trị đề bài cung cấp. Và phương trình được thiết lập sẽ là: n(n - 3)/ 2 = D.

Giải phương trình bậc hai

Để tìm n, thí sinh cần thêm bước biến đổi phương trình thành dạng bậc hai (ax² + bx + c =0), bằng các bước sau:

1. Nhân cả hai vế với 2 để bỏ phần mẫu số: n(n - 3) = 2D

2. Phá ngoặc và chuyển về: n² - 3n - 2D = 0

Có thể thấy, đây là phương tình bậc hai ẩn n. Thí sinh có thể lựa chọn một trong hai cách giải:

• Phân tích thành nhân tử: Phương pháp yêu cầu thí sinh tìm hai nghiệm có tổng là -3 và tích là -2D.

• Công thức nghiệm: Phương pháp này có công thức: n = [-b ± √(b² − 4ac)]/ 2a

Lưu ý: Khi tính toán, thí sinh cần kiểm tra kĩ các nghiệm tìm được, bởi số cạnh của một đa giác luôn là số nguyên dương và n > 3. Bởi vậy, tất cả các nghiệm không thỏa mãn điều kiện (<3, là số âm, không phải số nguyên) đều phải bị loại bỏ.

Ví dụ minh họa

Đề bài: Tính số cạnh của một đa giác có 44 đường chéo.

Hướng dẫn giải:

Theo dữ kiện đề bài, số cạnh của đa giác, tức D = 44.

Trước hết, thí sinh cần thiết lập phương trình: n(n - 3)/ 2 = 44

Sau đó biến đổi về phương trình bậc hai: n(n -3) = 44 x 2

n² - 3n = 88

n² - 3n - 88 = 0

Thí sinh thực hiện giải phương tình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử, ở đây cần tìm hai số có tổng là -3 và tích là -88. Nhận thấy rằng có -11 và 8 đáp ứng điều kiện điều này, và phương trình sẽ được phân tích như sau

n² - 3n - 88 = 0

n² - 11n + 8n - 88 = 0

n(n - 11) + 8(n -11) = 0

(n - 11)(n + 8) = 0

Đến đây, phương trình có hai nghiệm là n = 11 hoặc n = -8. Tuy nhiên số cạnh của một đa giác không thể là số âm, bởi vậy nghiệm n = -8 bị loại.

Vậy một đa giác có 44 đường chéo thì có 11 cạnh.

Ứng dụng kết hợp Diagonal of polygon formula trong các bài toán SAT

Bởi các bài toán không chỉ dừng lại ở dạng xuôi hay ngược mà còn yêu cầu mức độ tư duy cao hơn, công thức tính đường chéo trong một đa giác (Diagonal of polygon formula) sẽ chỉ là một bước phục vụ cho một quy trình giải toán.

Liên kết với công thức Tổng góc trong

Tổng các góc trong của một đa giác n cạnh được tính theo công thức: (n - 2). 180°

Ví dụ minh họa: Tổng các góc trong của một đa giác là 1260°. Tính số đường chéo của đa giác đó?

Hướng dẫn giải:

Bước đầu tiên, thí sinh cần tính số cạnh (n) dựa trên tổng số góc, áp dụng công thức: S = (n -2). 180°

Có: 1260° = (n -2). 180°

Tìm ra n = 9 (đa giác có 9 cạnh)

Lúc này, bài toán đã trở về một bài toán xuôi cơ bản, và thí sinh có thể dễ dàng áp dụng công thức tính số đường chéo của một đa giác:

D = n(n - 3)/ 2

D = 9(9 - 3)/ 2

D = 54/ 2

D = 27

Vậy đa giác đó có 27 đường chéo.

Liên kết với Đa giác đều

Một số công thức cần nhớ về đa giác đều:

• Số đo góc ngoài của đa giác đều n cạnh: E = 360°/ n.

• Số đo góc trong của đa giác đều n cạnh: I = [(n - 2). 180°]/n (hoặc I = 180° - E).

Ví dụ minh họa: Một đa giác đều có 35 đường chéo, Tính số đo mỗi góc ngoài của đa giác đó.

Hướng dẫn giải:

Trước hết, cần xác định đây là dạng bài toán ngược, khi thí sinh cần tìm số cạnh (n) từ số đường chéo bằng cách áp dụng công thức: D = n(n -3)/ 2

35 = n(n - 3)/ 2

70 = n² - 3n

=> n² - 3n - 70 = 0

Sử dụng cách phân tích thành nhân tử, phương trình trở thành: (n -10)(n + 7) = 0.

Vậy đa giác có 10 cạnh (n = 10), vì loại nghiệm âm n = -7.

Sau đó, thí sinh tính góc ngoài dựa trên n, dựa trên công thức tính góc ngoài của đa giác đều: E = 380°/ n

E = 360°/ 10

E = 36°

Bài tập vận dụng

Để giúp thí sinh khắc sâu những kiến thức bên trên, sau đây là một số bài tập luyện tập.

Bài tập:

Exercise 1: How many diagonals does a regular octagon have?

Exercise 2: A polygon has 15 sides. What is the total number of diagonals in this polygon?

Exercise 3: A polygon has 14 diagonals. How many sides does it have?

Exercise 4: If a polygon has 90 diagonals, what is the number of vertices it has?

Exercise 5: The sum of the measures of the interior angles of a polygon is 1800 degrees. How many diagonals does this polygon have?

Exercise 6: A regular polygon has an interior angle of 150 degrees. How many diagonals does it have?

Exercise 7: The number of diagonals in a polygon is exactly 4 times the number of its sides. How many sides does the polygon have?

Hướng dẫn giải:

Exercise 1:

“Octagon” có nghĩa là bát giác (đa giác 8 cạnh), vậy nên n = 8.

Áp dụng công thức, tính được: D = 8(8 - 3)/ 2 = 40/2 = 20.

Vậy đáp án là 20 đường chéo.

Exercise 2:

Đa giác có 15 cạnh, hay n = 15.

Áp dụng công thức, tính được: D = 15(15 -3)/ 2 = 180/2 = 90.

Vậy đáp án là 90 đường chéo.

Exercise 3:

Ở dạng bài toán ngược này, số đường chéo, tức D = 14.

Thiết lập phương trình n(n - 3)/ 2 =14

Sau khi biến đổi, thu được phương trình: n² - 3n -28 = 0.

Phân tích thành nhân tử, phương trình trở thành: (n - 7)(n + 4) = 0.

Có hai nghiệm: n = 7 hoặc n = -4 (loại vì nghiệm âm).

Vậy đáp án là 7 cạnh.

Exercise 4:

Tương tự như bài 3, D = 90.

Thiết lập phương trình: n(n - 3)/ 2 = 90.

Giải phương trình: 180n² - 3n - 180 = 0.

Phân tích thành nhân tử: (n - 15)(n + 12) = 0.

Vậy đáp án là 15 đỉnh.

Exercise 5:

S = 1800°, tìn n dựa vào công thức: S = (n -2). 180° => 1800° = (n - 2). 180° => 10 = n -2 => n = 12

Tìm D: D = 12(12 - 3)/ 2 = 108/ 2 = 54

Vậy đáp án là 54 cạnh.

Exercise 6:

Tìm n bằng hai cách:

Cách 1: Dùng góc trong, I = (n -2). 180/ n => 150 = 180n - 360/ n => 150n = 180n - 360 => n = 12.

Cách 2: Dùng góc ngoài, E = 180° - I = 180° - 150° = 30°, E = 360°/ n => n = 360°/ 30° = 12.

Tìm D: D = 12(12 -3)/ 2 = 108/2 = 54

Vậy đáp án là 54 đường chéo.

Exercise 7:

Bởi số đường chéo gấp 4 lần số cạnh, nên D = 4n, vậy nên: n(n - 3)/ 2 = 4n

Chia cả hai vế cho n (vì n > 3 nên n không thể bằng 0): n - 3/ 2 = 4 => n - 3 = 8 => n = 11

Vậy đáp án là 11 cạnh.

Những lỗi sai cần tránh

Trong quá trình áp dụng công thức, đặc biệt dưới áp lực thời gian, thí sinh dễ mắc phải những lỗi sai sau:

• Quên chia cho 2: Thí sinh quên rằng các đường chéo được tính 2 lần và không chia cho 2, dẫn đến kết quả sai hoặc ảnh hưởng đến quá trình tính toán.

• Giải sai phương trình bậc 2: Một lỗi phổ biến khác là khi thí sinh xử lý các phương trình, như quên nhân D với 2, hoặc sai dấu trong quá trình biến đổi 2 vế.

• Nhầm lẫn các giá trị: Các bài toán phức tạp thường bao gồm nhiều giá trị (số cạnh, số đường chéo, số đo góc trong, ngoài,…) khiến một số thí sinh bị rối và nhẫm lẫn, dẫn đến nhiều trường hợp đáng tiếc như tính ra được kết quả nhưng khoanh nhầm đáp án do đọc chưa kỹ đề bài.

Xem thêm:

• Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề [PDF]

• Đăng ký thi SAT ở đâu? Cách đăng ký thi SAT chi tiết

• SAT Vocabulary: Tổng hợp các từ vựng cần nắm trong bài thi SAT

Tác giả: Phạm Minh Quân

Kết luận

Mong rằng bài viết đã giúp độc giả hiểu sâu hơn về diagonal of polygon formula (công thức tính số đường chéo một đa giác), cùng những bài tập luyện tập hữu ích và các ví dụ, dạng bài được phân tích cụ thể, từ đó tự tin áp dụng và chinh phục điểm số kỳ vọng trong kỳ thi SAT. Tham khảo thêm khóa học SAT cá nhân hóa, cam kết đầu ra tại ZIM Academy.