Exterior angle (góc ngoài) là gì? Trong SAT Math định lý và bài tập vận dụng

Trong lý thuyết toán học về hình học tam giác và các hình học liên quan, sự đa dạng của các khái niệm về góc và số đo thường là một thách thức lớn đối với thí sinh. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất, và biết cách áp dụng công thức phù hợp là điều cốt lõi để đạt điểm cao, đặc biệt trong các kỳ thi chuẩn hóa như SAT. Trong đó, một số khái niệm quan trọng bao gồm: góc trong/ngoài (alternate interior/exterior angle), góc đối đỉnh (vertical angles), góc kề bù (linear pairs), góc so đồng vị (corresponding angles),...

Bài viết này giới thiệu góc ngoài (exterior angle) với nội dung và kiến thức được tinh gọn để đáp ứng cho kỳ thi SAT Math. Trong đó, bài viết nhấn mạnh các ví dụ minh họa và mở rộng sang các đa giác khác trong mặt phẳng hai chiều.

Exterior angle là gì?

Định nghĩa: Góc ngoài của một tam giác là góc tạo bởi một cạnh của tam giác và phần kéo dài của cạnh kề với cạnh đó.

Định lý: "Số đo của một góc ngoài của một tam giác bằng tổng số đo của hai góc trong không kề với nó."

Công thức: 

Nếu C’ là góc ngoài của tam giác ABC với A và B là hai góc trong không kề với C’, thì: \(C^{\prime}=A+B\)

Chứng minh:

Cho tam giác ABC và một đường thẳng (d) chứa cạnh BC. Phía ngoài tam giác, đường thẳng (d) và cạnh AB cắt nhau và tạo một góc C’. 

Để chứng minh rằng góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó (C’ = A + B), ta dựa vào hai định lý cơ bản về góc:

• Định lý Cặp góc kề bù: C và C’ là hai góc kề nhau trên một đường thẳng có tổng số đo \(180^{\omicron}\) ⇒ C’ = 180 - C

• Định lý Tổng Ba góc trong Tam giác: tổng số đo ba góc trong luôn bằng \(180^{\omicron}\) ⇒ C’ = 180 - C

Từ đây ta chứng minh được C’ = A + B.

Xem thêm: Circle theorems trong SAT® Math - Chiến lược làm bài và bài tập

Tại sao định lý góc ngoài (Exterior angle) là "chìa khóa" trong SAT Math?

Tiết kiệm thời gian

Trong cách giải truyền thống, người ta thường phải tìm các góc trong còn lại của tam giác hoặc tứ giác, sau đó áp dụng các tính chất kề bù, tổng các góc trong hoặc các định lý liên quan để tính toán các giá trị cần thiết. Cách truyền thống này có ưu điểm là rõ ràng và tạo thói quen giải quyết vấn đề từng bước nhưng tốn nhiều thời gian, đặc biệt trong các kỳ thi có vốn thời gian vô cùng hạn chế.

Giải quyết các bài toán thiếu dữ kiện

Ngay cả khi không biết một số góc trong, ta vẫn có thể thiết lập các mối quan hệ cần thiết và tính toán trực tiếp thông qua góc ngoài. Ví dụ như biết một góc ngoài sẽ tính được góc trong kề bù của nó và tổng hai góc trong còn lại.

Từ vựng thường gặp trong dạng toán về exterior angle

Các dạng bài tập về góc ngoài (Exterior angle) thường gặp trong đề thi SAT Math

Dạng 1: Tính toán cơ bản

Yêu cầu: Các bài toán chỉ yêu cầu áp dụng trực tiếp định lý góc ngoài (số đo của một góc ngoài của một tam giác bằng tổng số đo của hai góc trong không kề với nó) để tìm số đo góc. 

Đánh giá mức độ: Dễ.

Ví dụ: Trong một tam giác, hai góc trong có số đo lần lượt là 50° và 60°. Hãy tìm số đo của góc ngoài tại đỉnh thứ ba.

Dạng 2: Bài toán chứa biến số (Algebraic Problems)

Yêu cầu: Các góc được biểu diễn bằng biểu thức đại số (chứa biến x), yêu cầu thiết lập và giải phương trình dựa trên định lý góc ngoài. 

Đánh giá mức độ: Trung bình.

Ví dụ:  Trong một tam giác, một góc ngoài có số đo là \(\left(3x+10\right)^{\omicron}\), và hai góc trong không kề (đối diện) với nó có số đo lần lượt là \(\left(x+20\right)^{\omicron}\) độ và \(30^{\omicron}\). Hãy tìm giá trị của x.

Dạng 3: Kết hợp với các tính chất tam giác đặc biệt

Mô tả: Áp dụng định lý trong tam giác cân, tam giác đều, nơi có các góc bằng nhau. Thí sinh chỉ cần biết trước số đo hoặc thông tin của một góc thì có thể suy luận ra các góc còn lại (tam giác cân có hai góc bằng nhau và tam giác đều có ba góc bằng nhau).

Đánh giá mức độ: Trung bình - khó.

Ví dụ: Trong một tam giác cân, mỗi góc ở đáy có số đo là \(70^{\omicron}\). Hãy tìm số đo của góc ngoài tại đỉnh.

Dạng 4: Kết hợp với các đường thẳng song song

Mô tả: Các bài toán có hình vẽ bao gồm đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng.

Yêu cầu: Thí sinh sử dụng tính chất của các góc so le trong, đồng vị trước khi áp dụng định lý góc ngoài. Cụ thể:

Đối với góc so le trong: Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng khác, thì hai góc so le trong bằng nhau.

Đối với góc đồng vị: Nếu hai đường song song bị cắt bởi một đường thẳng, thì các góc đồng vị bằng nhau.

Đối với góc kề bù: Hai góc kề nhau trên cùng một đường thẳng có tổng bằng 180°.

Đánh giá mức độ: Khó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB song song DE với điểm D nằm trên đoạn BC và E nằm trên AC. Biết BAC = 40, EDC = 60 độ. Tính góc ngoài tại đỉnh C.  

Xem thêm: 

Cách làm dạng bài Geometry and Trigonometry trong SAT Math & Bài tập

SAT Math formulas - Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

Góc ngoài của đa giác lồi (Polygons)

Tổng các góc ngoài 

Phát biểu: 

Tổng các góc ngoài của một đa giác lồi bất kì luôn bằng 360 độ, không phụ thuộc vào số cạnh đa giác

Chứng minh: 

Để chứng minh phát biểu trên về tổng các góc ngoài của một đa giác, ta sử dụng hai định lý: Định lý tổng góc trong một đa giác và Định lý hai góc kề nhau.

Mỗi đỉnh có góc trong và góc ngoài bù nhau (tổng 180 độ). Tổng tất cả các góc trong của một đa giác n cạnh là 180(n-2). Do đa giác có n đỉnh, nên tổng của tất cả các cặp góc trong và góc ngoài là: 180n (độ).

Để tìm tổng các góc ngoài, ta lấy tổng (góc trong và góc ngoài) trừ đi tổng số đo các góc trong của đa giác đó, hay 180n - 180(n-2) = 180n - 180n + 360 = 360.

Công thức tính góc ngoài của đa giác đều

Theo số cạnh:

E (exterior angle) = \(\frac{360}{n}\) (với n: tổng số cạnh)

Theo góc trong kề bù:

E (exterior angle) = 180 - I (interior angle - góc trong)

Vận dụng trong SAT

Một đa giác đều có góc ngoài bằng \(30^{\omicron}\). Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Giải: Áp dụng công thức đối với góc ngoài - E = 360/n —> Ta tính được số cạnh: n = 360/E = 360/30 = 12. Như vậy đa giác này có 12 cạnh.

Những lỗi sai cần tránh khi làm bài tập về góc ngoài (exterior angle)

Nhầm lẫn góc ngoài với góc kề bù

Góc kề bù là hai góc bất kỳ nằm cạnh nhau và có tổng số đo bằng \(180^{\omicron}\), tạo thành một đường thẳng và được áp dụng cho mọi hình học phẳng. Góc ngoài là góc được tạo bởi một cạnh của đa giác và phần kéo dài của cạnh kề nó với phạm vi là đa giác lồi phẳng. 

Do đó, người học cần phân biệt rõ góc ngoài và góc kề bù với góc trong ở một đỉnh khác.

Cộng sai góc

Thay vì cộng hai góc trong không kề bù, một số thí sinh xác định góc ngoài bằng cách lấy tổng của góc trong liền kề và góc trong thứ hai trên cùng 1 cạnh, dẫn đến kết quả sai. 

Ví dụ góc C’ là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC. Lỗi cộng sai góc xảy ra khi xác định góc ngoài C’ bằng cách cộng góc C và góc A (vì nhầm tưởng tổng hai góc trên cùng một đường thẳng).

Bỏ qua các dữ kiện ẩn

Trong nhiều bài toán, đề bài không trực tiếp cho hết các góc hoặc cạnh, nhưng lại có các thông tin phụ như tam giác cân, đa giác đều hay các dấu hiệu chứng minh đa giác đặc biệt (đường trung trực, đường phân giác,...). Khi bỏ qua những chi tiết này, thí sinh sẽ cảm thấy đề bài thiếu dữ kiện và không thể đưa ra đáp án.

Bài tập vận dụng

Question 1: In a triangle, two interior angles measure 50° and 60°. Find the exterior angle at the third vertex.

Dịch: Trong một tam giác, số đo hai góc trong là 50 và 60 độ. Tìm góc ngoài ở đỉnh còn lại.

Bài giải:

Áp dụng định lý góc ngoài của một tam giác, số đo góc ngoài (exterior angle) luôn bằng tổng số đo của hai góc trong không kề với nó. Ta có:

Số đo góc ngoài tại đỉnh còn lại = \(50^{\omicron}+60^{\omicron}=110^{\omicron}\).

Question 2: A regular octagon has 8 sides. Find the measure of each exterior angle.

Dịch: Một bát giác đều có 8 cạnh. Tìm số đo của mỗi góc ngoài.

Bài giải:

Bước 1: Nhận diện thông tin và yêu cầu

Đa giác trong câu hỏi là bát giác đều và yêu cầu tìm số đo góc ngoài.

Bước 2: Dựa trên yêu cầu, lựa chọn công thức phù hợp

Số đo góc ngoài của một đa giác đều = 360/n (n: số cạnh của đa giác).

Bước 3: Áp dụng công thức

Số đo mỗi góc ngoài = 360/8 = 45 độ.

Question 3: The exterior angle of a triangle is 3x + 10°, and the two opposite interior angles are x + 20° and 30. Find x.

Dịch: Biết góc ngoài của một tam giác là \(\left(3x+10\right)^{\omicron}\) và hai góc trong đối diện có số đo (x+20) và \(30^{\omicron}\). Tìm x.

Bài giải:

Bước 1: Nhận diện thông tin và yêu cầu

Cho số đo hai góc trong của một tam giác và số đo góc ngoài tại đỉnh thứ 3. Yêu cầu tính số đo góc ngoài này.

Bước 2: Xác định công thức

Số đo góc ngoài của một tam giác bằng tổng số đo hai góc không kề với nó.

Bước 3: Áp dụng công thức

3x + 10 = x + 20 + 30

⇒ 3x + 10 = x + 50

⇒ 2x = 40

⇒ x = 20

Question 4: The sum of the exterior angles of a polygon is 360°. How many sides does the polygon have if each exterior angle measures 45°?

Dịch: Tổng các góc ngoài của một đa giác là 360. Đa giác đó có bao nhiêu cạnh nếu mỗi góc ngoài có số đo là 45.

Bài giải:

Bước 1: Nhận diện thông tin

Tổng các góc ngoài của một đa giác = 360 độ.

Mỗi góc ngoài đều là 45 độ ⇒ Kết luận: đa giác đều.

Bước 2: Lựa chọn công thức

Exterior angle = 360/n (n: số cạnh)

Bước 3: Áp dụng

45 = 360/n ⇒ n = 360/45 = 8.

Vậy đa giác đều đã cho có 8 cạnh (bát giác đều).

Question 5: Given triangle ABC with AB parallel to DE, where point D lies on segment BC and point E lies on segment AC. Given ∠BAC=40 and ∠EDC=60, find the exterior angle at vertex C.

Dịch: Cho tam giác ABC có AB song song DE với điểm D nằm trên đoạn BC và E nằm trên AC. Biết BAC = 40, EDC = 60 độ. Tính góc ngoài tại đỉnh C.

Bài giải:

Bước 1: Nhận diện thông tin

Hai đoạn thẳng AB và DE song song nhau.

Số đo góc BAC = 40, EDC = 60.

Yêu cầu: Tính góc ngoài tại C. 

Bước 2: Xác định nguyên tắc & công thức

Nguyên tắc một đường thẳng cắt hai đường song song ⇒ EDC = ABC = 60.

Số đo góc ngoài bằng tổng số đo hai góc trong không liền kề.

Bước 3: Áp dụng công thức

Số đo góc ngoài tại C = BAC + ABC = 40 + 60 = 100.

Kết luận

Trên đây là bài viết tóm tắt kiến thức về góc ngoài của một tam giác và một đa giác. Trong một tam giác, góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không liền kề với nó. Trong một đa giác, tổng tất cả góc ngoài luôn bằng 360 độ. Đặc biệt trong đa giác đều, góc ngoài và số cạnh có liên hệ với nhau qua công thức (E=360/n). Trong kỳ thi SAT, thí sinh phải linh hoạt nhận biết các dữ kiện ẩn như dấu hiệu nhận biết đa giác đặc biệt, ghi nhớ rõ định lý và tính chất của góc ngoài (exterior angle) để có thể đưa ra đáp án nhanh chóng. Tham khảo thêm tại khóa học SAT cá nhân hóa, cam kết đầu ra tại ZIM Academy.