Góc giữa 2 đường thẳng | Công thức, cách tính và bài tập lớp 10

Trong phương pháp tọa độ trên mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng cho biết mức độ lệch hướng giữa hai đường. Đại lượng này được sử dụng để nhận biết hai đường thẳng song song, vuông góc, đồng thời giải quyết các bài toán tính góc hoặc tìm tham số. Theo quy ước, góc cần tìm có giá trị từ 0° đến 90°. Đây là nội dung quan trọng của Hình học 10 vì kết nối kiến thức về phương trình đường thẳng, vectơ và tích vô hướng. Bài viết trình bày hai công thức thường dùng, cách lựa chọn công thức và các bài tập vận dụng.

Góc giữa hai đường thẳng là gì?

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, trong đó hai góc đối đỉnh bằng nhau và hai góc kề bù có tổng bằng 180°. Góc giữa hai đường thẳng là góc không vượt quá 90° trong các góc được tạo thành. Nếu ký hiệu góc này là φ thì:

0° ≤ φ ≤ 90°

Khi hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, chúng có cùng phương nên góc giữa chúng được quy ước bằng 0°. Khi hai đường thẳng vuông góc, góc giữa chúng bằng 90°.

Góc này có thể được xác định thông qua các vectơ gắn với chúng. Góc giữa hai đường thẳng là góc có số đo từ \(0^{\circ}\) đến \(90^{\circ}\) giữa hai phương của chúng. Khi sử dụng hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến để tính góc, lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng để thu được góc trong khoảng từ \(0^\circ\le\varphi\le90^\circ\).

Theo công thức tích vô hướng, với hai vectơ khác vectơ không u và v, cosin của góc giữa chúng được xác định từ tích vô hướng và độ dài của hai vectơ [1]. Đây là nền tảng của công thức tính góc trong hình học tọa độ.

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo vectơ pháp tuyến

Xét hai đường thẳng ở dạng tổng quát:

\[d_1:\ a_1x+b_1y+c_1=0\]

\[d_2:\ a_2x+b_2y+c_2=0\]

Hai vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\vec{n}_1=(a_1;b_1),\vec{n}_2=(a_2;b_2)\). Nếu φ là góc giữa d1 và d2, công thức cần dùng là:

\[\cos\varphi= \frac{\left|a_1a_2+b_1b_2\right|} {\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\]

Giá trị tuyệt đối bảo đảm cos φ ≥ 0, phù hợp với quy ước 0° ≤ φ ≤ 90°. Ngoài ra, một đường thẳng có thể nhận n hoặc −n làm vectơ pháp tuyến. Nếu không lấy giá trị tuyệt đối, việc đổi hướng một vectơ có thể làm cosin đổi dấu dù hai đường thẳng không thay đổi.

Từ công thức trên, có thể nhận ra nhanh hai trường hợp đặc biệt:

• Nếu \(a_1a_2+b_1b_2=0\) thì hai vectơ pháp tuyến vuông góc, do đó d1 vuông góc với d2 và \(\varphi=90^\circ\).

• Nếu (a1; b1) và (a2; b2) cùng phương thì cos φ = 1, do đó φ = 0°.

Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tính góc giữa d1: 3x − 4y + 1 = 0 và d2: x + y − 2 = 0.

Hai vectơ pháp tuyến là n1 = (3; −4) và n2 = (1; 1). Khi đó:

\[\cos\varphi= \frac{|3\cdot1+(-4)\cdot1|} {\sqrt{3^2+(-4)^2}\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}\]

Suy ra φ ≈ 81,87°. Khi sử dụng máy tính, cần đặt đơn vị góc ở chế độ độ trước khi bấm cos−1.

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo vectơ chỉ phương

Nếu u1​, u2​ lần lượt là hai vectơ chỉ phương của d1​, d2​, ta có: \[\cos\varphi= \frac{\left|\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2\right|} {\left\|\vec{u}_1\right\|\left\|\vec{u}_2\right\|}\]

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo hệ số góc

Nếu hai đường thẳng không song song với trục Oy và được viết dưới dạng:

d1: y = k1x + b1

d2: y = k2x + b2

thì k1 và k2 lần lượt là hệ số góc. Góc φ giữa hai đường được tính bằng:

\[\tan\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|,1+k_1k_2\ne0\]

Công thức này được suy ra từ công thức tang của hiệu hai góc tạo bởi mỗi đường thẳng với chiều dương của trục Ox. Nếu 1 + k1k2 = 0 thì hai đường thẳng vuông góc và φ = 90°; không thực hiện phép chia cho 0.

Phương pháp hệ số góc không áp dụng trực tiếp khi có đường thẳng đứng dạng x = a, vì đường này không có hệ số góc xác định. Trong trường hợp đó, công thức vectơ pháp tuyến là lựa chọn phù hợp hơn.

Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tính góc giữa d1: y = 2x + 1 và d2: y = (1/3)x − 2.

Ta có k1 = 2 và k2 = 1/3. Do đó:

\[\tan\varphi = \left| \frac{\frac13-2}{1+2\cdot\frac13} \right| = 1\]

Vì 0° ≤ φ ≤ 90°, suy ra φ = 45°.

Cách tính góc giữa hai đường thẳng theo từng dạng phương trình

Việc lựa chọn đúng công thức giúp giảm số bước biến đổi và hạn chế sai sót. Một lỗi phổ biến khi tính góc là chuyển đổi phương trình dù dữ kiện ban đầu đã cung cấp sẵn vectơ phù hợp. Có thể lựa chọn công thức theo dạng phương trình được cung cấp như sau:

Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương u = (a; b), một vectơ pháp tuyến có thể chọn là n = (b; −a). Ngược lại, với n = (a; b), có thể chọn u = (b; −a). Đường thẳng tổng quát ax + by + c = 0, với b ≠ 0, cũng có thể chuyển thành y = (−a/b)x − c/b, nên hệ số góc là −a/b.

Ví dụ với đường thẳng dạng tham số

Với phương trình tham số của đường thẳng, có thể xác định trực tiếp vectơ chỉ phương để tính góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng:

d1: x = 1 + 2t; y = −1 + t

d2: 2x − y + 3 = 0

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u1 = (2; 1). Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến (2; −1), nên có thể chọn vectơ chỉ phương u2 = (1; 2).

\[\cos\varphi= \frac{|2\cdot1+1\cdot2|} {\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{1^2+2^2}} = \frac45\]

Vậy \(\varphi=\arccos\left(\frac45\right)\approx36{,}87^\circ\).

Ghi chú thuật ngữ

• Vectơ chỉ phương: Vectơ khác vectơ không, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng.

• Vectơ pháp tuyến: Vectơ khác vectơ không và vuông góc với đường thẳng.

• Hệ số góc: Số k trong phương trình y = kx + b, biểu thị độ nghiêng của đường thẳng so với trục Ox.

Dạng bài tìm tham số m để góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị cho trước

Với bài toán tìm m để góc bằng α, quy trình thường gồm bốn bước:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương hoặc hệ số góc theo m.

Bước 2: Thay cos α hoặc tan α vào công thức phù hợp.

Bước 3: Xử lý giá trị tuyệt đối, căn thức và giải phương trình theo m.

Bước 4: Thử lại các giá trị tìm được trong công thức ban đầu, đồng thời kiểm tra các biểu thức và phương trình có xác định hay không.

Bài tập minh họa

Ví dụ: Tìm m để hai đường thẳng d1: x + my − 1 = 0 và d2: x − y + 2 = 0 tạo với nhau một góc 45°.

Hai vectơ pháp tuyến là n1 = (1; m) và n2 = (1; −1). Áp dụng công thức cosin:

\[\frac{|1-m|} {\sqrt{1+m^2}\sqrt2} = \cos45^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\]

Bình phương hai vế:

\[\frac{(1-m)^2}{2(1+m^2)}=\frac12\]

⇔ \((1-m)^2=1+m^2\)

⇔ m = 0

Thay m = 0 vào công thức ban đầu, ta được cos φ = √2/2 nên giá trị này thỏa mãn. Khi m = 0, d1: x − 1 = 0 là đường thẳng đứng; vì vậy, nếu cố chuyển cả hai đường sang dạng hệ số góc thì phương pháp sẽ không áp dụng được. Ví dụ này cho thấy công thức vectơ pháp tuyến có phạm vi sử dụng rộng hơn.

Bài tập về góc giữa hai đường thẳng lớp 10

Bài tập 1

Tính góc giữa d1: 3x + 4y − 1 = 0 và d2: 4x − 3y + 2 = 0.

Hướng dẫn: Hai vectơ pháp tuyến là (3; 4) và (4; −3). Tích vô hướng bằng 3·4 + 4·(−3) = 0.

Đáp án: 90°.

Bài tập 2

Tính góc giữa d1: y = 3x − 2 và d2: y = x + 4.

Hướng dẫn:

\[\tan\varphi = \left| \frac{1-3}{1+3\cdot1} \right| = \frac12\]

Đáp án: \(\varphi=\arctan\left(\frac12\right)\approx26{,}57^\circ\).

Bài tập 3

Cho d1: x = 2 + t; y = 1 + t và d2: y = 0. Tính góc giữa d1 và d2.

Hướng dẫn: Hai vectơ chỉ phương có thể chọn là (1; 1) và (1; 0). Khi đó cos φ = 1/√2.

Đáp án: 45°.

Bài tập 4

Tìm m để dm: (m − 1)x + 2y + 1 = 0 vuông góc với d: x − y = 0.

Hướng dẫn: Hai vectơ pháp tuyến là (m − 1; 2) và (1; −1). Điều kiện vuông góc là tích vô hướng bằng 0.

(m − 1) − 2 = 0 ⇔ m = 3

Đáp án: m = 3.

Bài tập 5

Tìm m để dm: (m + 1)x + (m − 1)y + 2 = 0 tạo với d: x + y = 0 một góc 45°.

Hướng dẫn: Áp dụng công thức cosin với hai vectơ pháp tuyến (m + 1; m − 1) và (1; 1):

\[\frac{|2m|} {\sqrt{2m^2+2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Bình phương hai vế, rút gọn rồi thử lại nghiệm. \[\frac{|m|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Sau đó: \(\frac{m^2}{m^2+1} = \frac{1}{2}\).

Suy ra: \(m^2=1\), nên \(m=\pm1\).

Đáp án: m = 1 hoặc m = −1.

Góc giữa hai đường thẳng được quy ước trong khoảng từ 0° đến 90°; hai đường song song hoặc trùng nhau có góc bằng 0°, còn hai đường vuông góc có góc bằng 90°. Công thức cosin theo vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương có thể áp dụng cho hầu hết các dạng phương trình. Học sinh có thể tiếp tục củng cố kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng và phương pháp tọa độ tại chuyên mục bài giảng Toán 10 của ZIM Academy.