Hai đường tròn cắt nhau là gì? Tính chất, cách chứng minh và bài tập lớp 9

Hai đường tròn cắt nhau là một trường hợp quan trọng của vị trí tương đối giữa hai đường tròn. Hai đường tròn (O;R) và (O';r) cắt nhau khi có hai điểm chung A, B, với điều kiện khoảng cách hai tâm thỏa mãn:\[\vert R-r\vert<OO\prime<R+r\]

Khi đó, đoạn AB là dây chung và đường nối tâm OO′ có những tính chất đặc trưng.

Bài viết trình bày hai đường tròn cắt nhau khi nào, số điểm chung của hai đường tròn cắt nhau, tính chất hai đường tròn cắt nhau, tính chất đường nối tâm và dây chung, đồng thời hướng dẫn cách chứng minh hai đường tròn cắt nhau qua các bài toán và bài tập lớp 9.

Hai đường tròn cắt nhau là gì?

Hai đường tròn được gọi là cắt nhau khi và chỉ khi chúng có đúng hai điểm chung. Hai điểm chung này được gọi là hai giao điểm của hai đường tròn. Đoạn thẳng nối hai giao điểm đó được gọi là dây chung.

Hai đường tròn cắt nhau có mấy điểm chung?

Hai đường tròn cắt nhau có đúng hai điểm chung, thường được kí hiệu là \(A\) và \(B\). Đoạn thẳng \(AB\) là dây chung của hai đường tròn.

Hai đường tròn cắt nhau khi nào?

Cho hai đường tròn \((O; R)\) và \((O'; r)\) (giả sử \(R \ge r\)). Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt là khoảng cách giữa hai tâm phải thỏa mãn bất đẳng thức:

\[|R - r| < OO' < R + r\]

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Giữa hai đường tròn phân biệt sẽ có ba trường hợp vị trí tương đối chính: cắt nhau, tiếp xúc nhau và không giao nhau.

Việc xác định các vị trí này phụ thuộc hoàn toàn vào mối quan hệ giữa độ dài đoạn nối tâm \(OO'\) (khoảng cách giữa hai tâm) và hai bán kính của chúng.

Dưới đây là bảng tóm tắt điều kiện để học sinh dễ dàng tra cứu nhanh:

• Cắt nhau: Có đúng 2 điểm chung. Điều kiện: \(|R - r| < OO' < R + r\).

• Tiếp xúc nhau (trong hoặc ngoài): Có đúng 1 điểm chung. Điều kiện: \(OO' = R + r\) hoặc \(OO' = |R - r|\).

• Không giao nhau (ngoài nhau hoặc đựng nhau): Không có điểm chung. Điều kiện: \(OO' > R + r\) hoặc \(OO' < |R - r|\).

  

Tính chất hai đường tròn cắt nhau

Tính chất hình học của phần này xoay quanh mối quan hệ cực kỳ đặc biệt giữa đường nối tâm và dây chung.

Quan hệ giữa đường nối tâm và dây chung

Đường thẳng đi qua hai tâm O và O’ được gọi là đường nối tâm.

Nếu hai đường tròn \((O)\)và \((O')\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\), gọi \(H\) là giao điểm của đường nối tâm \(OO'\) và dây chung \(AB\). Khi đó, \(OO'\) là đường trung trực của \(AB\), nên: \(OO^{\prime}\perp AB\) và \(HA=HB\).

Nếu hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B thì dây chung là đoạn AB.

Định lý: Đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. Nghĩa là OO’ vuông góc với AB tại trung điểm M của AB.

Ứng dụng định lý Pythagore

Nhờ tính chất vuông góc trên, ta luôn tạo ra được các tam giác vuông (như tam giác OAM và tam giác O'AM).

Từ đó, người học dễ dàng thiết lập mối liên hệ giữa \(OO', R, r\) và độ dài dây chung \(AB\) thông qua định lý Pythagore để giải toán tính toán.

Cách chứng minh hai đường tròn cắt nhau

Khi đề bài yêu cầu chứng minh vị trí tương đối, người học có thể linh hoạt sử dụng hai phương pháp sau:

Phương pháp 1: Dùng bất đẳng thức đại số

Đây là cách phổ biến và nhanh nhất trong chương trình Toán 9.

• Bước 1: Xác định rõ bán kính R, r của hai đường tròn.

• Bước 2: Tính khoảng cách hai tâm \(d = OO'\).

• Bước 3: Tính tổng \(R+r\) và hiệu \(|R-r|\).

• Bước 4: So sánh và kết luận. Nếu \(|R-r|<d<R+r\), ta suy ra hai đường tròn cắt nhau.

Phương pháp 2: Tìm giao điểm trực tiếp

Phương pháp này thường áp dụng trong mặt phẳng tọa độ hoặc khi đề bài cho sẵn các phương trình. Nếu hệ phương trình giải ra có đúng hai nghiệm phân biệt, ta kết luận đó là hai đường tròn có hai điểm chung.Tuy nhiên, cách này ít phổ biến hơn ở cấp THCS.

Bài tập về hai đường tròn cắt nhau lớp 9

Đề thi thường khai thác chủ đề này qua 3 dạng bài trọng tâm sau đây:

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối

Đề bài cho các thông số \(R, r, OO'\). Yêu cầu học sinh tính toán và đối chiếu với điều kiện bất đẳng thức để kết luận chúng cắt nhau, tiếp xúc hay không giao nhau.

Bài tập 1:

Đề bài: Cho hai đường tròn \((O; 5\text{cm})\) và \((O'; 3\text{cm})\). Biết khoảng cách hai tâm \(OO' = 6\text{cm}\). Hỏi hai đường tròn này có vị trí tương đối như thế nào?

Phân tích đề bài:

• Dữ kiện đã cho:

  • Bán kính của đường tròn tâm \(O\) là \(R = 5\) cm.

  • Bán kính của đường tròn tâm \(O'\) là \(r = 3\) cm.

  • Khoảng cách đoạn nối hai tâm (đoạn nối tâm) là \(d = OO' = 6\) cm.

• Yêu cầu bài toán: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (chúng cắt nhau, tiếp xúc hay không giao nhau).

Lời giải:

• Ta có bán kính \(R = 5\text{cm}\) và \(r = 3\text{cm}\). Khoảng cách tâm\(d = OO' = 6\text{cm}\).

• Tính tổng hai bán kính:\(R + r = 5 + 3 = 8\text{cm}\).

• Tính hiệu hai bán kính: \(R - r = 5 - 3 = 2\text{cm}\).

• Ta thấy: \(2 < 6 < 8\), tức là \(|R - r| < OO' < R + r\).

• Kết luận: Đây là hai đường tròn cắt nhau.

  

Dạng 2: Tính độ dài dây chung

Đây là dạng bài tập phổ biến nhất của hai đường tròn có hai điểm chung. Đề yêu cầu tính độ dài dây chung AB hoặc khoảng cách từ tâm đến dây chung. Phương pháp giải là gọi H là giao điểm của OO’ và AB, sau đó dùng định lý Pythagore.

Bài tập 2:

Đề bài: Cho hai đường tròn \((O; 5\text{cm})\) và \((O'; 4\text{cm})\)cắt nhau tại A và B. Biết \(OO' = 3\text{cm}\). Gọi H là giao điểm của \(OO'\) và \(AB\). Tính độ dài dây chung \(AB\).

Lời giải:

Vì \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại \(A, B\)nên \(OO'\) là đường trung trực của \(AB\). Suy ra \(OO' \perp AB\) tại \(H\), ở bài này H và O’ trùng nhau và \(AB = 2AH\).

(Giải thích thêm: Nhận thấy tam giác \(OAO'\) có \(OA^2 = OO'^2 + O'A^2\) (\(5^2 = 3^2 + 4^2\)) nên tam giác \(OAO^{\prime}\) vuông tại \(O'\). Mà đường nối tâm \(OO'\) luôn vuông góc với dây chung \(AB\) tại giao điểm \(H\), do đó điểm \(H\) bắt buộc phải trùng với tâm \(O'\)).

Xét \(\Delta OAO'\), gọi \(AH\)là đường cao tương ứng với cạnh \(OO'\). Ta có phương trình đại số liên hệ các cạnh bằng định lý Pythagore trong hai tam giác vuông \(OAH\) và \(O'AH\).

Đặt \(OH = x \implies O'H = 3 - x\)

Áp dụng Pythagore: \[AH^2 = OA^2 - OH^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2\]

Và \[AH^2 = O'A^2 - O'H^2 = 4^2 - (3 - x)^2 = 16 - (9 - 6x + x^2) = 7 + 6x - x^2\]

Suy ra: \[25 - x^2 = 7 + 6x - x^2 \Leftrightarrow 6x = 18 \Leftrightarrow x = 3\text{cm}\]

Thay \(x = 3\) vào tính \(AH\): \[AH^2 = 25 - 3^2 = 16 \implies AH = 4\text{cm}\]

Độ dài dây chung: \(AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4 = 8\text{cm}\)

Dạng 3: Tính dây chung AB của hai đường tròn bán kính bằng nhau

Với hai đường tròn có bán kính bằng nhau, đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn và vuông góc với dây chung. Dựa vào bán kính, khoảng cách hai tâm và các tam giác cân hoặc tam giác đều được tạo thành, có thể xác định các góc và tính độ dài dây chung.

Bài tập 3:

Đề bài: Cho hai đường tròn \((O; R)\) và \((O'; R)\) cắt nhau tại A và B. Biết \(OO' = R\). Hãy tính số đo các góc của tam giác \(OAB\) và tam giác \(O'AB\). Từ đó, tính độ dài dây chung AB theo R.

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Xét tam giác \(OAO^{\prime}\) và \(OBO^{\prime}\).

  • Vì \(OA = OB = R\) (bán kính) và \(OO' = R\) (giả thiết), xét tam giác \(OAO'\) có \(OA = O'A = OO' = R\), nên \(\Delta OAO'\) là tam giác đều.

  • Tương tự, \(\Delta OBO'\) cũng là tam giác đều.

• Bước 2: Xác định các góc của tam giác \(OAB\).

  • Trong \(\Delta OAO'\) đều, góc \(\widehat{AOO'} = 60^\circ\).

  • Trong \(\Delta OBO'\) đều, góc \(\widehat{BOO'} = 60^\circ\).

  • Suy ra góc \[\widehat{AOB} = \widehat{AOO'} + \widehat{BOO'} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\]

  • Tam giác \(OAB\) cân tại O (do \(OA = OB = R\)) có góc ở đỉnh \(120^\circ\), nên các góc đáy \(\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 30^\circ\).

• Bước 3: Tính độ dài dây chung AB.

  • Xét tam giác vuông \(OAH\) (H là trung điểm AB và là giao điểm của OO' với AB):

  • Ta có \[AH = OA \cdot \cos(30^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

  • Độ dài dây chung \[AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot (R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = R\sqrt{3}\]

Kết luận: Tam giác \(OAB\) có các góc là \(120^\circ, 30^\circ, 30^\circ\) và dây chung \(AB = R\sqrt{3}\).

Khép lại bài viết, học sinh cần ghi nhớ thật kỹ điều kiện cốt lõi để hai đường tròn cắt nhau là \(|R-r|<OO'<R+r\). Trong đó, R và r là bán kính hai đường tròn, còn OO′ là khoảng cách giữa hai tâm. Bên cạnh đó, cần nắm vững tính chất đường nối tâm vuông góc với dây chung tại trung điểm của dây, từ đó vận dụng linh hoạt vào các bài toán xác định vị trí tương đối, chứng minh và tính độ dài dây chung.

Đặc biệt, tính chất "Đường nối tâm là đường trung trực của dây chung" là chìa khóa vàng để phá giải 90% các bài toán tính độ dài và chứng minh hình học liên quan đến chuyên đề này. Để tiếp tục củng cố kiến thức và luyện tập thêm các bài toán hình học nâng cao chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, học sinh hãy truy cập ngay kho bài giảng chất lượng tại chuyên mục Toán 9 của ZIM Academy.