Hàm số bậc nhất | Công thức, tính chất và cách xác định Toán 8

Trong chương trình Toán 8, hàm số bậc nhất có dạng tổng quát \(y=ax+b\) với \(a\ne0\). Học sinh cần nắm được định nghĩa, tập xác định, vai trò của hệ số \(a\), đồng thời xác định hàm số bậc nhất đồng biến khi nào, nghịch biến khi nào.

Bài viết hệ thống công thức hàm số bậc nhất, cách xác định hàm số bậc nhất, điều kiện nhận biết, tính chất, đồ thị và các dạng bài tập thường gặp.

Hàm số bậc nhất là gì?

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức:

\[y = ax + b\]

Trong công thức này, \(a\) và \(b\) là các số thực cho trước (được gọi là hằng số), đồng thời đi kèm một điều kiện bắt buộc là hệ số \(a \neq 0\).

Vai trò của các đại lượng trong công thức

Để hiểu công thức \(y = ax + b\), học sinh cần nắm rõ ý nghĩa của từng thành phần:

• Đại lượng \(x\): Được gọi là biến số độc lập. Đây là giá trị đầu vào mà chúng ta có thể tùy ý thay đổi.

• Đại lượng \(y\): Được gọi là giá trị của hàm số. Nó là kết quả đầu ra, hoàn toàn phụ thuộc vào sự biến đổi của \(x\).

• Hệ số \(a\): Thường được gọi là hệ số góc. Nó có vai trò quyết định mức độ tăng giảm và độ dốc của đường thẳng khi vẽ đồ thị.

• Hệ số \(b\): Được gọi là tung độ gốc. Nó xác định vị trí cố định mà đồ thị sẽ cắt qua trục dọc của hệ tọa độ.

(Lưu ý: Nếu trường hợp hệ số \(b = 0\), công thức sẽ rút gọn thành \(y = ax\). Đây chính xác là bài toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận đã học rất kỹ ở chương trình lớp 7).

Tập xác định của hàm số bậc nhất

Với hàm số \(y=ax+b\), \(a\ne0\), biểu thức xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Vì vậy, tập xác định của hàm số bậc nhất là:

\[D=R\]

Ví dụ minh họa thực tế

Để công thức không còn khô khan, học sinh hãy cùng xét một ví dụ thực tế: Bài toán tiết kiệm tiền nuôi heo đất.

Giả sử, trong heo đất của em hiện đang có sẵn một số vốn là \(200.000\) đồng. Bắt đầu từ tháng này, em đặt mục tiêu mỗi tháng sẽ trích tiền tiêu vặt để bỏ thêm vào heo đúng \(50.000\) đồng. Hỏi tổng số tiền \(y\)(đồng) em có được trong heo đất sau \(x\) tháng sẽ được tính như thế nào?

• Cứ mỗi tháng bỏ vào \(50.000\) đồng, thì sau \(x\) tháng em tích lũy thêm được: \(50000x\)(đồng).

• Cộng với số tiền vốn \(200.000\) đồng có sẵn ban đầu, ta lập được công thức tổng quát:

  \[y = 50000x + 200000\]

Đây chính là một hàm số bậc nhất hoàn chỉnh! Trong đó, hệ số \(a = 50000\) và tung độ gốc \(b = 200000\). Chỉ cần thay số tháng (\(x\)) vào công thức, người học sẽ biết ngay mình có bao nhiêu tiền (\(y\)).

Điều kiện để một hàm số là hàm số bậc nhất

Một sai lầm rất phổ biến của nhiều bạn học sinh là cứ nhìn thấy một công thức có chứa chữ \(x\) và chữ \(y\)thì vội vàng kết luận đó là hàm bậc nhất. Thực tế, môn Toán có những nguyên tắc nhận diện .

Điều kiện bắt buộc: Hệ số a phải khác 0

Điều kiện quan trọng nhất và hay bị đưa vào các câu hỏi gài bẫy trong đề thi trắc nghiệm chính là: Hệ số \(a\) phải khác 0 (\(a \neq 0\)).

Tại sao lại có quy định này? Học sinh thử tưởng tượng, nếu chúng ta thay \(a = 0\) vào công thức, phương trình \(y = ax + b\) sẽ lập tức biến thành \(y = 0x + b\), tức là rút gọn lại chỉ còn \(y = b\). Khi đó, biến số \(x\) đã hoàn toàn biến mất khỏi công thức.

Hàm số \(y = b\) (với \(b\) là một con số cố định) được gọi là "hàm hằng". Giá trị của \(y\) lúc này không bao giờ thay đổi dù biến \(x\) có biến thiên đến mức nào đi chăng nữa. Do đó, nó không còn mang đặc trưng cơ bản của một hàm bậc nhất.

Cách nhận biết thông qua số mũ của biến x

Chữ "bậc nhất" nằm ngay trong tên gọi đã phản ánh trực tiếp bản chất của dạng hàm số này. Trong toán học, "bậc nhất" có nghĩa là biến số \(x\) trong công thức bắt buộc phải mang số mũ cao nhất là 1 (tức là \(x^1\), trong thực hành ta viết gọn là \(x\)).

Học sinh hãy nhớ biến \(x\) tuyệt đối không được vi phạm 3 điều sau đây:

1. Không được mang số mũ lớn hơn 1 (như \(x^2, x^3\)). Nếu có, nó sẽ trở thành hàm bậc hai, bậc ba.

2. Không được nằm ở vị trí dưới mẫu số (ví dụ \(\frac{1}{x}\)).

3. Không được nằm bên trong dấu căn thức (ví dụ \(\sqrt{x}\)).

Phân tích chi tiết các ví dụ đúng - sai

Để rèn luyện khả năng phản xạ, học sinh hãy cùng phân tích các ví dụ sau:

• \(y = 8x - 12\): Đây là hàm bậc nhất với hệ số \(a = 8, b = -12\).

• \(y = \frac{-1}{5}x\): Đây là hàm bậc nhất bị khuyết hệ số \(b\). Ta có \(a = \frac{-1}{5}, b = 0\).

• \(y = -x + \sqrt{2}\): Đây vẫn là hàm bậc nhất vì biến \(x\) mang bậc 1, chỉ có số \(b\) nằm trong căn. Hệ số \(a = -1, b = \sqrt{2}\).

• \(y = 3x^2 - 5\): Sai. Biến \(x\) đang mang số mũ là 2.

• \(y = \frac{4}{x} + 9\): Sai. Biến \(x\) đang nằm ở dưới mẫu số.

Hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến khi nào?

Sự thay đổi tăng hoặc giảm của một hàm số khi biến \(x\) dịch chuyển được gọi là sự biến thiên. Đối với hàm số bậc nhất, sự biến thiên này luôn đi theo một chiều duy nhất: Hoặc luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\). Tất cả phụ thuộc vào dấu của hệ số \(a\).

Hàm số đồng biến (Xảy ra khi a > 0)

Hàm số \(y = ax + b\) được gọi là đồng biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\) khi hệ số góc của nó mang giá trị dương, tức là \(a > 0\).

"Đồng biến" có nghĩa là cùng chiều biến đổi. Có thể hiểu nôm na rằng: Khi ta cho biến số \(x\)tăng dần lên, thì kết quả \(y\) tính ra cũng bắt buộc phải tăng dần theo. Và ngược lại, nếu \(x\)giảm thì \(y\) cũng giảm. Chúng đi cùng một hướng.

Chứng minh qua ví dụ cụ thể: Xét hàm số \(y = 3x - 1\) (Ta thấy hệ số \(a = 3 > 0\)).

• Cho\(x = 1\), ta tính được \(y = 3(1) - 1 = 2\).

• Cho \(x = 2\), ta tính được \(y = 3(2) - 1 = 5\).

• Cho \(x = 3\), ta tính được \(y = 3(3) - 1 = 8\).

  Rõ ràng, khi \(x\) tăng từ \(1 \rightarrow 2 \rightarrow 3\), thì giá trị \(y\) tương ứng cũng liên tục tăng từ \(2 \rightarrow 5 \rightarrow 8\). Khi vẽ trên đồ thị, hàm số đồng biến sẽ tạo ra một đường thẳng hướng đi lên (như đang leo dốc) từ trái sang phải.

Hàm số nghịch biến (Xảy ra khi a < 0)

Hàm số \(y = ax + b\) được gọi là nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\) khi hệ số góc của nó mang giá trị âm, tức là \(a < 0\).

"Nghịch biến" mang ý nghĩa là biến đổi ngược chiều nhau. Cụ thể: Khi giá trị của biến số \(x\) càng tăng lên, thì kết quả \(y\) thu được lại càng bị sụt giảm đi .

Chứng minh qua ví dụ cụ thể: Xét hàm số \(y = -2x + 4\) (Ta thấy hệ số \(a = -2 < 0\)).

• Cho \(x = 1\), ta tính được \(y = -2(1) + 4 = 2\).

• Cho \(x = 2\), ta tính được \(y = -2(2) + 4 = 0\).

• Cho \(x = 3\), ta tính được \(y = -2(3) + 4 = -2\).

  Ta thấy khi \(x\) liên tục tăng từ \(1 \rightarrow 2 \rightarrow 3\), thì \(y\) lại đi lùi, giảm liên tục từ\(2 \rightarrow 0 \rightarrow -2\). Trên đồ thị, hàm số nghịch biến sẽ hiển thị thành một đường thẳng lao dốc đi xuống từ trái sang phải.

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số bậc nhất \(y=ax+b\) là một đường thẳng. Để xác định đường thẳng này, học sinh cần nắm cách vẽ đồ thị y = ax + b dựa trên hai điểm phân biệt thuộc đồ thị.

Đặc điểm hình học của đồ thị

Đồ thị của hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) (với điều kiện \(a \neq 0\)) luôn luôn là một đường thẳng.

Đường thẳng này được chứng minh là có hai tính chất hình học cực kỳ quan trọng, luôn luôn đúng:

1. Nó luôn cắt trục tung (\(Oy\) - trục thẳng đứng) tại một điểm có tọa độ là \((0; b)\). Tung độ gốc \(b\) chính là điểm xuất phát của đồ thị trên trục dọc.

2. Nếu \(b \neq 0\), đồ thị sẽ luôn song song với đường thẳng \(y = ax\). Nếu \(b = 0\), đồ thị \(y=ax\) đi qua \(O(0;0)\). Học sinh chọn thêm một giá trị \(x\ne0\), chẳng hạn \(x=1\), để xác định điểm thứ hai \((1;a)\).

3 bước vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Dựa theo tiên đề Ơ-clit trong hình học, qua hai điểm phân biệt, ta chỉ vẽ được đúng một đường thẳng. Vì đồ thị là đường thẳng, nên chúng ta không cần tìm nhiều điểm. Học sinh chỉ cần tìm đúng 2 điểm (thường là giao điểm với 2 trục) là đủ.

• Bước 1: Tìm điểm giao cắt với trục tung \(Oy\). Học sinh hãy cho \(x = 0\), tính ra \(y = b\). Chấm một điểm đậm \(A(0; b)\)nằm ngay trên trục dọc.

• Bước 2: Tìm điểm giao cắt với trục hoành \(Ox\). Học sinh hãy cho \(y = 0\), tự giải phương trình \(ax + b = 0\) ra nháp để tìm kết quả \(x = \frac{-b}{a}\). Chấm một điểm đậm \(B(\frac{-b}{a}; 0)\) nằm trên trục ngang.

• Bước 3: Đặt thước thẳng sao cho mép thước đi qua cả hai điểm \(A\) và \(B\). Kẻ một đường thẳng xuyên qua hai điểm đó, kéo dài ra hai phía. Đường thẳng vừa kẻ chính là đồ thị hàm số.

  

Thực hành vẽ đồ thị

Yêu cầu: Hãy vẽ đồ thị của hàm số \(y = 2x - 4\) trên hệ trục tọa độ.

• Lần 1: Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 2(0) - 4 = -4\]

• Ta đánh dấu điểm \(A(0; -4)\) trên trục tung \(Oy\).

• Lần 2: Cho \[y = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\]

• Ta đánh dấu điểm \(B(2; 0)\) trên trục hoành \(Ox\).

• Dùng thước kẻ đường thẳng đi qua điểm \(A(0; -4)\) và điểm \(B(2; 0)\). Ta thu được đồ thị hàm số \(y = 2x - 4\). Đường thẳng này có hướng đi lên (vì \(a=2 > 0\) là hàm đồng biến).

Bài tập hàm số bậc nhất có lời giải

Để biến mớ lý thuyết thành kỹ năng làm bài trơn tru, học sinh cần phải luyện tập qua các dạng toán cơ bản. Dưới đây là 4 dạng bài tập cốt lõi được trích xuất và bám sát theo cấu trúc sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức.

Dạng 1: Nhận diện hàm số và xác định hệ số

Bài tập 1: Trong các biểu thức toán học dưới đây, biểu thức nào đại diện cho hàm số bậc nhất? Nếu đúng, hãy chỉ rõ hệ số góc \(a\) và tung độ gốc \(b\).

1. \(y = 12 - 5x\)

2. \(y = \frac{x}{4} + 9\)

3. \(y = \frac{15}{x}\)

4. \(y = 2(x - 3) + 10\)

Phân tích và lời giải:

• Hàm (1): Viết lại theo đúng chuẩn \(ax+b\) ta được \(y = -5x + 12\). Đây là hàm bậc nhất. Hệ số \(a = -5\), \(b = 12\).

• Hàm (2): Viết lại dưới dạng phân số \(y = \frac{1}{4}x + 9\). Đây là hàm bậc nhất. Hệ số \(a = \frac{1}{4}\), \(b = 9\).

• Hàm (3): Có ẩn số \(x\) nằm ở dưới mẫu số. Không phải hàm bậc nhất.

• Hàm (4): Phương trình chưa rút gọn. Ta nhân phân phối và thu gọn: \[y = 2x - 6 + 10 = 2x + 4\]Biến \(x\) mang bậc 1 nên đây là hàm bậc nhất. Hệ số \(a = 2, b = 4\).

Dạng 2: Tìm hệ số khi đồ thị đi qua một điểm

Bài tập 2: Hãy tìm giá trị của hệ số \(a\) trong hàm số \(y = ax + 7\). Biết rằng đồ thị của hàm số này đi qua điểm \(M(3; 13)\).

Phân tích và lời giải:

Dữ kiện đồ thị hàm số đi qua điểm \(M(3; 13)\) mang ý nghĩa vô cùng quan trọng: Khi ta thay hoành độ \(x = 3\) thì tung độ \(y\) tương ứng bắt buộc phải bằng \(13\).

Thay \(x = 3\) và \(y = 13\) vào phương trình tổng quát của hàm số đề bài cho, ta có:

\(13 = a \cdot 3 + 7\)

\(3a = 13 - 7\)

\(3a = 6 \Rightarrow a = 2\)

Vậy hệ số góc \(a\) cần tìm bằng \(2\). Phương trình hàm số hoàn chỉnh là \(y = 2x + 7\).

Dạng 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến có chứa tham số

Bài tập 3: Cho hàm số \(y = (4m - 12)x + 5\) (với đại lượng \(m\) là tham số).

a) Tìm điều kiện của tham số \(m\)để hàm số trên thỏa mãn là hàm bậc nhất.

b) Tìm điều kiện của \(m\) để hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

c) Tìm điều kiện của \(m\) để hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Phân tích và lời giải:

Hệ số góc \(a\) của hàm số này chính là toàn bộ biểu thức nằm trong ngoặc: \[a = 4m - 12\]

a) Điều kiện để tồn tại hàm bậc nhất là \(a \neq 0\).

Giải bất phương trình: \[4m - 12 \neq 0 \Rightarrow 4m \neq 12 \Rightarrow m \neq 3\]

b) Điều kiện để đồ thị đi lên (hàm số đồng biến) là \(a > 0\).

Giải bất phương trình: \[4m - 12 > 0 \Rightarrow 4m > 12 \Rightarrow m > 3\]

c) Điều kiện để đồ thị hàm số nghịch biến là \(a < 0\).

Giải bất phương trình: \[4m - 12 < 0 \Rightarrow 4m < 12 \Rightarrow m < 3\]

Dạng 4: Lập mô hình hàm số từ bài toán thực tế

Bài tập 4: Một bể chứa nước gia đình đang chứa sẵn \(500\) lít nước. Người ta mở một vòi bơm để bơm thêm nước vào bể, biết rằng công suất của vòi là mỗi phút bơm được \(25\) lít nước.

a) Hãy lập công thức tính tổng thể tích nước \(y\) (lít) có trong bể sau khoảng thời gian \(x\) phút.

b) Công thức vừa lập có phải là hàm số bậc nhất không? Nếu đúng, hãy tính lượng nước có trong bể sau khi bơm được đúng nửa giờ.

Phân tích và lời giải:

a) Số lít nước được vòi bơm thêm vào bể sau \(x\) phút là: \(25x\) (lít).

Cộng với lượng nước \(500\) lít đã có sẵn ban đầu ở dưới đáy bể, ta lập được công thức tính tổng số lít nước là:

\[y = 25x + 500\]

b) Công thức \(y = 25x + 500\) hoàn toàn khớp với định dạng \(y = ax + b\) (với hệ số \(a = 25 \neq 0, b = 500\)). Nên ta khẳng định đây chính là một hàm số bậc nhất.

Đề bài yêu cầu tính lượng nước sau nửa giờ. Ta đổi đơn vị: Nửa giờ \(= 30\) phút (tức là \(x = 30\)).

Thay \(x = 30\) vào công thức để tính giá trị của \(y\):

\[y = 25 \cdot 30 + 500\]\[y = 750 + 500 = 1250 \text{ (lít)}\]

Đáp số: Trong bể sẽ có \(1250\) lít nước.

Đi đến cuối bài viết, chắc hẳn học sinh đã thấy hàm số bậc nhất không hề phức tạp như ấn tượng ban đầu. Nó là một mảng kiến thức vô cùng lô-gíc, kết nối trực tiếp những con số toán học với các vấn đề trong đời sống thực tế xung quanh chúng ta.

Để làm chủ được chương học này, học sinh chỉ cần ghi nhớ: Công thức nền tảng \(y = ax + b\), luôn kiểm tra điều kiện \(a \neq 0\), và nhận diện nhanh quy luật đồng biến (hệ số mang dấu dương), nghịch biến (hệ số mang dấu âm).