Least Common Multiple là gì? Cách tìm và ứng dụng trong SAT® Math

Trong chương trình Toán trung học phổ thông, Least common multiple (LCM - Bội chung nhỏ nhất) thường được giới thiệu đến người học như một khái niệm số học cơ bản: tìm một số nhỏ nhất chia hết cho các số đã cho. Tuy nhiên, trong kỳ thi Digital SAT Math, LCM không chỉ dừng lại ở các câu hỏi tính toán ở cấp độ đơn giản.

Trên thực tế, LCM là công cụ bắt buộc để giải nhanh các bài toán chu kỳ (word problems), tối ưu hóa thời gian với Desmos khi xử lý các số lớn, và đóng vai trò quan trọng trong phần Passport to Advanced Math.

Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về Least Common Multiple (LCM), giúp người học hiểu đúng bản chất, phân biệt với Greatest Common Factor (Ước chung lớn nhất), ứng dụng Desmos vào giải các bài toán có chứa LCM, và áp dụng LCM chính xác khi xử lý các dạng bài khác nhau.

Least Common Multiple (LCM) là gì?

Least Common Multiple (LCM), hay Bội chung nhỏ nhất (BCNN), của hai hay nhiều số là số nguyên dương nhỏ nhất mà chia hết cho tất cả các số đó.

Ví dụ ta có:

• Các bội của 4: 4, 8, 12, 16, 20,…

• Các bội của 6: 6, 12, 18, 24,…

—> LCM(4, 6) = 12 vì 12 là số nhỏ nhất xuất hiện trong dãy bội của cả hai số.

Ví dụ này giúp người học hình dung đúng bản chất của LMC. Trên thực tế, trong Digital SAT Math, các thí sinh không cần liệt kê bội như trên.

Phân biệt Least Common Multiple với Greatest Common Factor (GCF/GCD)

Greatest Common Factor (GCF), hay còn gọi là Ước chung lớn nhất (ƯCLN), là số nguyên dương lớn nhất có thể bị chia hết bởi tất cả các số trong một nhóm số đã cho mà không để lại số dư.

Ví dụ ta có:

• Các ước của 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

• Các ước của 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

—> GCF(12,18) = 6 vì 6 là số lớn nhất xuất hiện trong dãy ước của cả hai số.

Phân biệt LCM với GCF:

Chiến thuật ghi nhớ trong phòng thi:

• Multiple (Bội) —> Bội lên —> Lớn hơn

• Factor (Ước) —> Ước xuống —> Nhỏ hơn

—> Nếu kết quả thí sinh tìm được nhỏ hơn cả các số đề cho ban đầu, thì chắc chắn không phải LCM.

Cách tìm Least common multiple (LCM) với Desmos – Phần Số học

Trong Digital SAT, Desmos không chỉ là máy tính, mà còn được xem là một công cụ chiến lược để tiết kiệm thời gian. Với các câu hỏi về LCM, việc sử dụng Desmos đúng cách có thể giúp thí sinh giải xong một số dạng bài đơn giản chỉ trong vài giây, tránh mất thời gian và loại bỏ các trường hợp phân tích thừa số nguyên tố nếu phân tích thủ công.

Cú pháp cơ bản

Desmos hỗ trợ sẵn hàm lcm() để các thí sinh có thể tính Least Common Multiple của các số nguyên.

Cú pháp chuẩn: lcm(a, b)

Trong đó: a, b là 2 số nguyên dương (positive integers).

Ví dụ: Tìm LCM của 12 và 15.

• Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố thủ công

12 = 2² × 3

15 = 5 × 3

—> LCM = 2² × 3 × 5 = 60

• Phương pháp ứng dụng Desmos

Nhập vào Desmos: lmc(12, 15) [2]

Desmos trả về kết quả: 60

Với phương pháp ứng dụng Desmos này, thí sinh có thể bỏ qua toàn bộ các bước trung gian để giảm nguy tối đa nguy cơ sai sót.

Cú pháp nâng cao: Least Common Multiple của nhiều số

Với những dạng câu hỏi thí sinh tìm LCM của nhiều hơn 2 số, việc nhập lồng nhiều hàm lại với nhau có thể gây rối cú pháp, tốn nhiều thời gian hơn, dễ dẫn đến những sai sót không đáng có.

Cách tối ưu nhất trong trường hợp này là sử dụng tính năng list trong Desmos. Ở tính năng này, Desmos cho phép truyền một danh sách các số vào hàm lcm().

Cú pháp chuẩn: lcm([a, b, c,...])

Ví dụ: Tìm LCM của 12, 15 và 20.

Nhập vào Desmos: lcm([12, 15, 20])[3]

Desmos trả về kết quả: 60

Least common multiple trong Đại số (Advanced Math)

Trong Digital SAT, Least Common Multiple (LCM) không chỉ là khái niệm số học mà còn là công cụ đại số cốt lõi để xử lý các biểu thức hữu tỉ (rational expressions). Nếu không xác định đúng LCM, thí sinh sẽ dễ quy đồng sai mẫu số, không cộng/trừ được phân thức, hoặc rút gọn nhầm biểu thức.

Vì vậy, hiểu LCM trong đại số là điều kiện cần thiết để làm tốt phần Advanced Math.

Vì sao cần tìm LCM trong Đại số?

Trong đại số, LCM được dùng chủ yếu để tìm mẫu số chung nhỏ nhất (least common denominator) khi cộng hoặc trừ các phân thức đại số.

Nguyên tắc nền tảng:

\[\dfrac{A}{B}\pm\dfrac{C}{D}\]—> Mẫu số chung = LCM (B, D)

Nếu chọn mẫu số lớn hơn LCM, thí sinh vẫn có thể giải đúng phân thức. Tuy nhiên biểu thức có thể trở nên dài và rối, dễ dẫn tới các lỗi sai không đáng có, đồng thời gây tốn thời gian không cần thiết trong phòng thi.

LCM của Đơn thức (Monomials)

Khi mẫu số là đơn thức, LCM được tìm bằng cách kết hợp LCM của hệ số, và số mũ lớn nhất của mỗi biến.

Các bước chuẩn SAT:

• Bước 1: Hệ số (numerical coefficients)

Tìm LCM của các hệ số số học (có thể dùng Desmos).

• Bước 2: Biến (variables)

Với mỗi biến, chọn số mũ lớn nhất xuất hiện.

Ví dụ:

Tìm LCM của: 4x²y và 6xy³

• Bước 1: Hệ số

Ta có LCM(4, 6) = 12 [4]

Bước 2: Biến

• x² và x —> chọn x²

• y và y³ —> chọn y³

—> LCM = 12x² y³

Lưu ý:

• Chọn số mũ lớn nhất vì LCM phải chia hết tất cả các đơn thức.

• Đây là logic ngược lại với GCF.

LCM của Đa thức (Polynomials)

Khi mẫu số là đa thức, thí sinh không thể chỉ nhìn hệ số và số mũ. Thí sinh cầ phân tích đa thức thành nhân tử (factoring) và xác định LCM dựa trên các nhân tử.

Các bước chuẩn SAT:

• Bước 1: Factoring

Phân tích mỗi đa thức thành tích các nhân tử đơn giản nhất.

• Bước 2: Chọn nhân tử

Lấy tất cả các nhân tử xuất hiện, sau đó với mỗi nhân tử, chọn số mũ cao nhất.

Ví dụ 1:

Tìm LCM của (x - 1) và (x² - 1)

Bước 1: Factoring

(x² - 1) = (x - 1)(x + 1)

Bước 2: Chọn nhân tử

Nhân tử cần có (x - 1) và (x + 1)

—> LCM = (x - 1)(x + 1) = (x² - 1)

Ví dụ 2:

Cộng hai phân thức

\[\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x^2-4}\]Bước 1: Factoring mẫu số

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

Bước 2: Chọn nhân tử

Mẫu số chung = LCM = (x - 2)(x + 2)

—> Mẫu số chung nhỏ nhất là LCM, không phải tích tùy ý.

LCM và cộng/trừ phân thức đại số

Sau khi tìm được LCM, quy trình cộng/trừ phân thức là:

Bước 1: Xác định LCM của các mẫu số

Bước 2: Nhân mỗi phân thức với nhân tử cần thiết để đạt mẫu số chung

Bước 3: Cộng/trừ tử số

Bước 4: Rút gọn (nếu có thể)

Ví dụ:

\[\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{x^{}+1}\]Bước 1:

Xác định mẫu số chung = LCM = (x - 1)(x + 1)

Bước 2: Quy đồng

\[\dfrac{2(x+1)-1(x-1)}{(x+1)(x-1)}\]Bước 3: Cộng/trừ tử số

\[\dfrac{2(x+1)-1(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{2x+2-x+1}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{x+3}{x^2-1}\] Lưu ý:

• Không được triệt tiêu khi chưa factoring xong.

• Mọi phép triệt tiêu đều dựa trên nhân tử chung.

LCM và điều kiện xác định (Restrictions)

Digital SAT đôi khi kiểm tra hiểu biết sâu hơn của thí sinh bằng cách hỏi giá trị không xác định của biểu thức.

Nguyên tắc: Các giá trị làm LCM = 0 (tức các giá trị làm mẫu số chung bằng 0) phải bị loại.

Ví dụ:

\[\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x^{}+2}\]—> LCM = (x − 2)(x + 2)

—> Điều kiện để biểu thức xác định là x khác giá trị 2 và -2.

Tóm tắt tư duy LCM trong Đại số

• LCM = mẫu số chung nhỏ nhất

• Đơn thức —> LCM hệ số + số mũ lớn nhất

• Đa thức —> factoring trước, chọn đủ nhân tử

• LCM giúp quy đồng nhanh, gọn, ít sai

• Xác định LCM kỹ năng quan trọng trong Advanced Math

Dạng bài toán đố về Least Common Multiple (LCM) – Word Problems

Trong Digital SAT, LCM rất hiếm khi xuất hiện dưới dạng “Hãy tìm LCM của…”. Thay vào đó, nó thường được ẩn trong các bài toán đố thực tế (word problems) liên quan đến chu kỳ, sự lặp lại và tính “đồng thời”.

Vì vậy, kỹ năng quan trọng nhất ngoài tính LCM, thí sinh còn cần nhận diện đúng dạng bài để biết khi nào phải dùng LCM.

Tư duy cốt lõi của bài toán Least Common Multiple

Mọi bài toán LCM dạng word problem đều xoay quanh một ý tưởng chung: Nhiều sự kiện xảy ra theo chu kỳ khác nhau, và câu hỏi yêu cầu thời điểm/giá trị nhỏ nhất mà tất cả các sự kiện đó xảy ra cùng lúc.

Thí sinh sẽ thường xuyên thấy sự xuất hiện của các từ khóa: smallest, first time, together again,… ở các dạng câu hỏi yêu cầu xác định LCM.

Từ khóa nhận diện Least Common Multiple (Keywords)

Khi đọc đề Digital SAT, nếu thí sinh thấy một hoặc nhiều từ/cụm từ sau, hãy nghĩ ngay đến LCM:

1. Từ khóa về “đồng thời”

• Simultaneously (đồng thời)

• At the same time

• Together again

• Coincide/occur together

Ý nghĩa: Nhiều sự kiện trùng nhau tại cùng một thời điểm.

Ví dụ: Alarm A sounds every 10 minutes, and Alarm B sounds every 15 minutes. If both alarms sound simultaneously at 9:00 a.m., after how many minutes will they next sound at the same time?

2. Từ khóa về “nhỏ nhất / lần đầu”

• Smallest number divisible by…

• First time / next time

• The least amount of time

• Minimum number of…

—> Ý nghĩa: LCM luôn gắn với giá trị nhỏ nhất thỏa mãn nhiều điều kiện chia hết.

Ví dụ: What is the smallest positive integer that is divisible by both 14 and 21?

3. Bối cảnh quen thuộc trong đề SAT

• Chu kỳ đèn giao thông, đèn nháy

• Người chạy quanh sân vận động

• Lịch trực nhật, lặp lại công việc

• Sự kiện diễn ra sau mỗi n phút, k giờ, k ngày

Ví dụ: Group A cleans the classroom every 6 days, and Group B cleans it every 9 days. If both groups clean the classroom today, after how many days will they clean it together again?

Phân biệt Least Common Multiple với các dạng dễ nhầm

1. LCM vs Cộng chu kỳ (Addition)

• Sai tư duy phổ biến

Đèn A: 4 giây

Đèn B: 6 giây

—> 4 + 6 = 10

• Lý do sai: Chu kỳ không cộng với nhau, vì các sự kiện chạy song song, không nối tiếp.

• Tư duy đúng: Tìm thời điểm đầu tiên cả hai chu kỳ trùng nhau —> LCM(4, 6)

2. LCM với GCF

• LCM: khi hỏi khi nào cùng xảy ra

• GCF: khi hỏi chia đều, nhóm lớn nhất

Trong các bài toán đố thực tế, nếu đề hỏi:

• “How often do they meet again?” —> LCM

• “What is the greatest number of groups?” —> GCF

Ví dụ minh họa cơ bản

Ví dụ 1: Đèn A nháy mỗi 4 giây, đèn B nháy mỗi 6 giây. Cả hai cùng nháy tại thời điểm ban đầu. Sau bao lâu chúng cùng nháy lần tiếp theo?

Phân tích:

• Hai sự kiện lặp lại theo chu kỳ khác nhau

• Câu hỏi hỏi thời điểm nhỏ nhất tiếp theo

—> Dạng bài LCM

Giải: Xác định LCM(4, 6) = 12

—> Đáp án: Đèn A và đèn B cùng nháy lần tiếp theo sau 12 giây

Ví dụ 2: Một học sinh A chạy quanh sân vận động mất 8 phút cho mỗi vòng. Học sinh B mất 12 phút cho mỗi vòng. Nếu cả hai bắt đầu cùng lúc tại vạch xuất phát, sau bao lâu họ lại cùng gặp nhau tại vạch xuất phát?

Phân tích:

• Chạy theo chu kỳ

• “Lại cùng gặp nhau” —> together again

—> Dạng bài LCM

Giải: Xác định LCM(8, 12) = 24

—> Đáp án: A và B gặp lại nhau tại vạch xuất phát sau 24 phút.

Bài tập thực hành

Question 1: Find the least common multiple of 8 and 12. [1]

Question 2: What is the LCM of 15 and 20? [1]

Question 3: Find the least common multiple of 6, 10, and 15. [1]

Question 4: A bell rings every 12 minutes, and another bell rings every 18 minutes. If both bells ring at the same time now, after how many minutes will they ring together again? [1]

Question 5: What is the smallest positive integer that is divisible by 9, 12, and 18? [1]

Question 6: Find the least common multiple of 4x²y and 6xy³ [1]

Question 7: A traffic light on Main Street turns green every 24 seconds, while a traffic light on Oak Street turns green every 36 seconds. If both lights turn green at the same time, after how many seconds will they next turn green simultaneously? [1]

Question 8: Announcement A plays every 15 minutes, and Announcement B plays every 20 minutes. If both announcements play at 8:00 a.m., at what time will they next play together? [1]

Question 9: A factory packs cookies in boxes of 18, and another product in boxes of 24. What is the smallest number of cookies that can be packed using both box sizes with no leftovers? [1]

Question 10: Playlist A repeats every 45 minutes, and Playlist B repeats every 60 minutes. If both start playing at the same time, after how many minutes will they start playing again simultaneously? [1]

Answers

Question 1:

Prime factorization

8 = 2³

12 = 2² × 3

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2³ × 3 = 24

—> Answer: LCM = 24

Exercise 2:

Prime factorization

15 = 3 × 5

20 = 2² × 5

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2² × 3 × 5 = 60

—> Answer: LCM = 60

Exercise 3:

Prime factorization

6 = 2 × 3

10 = 2 × 5

15 = 3 × 5

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2 × 3 × 5 = 30

—> Answer: LCM = 30

Question 4:

Prime factorization

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2² × 3² = 36

—> Answer: The bells will ring together again in 36 minutes.

Question 5:

Prime factorization

9 = 3²

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2² × 3² = 36

—> Answer: LCM = 36

Question 6:

Prime factorization

4x²y = 2² × x² × y

6xy³ = 2 × 3 × x × y³

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2² × 3 × x² × y³ = 12x²y³

—> Answer: LCM = 12x²y³

Exercise 7:

Prime factorization

24 = 2³ × 3

36 = 2² × 3²

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2³ × 3² = 72

—> Answer: The lights will turn green simultaneously after 72 seconds.

Question 8:

Prime factorization

15 = 3 × 5

20 = 2² × 5

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2² × 3 × 5 = 60

—> Answer: The announcements will play together at: 8:00 am + 60 minutes = 9:00 am.

Question 9:

Prime factorization

18 = 2 × 3²

24 = 2³ × 3

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2³ × 3² = 72

—> Answer: 72 is the smallest number of cookies that can be packed using both box sizes with no leftovers

Question 10:

Prime factorization

45 = 3² × 5

60 = 2² × 3 × 5

Take each prime factor with the highest exponent:

—> LCM = 2² × 3² × 5 = 180

—> Answer: The playlists will play simultaneously again in 180 minutes (3 hours). If they start at 0:00, then again at 3:00.

Bài viết có sự hỗ trợ của trí tuệ nhân tạo (AI) trong quá trình xây dựng nội dung ví dụ minh họa. Tác giả chịu trách nhiệm hoàn toàn về tính chính xác của nội dung bài viết.

Đọc thêm: Cách làm dạng bài Operations with rational expressions trong SAT Math

Kết luận

Trong Digital SAT, xác định Least Common Multiple (LCM) là một kỹ năng nền tảng nhưng có ảnh hưởng trực tiếp đến tốc độ và độ chính xác khi làm bài, đặc biệt ở các câu cộng/trừ phân thức đại số và word problems về chu kỳ lặp. Việc hiểu đúng bản chất LCM và biết áp dụng linh hoạt bằng Desmos giúp thí sinh xử lý các bài toán tưởng chừng phức tạp chỉ trong vài bước ngắn gọn.

Tuy nhiên, để sử dụng LCM thuần thục trong mọi ngữ cảnh SAT, từ số học, đại số đến các bài toán ứng dụng, thí sinh cần được luyện tập có định hướng, tiếp xúc với các dạng bài nâng cao và tránh những bẫy thường gặp của đề thi Digital SAT Math.

Nếu người học đang ôn luyện Digital SAT và muốn nâng cao kỹ năng toán học một cách hệ thống, các khóa luyện thi Digital SAT tại ZIM Academy sẽ giúp người họ:

• Rèn phản xạ nhận diện nhanh dạng bài Least Common Multiple

• Thành thạo Desmos trong điều kiện thi thật

• Làm chủ các dạng toán Passport to Advanced Math có độ khó cao

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.