Cách làm dạng bài Operations with rational expressions trong SAT® Math

Trong phần Advanced Math của bài thi SAT, một trong những dạng bài quan trọng mà thí sinh thường gặp là Operations with Rational Expressions. Dạng bài này yêu cầu thí sinh thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia trên các biểu thức phân thức. Điều này không chỉ kiểm tra khả năng xử lý đại số mà còn đánh giá kỹ năng tư duy logic.

Mục đích của bài viết là giới thiệu dạng bài này, cung cấp hướng dẫn chi tiết cách làm bài, kèm theo các bài tập ứng dụng giúp thí sinh làm quen với những kỹ thuật cần thiết để giải quyết hiệu quả. Qua đó, thí sinh sẽ có cái nhìn tổng quan về cách tiếp cận và xử lý các bài toán liên quan đến biểu thức phân thức, từ đó nâng cao khả năng làm bài trong kỳ thi SAT.

Tổng quan về dạng bài Operations with rational expressions

Trong bài thi SAT, dạng bài "Operations with Rational Expressions" tập trung vào việc đánh giá khả năng hiểu và thao tác với các biểu thức đại số có chứa phân thức. Biểu thức đại số có chứa phân thức không chỉ đơn thuần là một phần của toán học mà còn đại diện cho việc chia một đa thức này cho một đa thức khác. Thí sinh sẽ thường gặp các câu hỏi yêu cầu thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia giữa các phân thức. Để giải quyết những câu hỏi này, học sinh cần nắm vững quy tắc về tìm bội chung nhỏ nhất và yếu tố chung lớn nhất, cũng như cách rút gọn và đơn giản hóa các biểu thức. Ngoài ra, các câu hỏi có thể bao gồm việc viết lại các biểu thức phân thức dưới dạng thương và số dư.

Chiến lược làm bài dạng bài Operations with rational expressions trong SAT Math

Nắm vững thuật ngữ thường được sử dụng trong dạng bài Operations with rational expressions

• Rational function (Hàm phân thức)

• Rational Expression (Biểu thức phân thức)

• Numerator (Tử số)

• Denominator (Mẫu số)

• Simplification (Rút gọn)

• Common Factor (Yếu tố chung)

• Least Common Denominator (Bội chung nhỏ nhất - BCNN)

• Addition/Subtraction (Cộng/Trừ)

• Multiplication (Nhân)

• Division (Chia)

• Quotient (Thương)

• Remainder (Số dư)

• Undefined (Không xác định)

• Polynomial (Đa thức)

• Factoring (Phân tích)

• Evaluating (Tính giá trị)

Nắm vững khái niệm cơ bản trong dạng bài Operations with rational expressions

Việc nắm vững khái niệm cơ bản là bước đầu tiên và quan trọng nhất để thành công trong các bài toán liên quan đến biểu thức phân thức. Dưới đây là những nội dung chính cần chú ý:

1. Định nghĩa biểu thức phân thức:

Biểu thức phân thức là một biểu thức có dạng \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)​, trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức. Ví dụ, \(\dfrac{x^2+3x+2}{x+1}\)​ là một biểu thức phân thức. Trong biểu thức này, phần trên được gọi là tử số (Numerator), còn phần dưới gọi là mẫu số (Denominator)

2. Quy tắc cơ bản về phân số:

• Cộng và trừ: Để thực hiện phép cộng hoặc trừ hai phân thức, cần tìm bội chung nhỏ nhất (lowest common multiple) của mẫu số (Denominator). Ví dụ, đối với hai phân thức \(\frac{1}{x+2}\) và \(\frac{2}{x-2}\)​, BCNN là (x+2)(x−2)

• Nhân: Nhân hai phân thức rất đơn giản, chỉ cần nhân tử với tử và mẫu với mẫu. Ví dụ, \(\frac23\times\frac45=\frac{8}{15}\)

• Chia: Khi chia hai phân thức, cần nhân phân thức đầu tiên với nghịch đảo của phân thức thứ hai. Chẳng hạn, \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\)

3. Rút gọn biểu thức:

• Phân tích đa thức: Biết cách phân tích các đa thức bậc hai và bậc cao hơn sẽ giúp rút gọn nhanh hơn.

• Tìm yếu tố chung giữa tử số và mấu số: Rút gọn một biểu thức phân thức bằng cách phân tích tử và mẫu số thành các yếu tố. Ví dụ, \(\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}=x+1\), với điều kiện x≠1.

4. Điều kiện không xác định:

• Tránh chia cho 0: Xác định các giá trị của biến mà mẫu số bằng 0 là rất quan trọng, vì biểu thức sẽ không xác định tại những giá trị này. Nếu mẫu số là x−2, cần lưu ý rằng x≠2

• Giá trị hợp lệ: Luôn theo dõi các điều kiện này khi làm bài để đảm bảo rằng các phép toán được thực hiện hợp lệ.

Nắm vững dạng câu hỏi và công thức có trong bài Operations with rational expressions

Rút gọn phân thức

Bước 1: Giá trị hợp lệ

• Nhận diện tử số (phần trên của phân thức) và mẫu số (phần dưới của phân thức).

Bước 2: Phân tích tử số và mẫu số

• Phân tích cả tử số và mẫu số thành các yếu tố. Sử dụng các phương pháp như phân tích đa thức bậc hai, tìm yếu tố chung lớn nhất (ƯCLN), hoặc sử dụng công thức nghiệm.

Bước 3: Tìm yếu tố chung

• Xác định các yếu tố chung giữa tử số và mẫu số. Những yếu tố này có thể được rút gọn.

Bước 4: Rút gọn

• Loại bỏ các yếu tố chung từ tử số và mẫu số. Đảm bảo rằng bạn không làm mất đi điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 5: Kiểm tra kết quả

• Xem xét kết quả cuối cùng để đảm bảo rằng bạn đã rút gọn đúng cách và không bỏ sót bất kỳ điều kiện nào (ví dụ, mẫu số không được bằng 0).

Bước 6: Xác định điều kiện không xác định

• Xác định các giá trị của biến mà mẫu số bằng 0 để biết các giá trị không hợp lệ cho biểu thức.

Bước 7: Viết kết quả cuối cùng

• Ghi lại biểu thức đã rút gọn và các điều kiện cần thiết cho biến.

  Ví dụ minh họa: \(\frac{(x^2-4)}{(x^2-4x)}\)

Thực hiện các bước:

1. Phân tích:

   • Tử số: \(x^2−4 = (x−2)(x+2)\)

   • Mẫu số: \( x^2−2x = x(x−2)\)

2. Tìm yếu tố chung:

   • Yếu tố chung: x−2

3. Rút gọn: \(\frac{[(x-2)(x+2)]}{[x(x-2)]}=\frac{(x+2)}{x}\) với (x≠2)

4. Điều kiện không xác định:

   • Mẫu số bằng 0 khi x=0 hoặc x=2

5. Kết quả cuối cùng:

   • Kết quả rút gọn: \(\frac{(x+2)}{x}\)​ với điều kiện x≠0,2.

Cộng trừ biểu thức phân thức cùng mẫu số

Bước 1: Xác định mẫu số

• Kiểm tra xem các biểu thức hữu tỉ có cùng mẫu số hay không. Nếu mẫu số giống nhau, bạn có thể tiếp tục.

Bước 2: Ghi lại mẫu số

• Giữ nguyên mẫu số khi thực hiện phép cộng hoặc trừ. Mẫu số chung sẽ là mẫu số đã cho.

Bước 3: Cộng hoặc trừ tử số

• Cộng hoặc trừ các tử số với nhau:

  • Nếu là phép cộng: \(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{(a+b)}{c}\)

  • Nếu là phép trừ: \(\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{(a-b)}{c}\)

Bước 4: Rút gọn tử số

• Nếu có thể, hãy rút gọn tử số sau khi thực hiện phép toán. Phân tích tử số để tìm yếu tố chung và loại bỏ chúng.

Bước 5: Kiểm tra điều kiện không xác định

• Đảm bảo rằng mẫu số không bằng 0. Xác định các giá trị của biến mà mẫu số có thể bằng 0 để biết các giá trị không hợp lệ.

Bước 6: Viết kết quả cuối cùng

• Ghi lại biểu thức kết quả sau khi đã thực hiện phép cộng hoặc trừ và rút gọn nếu cần.

Ví dụ minh họa:

• Biểu thức: \(\frac{2x}{(x+3)}+\frac{3x}{(x+3)}\)

• Thực hiện các bước:

  1. Xác định mẫu số: Mẫu số là x+3, và nó giống nhau cho cả hai phân thức.

  2. Ghi lại mẫu số: Giữ nguyên mẫu số là x+3.

  3. Cộng tử số: \(\frac{(2x+3x)}{(x+3)}=\frac{5x}{(x+3)}\)

  4. Rút gọn: Trong trường hợp này, tử số không thể rút gọn thêm.

  5. Kiểm tra điều kiện không xác định: Mẫu số không được bằng 0, tức là x+3≠0 hay x≠−3

  6. Kết quả cuối cùng: \(\frac{5x}{(x+3)}\) với (x≠−3)

Cộng trừ biểu thức phân thức khác mẫu số

Bước 1: Xác định mẫu số

• Nhận diện mẫu số của từng phân thức. Nếu mẫu số khác nhau, bạn cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của chúng.

Bước 2: Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN)

• Tìm BCNN của các mẫu số. BCNN sẽ là mẫu số chung mà bạn sẽ sử dụng để thực hiện phép cộng hoặc trừ.

Bước 3: Đưa các phân thức về mẫu số chung

• Điều chỉnh cả hai phân thức để chúng có cùng mẫu số. Thực hiện điều này bằng cách nhân tử số và mẫu số với các yếu tố cần thiết:

  • Nếu bạn có \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\), thì bạn sẽ quy đồng chúng về mẫu số chung là BCNN của 𝑏 và 𝑑.

Bước 4: Cộng hoặc trừ tử số

• Sau khi đã có cùng mẫu số, bạn có thể cộng hoặc trừ các tử số:

  • Nếu là phép cộng: \(\frac{a_1}{m} + \frac{a_2}{m} = \frac{a_1 + a_2}{m}\)

  • Nếu là phép trừ: \(\frac{a_1}{m} - \frac{a_2}{m} = \frac{a_1 - a_2}{m}\)

Bước 5: Rút gọn tử số

• Sau khi thực hiện phép toán, kiểm tra xem tử số có thể rút gọn được không.

Bước 6: Kiểm tra điều kiện không xác định

• Đảm bảo rằng mẫu số không bằng 0. Xác định các giá trị của biến mà mẫu số có thể bằng 0.

Bước 7: Viết kết quả cuối cùng

• Ghi lại biểu thức kết quả sau khi đã thực hiện phép cộng hoặc trừ và rút gọn nếu cần.

Xem thêm chiến thuật làm dạng bài: Operations with polynomials

Bài tập vận dụng

Bài tập 1

Question 1: If x≠3, which of the following is equivalent to \(\frac{x^2-9}{x-3}+\frac{6}{x-3}\)?

A) x + 3
B) \(\frac{(x + 3)(x + 2)}{x - 3}\)
C) \(\frac{x + 6}{x - 3}\)
D) x + 2

Question 2: If y≠−2, which of the following is equivalent to \(\frac{y^2+2y}{y+2}-\frac{4}{y+2}\)?

A) y - 2
B) \(\frac{y(y + 2)}{y + 2}\)
C) \(\frac{y^2 - 2}{y + 2}\)
D) y

Question 3: If m≠1, which of the following is equivalent to \(\frac{m^2-1}{m-1}+\frac{2}{m-1}\)?

A) m + 1
B) \(\frac{(m + 1)(m + 2)}{m - 1}\)
C) m + 2
D) \(\frac{m + 1}{m - 1}\)

Question 4: If b≠±2b, which of the following is equivalent to \(\frac{b}{b^2-4}-\frac{1}{b+2}\)?

A) \(\frac{1}{b - 2}\)
B) \(\frac{b - 1}{b^2 - 4}\)
C) \(\frac{1}{b + 2}\)
D) \(\frac{1}{b - 2}\)

Question 5: If d≠±4d, which of the following is equivalent to \(\frac{d}{d^2 - 16} - \frac{1}{d - 4}\)?

A) \(\frac{1}{d + 4}\)
B) \(\frac{d - 1}{d^2 - 16}\)
C) \(\frac{1}{d - 4}\)
D) \(\frac{1}{d + 4}\)

Bài tập 2

Question 1: If \(f(x) = \frac{1}{(x - b)^2 - 9}\) is undefined when x=4x=4, what is the value of b?

Question 2:

\[\frac{1}{x+3}-\frac{3}{x}=\frac{2}{x^2+3x}\]What is the solution set of the equation above?

A) −3
B) 0
C) 3
D) There is no solution to the equation

Question 3:

\[\frac{2}{x-1}+\frac{5}{x+2}=\frac{3}{x^2+x-2}\]What is the solution set of the equation above?

A) −2
B) 1
C) 2
D) There is no solution to the equation.

Question 4:

\[\frac{x+3}{x-2}=\frac{x-1}{x+4}\]What is the solution set of the equation above?

A) −4
B) 1
C) 2
D) −3

Question 5:

\[\frac{2x}{x+1}=\frac{x-3}{x-2}\]What is the solution set of the equation above?

A) 1
B) 2
C) 3
D) −1

Bài tập 3

Question 1: Which of the following describes what 1 x represents in the above equation?

A) The portion of the job that the painter can finish in one day.
B) The portion of the job that the assistant can finish in one day.
C) The portion of the job that the painter and assistant together can finish in one day.
D) The portion of the job that the painter and assistant together can finish in four days.

Question 2: Three printers A, B, and C, working together at their respective constant rates, can finish a job in 4.5 hours. Printers A and B, working together, can finish the same job in 6 hours. How many hours will it take printer C, working alone, to finish the job?

A) 12.5
B) 14
C) 16.5
D) 18

Question 3: Mike can do a job in 48 minutes. If his brother helps him, it takes them 32 minutes. How many minutes does it take Mike’s brother to do the job alone?

A) 72
B) 80
C) 96
D) 102

Question 3: James can do a job in 8 hours and Peter can do the same job in 5 hours. If they finished 13 25 of the job by working together, how long did they work together?

A) 1 hour 24 minutes
B) 1 hour 36 minutes
C) 1 hour 48 minutes
D) 2 hours 8 minutes

Đọc tiếp: Cách làm dạng bài Nonlinear functions trong SAT® Math & bài tập

Tổng kết

Bài viết trên đã giới thiệu tổng quan về dạng bài Operations with Rational Expressions, cung cấp hướng dẫn chi tiết về chiến thuật làm bài, kèm theo các bài tập ứng dụng. Hy vọng rằng với nội dung trên, người học có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình ôn luyện.

Để chinh phục bài thi SAT Digital, thí sinh cần trang bị tư duy logic và chiến lược giải toán hiệu quả. “Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies” là tài liệu hỗ trợ đắc lực, giúp hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện kỹ năng suy luận và nâng cao khả năng giải quyết các dạng toán trong bài thi. Với cách tiếp cận rõ ràng và khoa học, cuốn sách là công cụ hữu ích cho quá trình ôn luyện. Đọc thử tại đây.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.