Operations with polynomials trong SAT Math: Cách làm và bài tập

Kỳ thi SAT đang dần trở nên phổ biến vì một số trường đại học yêu cầu chứng chỉ này trong hồ sơ du học, đặc biệt là du học Mỹ. Không giống như những kỳ thi khác như IELTS, TOEIC, PTE,…, kỳ thi SAT có phần thi Math, và đây cũng là phần thi đầy thử thách đối với một số người học. Để cung cấp kiến thức và hỗ trợ người học sâu hơn, bài viết dưới đây sẽ giới thiệu một dạng bài trong SAT Math là Operations with Polynomials cùng với cách làm bài, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.

Tổng quan về dạng bài Operations with polynomials trong SAT Math

Operations with polynomials (Các phép toán với đa thức) là một dạng toán thường gặp trong phần Advanced Math của đề thi SAT Math. Dạng toán này kiểm tra khả năng của thí sinh trong việc thực hiện các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia đa thức, cũng như khả năng phân tích đa thức thành nhân tử

Trong đề thi SAT Math, dạng bài "Operations with Polynomials" có thể xuất hiện ở cả hai phần: phần có sử dụng máy tính (calculator section) và phần không được sử dụng máy tính (no calculator section).

• Section không sử dụng máy tính: Các bài toán trong phần này thường là phép tính cơ bản hoặc trung bình với đa thức, bao gồm cộng, trừ, nhân, và phân tích đa thức. Thí sinh cần nắm vững các quy tắc thao tác với đa thức và có khả năng thực hiện tính toán thủ công, không cần máy tính .

• Section có sử dụng máy tính: thí sinh thực hiện các phép toán phức tạp hơn với đa thức mà có thể yêu cầu sử dụng máy tính để hỗ trợ tính toán. Tuy nhiên, các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, và chia đa thức vẫn được áp dụng.

Chiến lược làm bài dạng bài Operations with polynomials

Các bài toán dạng này xoay quanh các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, đa thức. Vì vậy, người học cần nắm rõ các quy tắc khi làm các phép tính này. Kiến thức này có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa Toán lớp 7, 8 của Bộ Giáo dục Việt Nam.

Trước tiên, người học cần biết đa thức là gì. Một biểu thức đa thức là biểu thức có một hoặc nhiều số hạng với hệ số, cơ số biến và số mũ [1].

Đối với cộng/ trừ đa thức

Khi cộng trừ đa thức, chỉ cộng các hạng tử đồng dạng (like terms), nghĩa là các hạng tử có cùng biến (variable base) và cùng số mũ (exponent). Thực hiện phép tính cộng bằng cách cộng hệ số (coffiencient) của các hạng tử đồng dạng, giữ nguyên biến và số mũ. Kết quả cuối cùng thường được xếp ở dạng số mũ giảm dần. 

Ví dụ:  

\[5x^3+x^3+2x^2-4=x^3\left(5+1\right)+2x^2-4=6x^3+2x^2-4\]

Ta thấy đa thức trên có 2 hạng tử đồng dạng là 5x³và x³ (có cùng số mũ là 3 và biến x). Nhóm 2 hạng tử này với nhau, ta có: x³.(5+1). Như vậy, phép cộng có kết quả, 6x³.

Thực hiện tương tự với phép trừ, tuy nhiên, người học hãy nhớ đổi dấu trong dấu ngoặc cho các hạng tử. 

Ví dụ: 

\[\left(2x^2+4x\right)-\left(6x^2-3x\right)=2x^2+4x-6x^2+3x=-4x^2+7x\]

Đối với nhân đa thức

Khi nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với lần lượt từng hạng tử của đa thức kia. Khi nhân hạng tử, ta nhân hệ số, đồng thời cộng số mũ. 

Tiếp theo, người học cộng/ trừ các số hạng cùng dạng với nhau. Kết quả cuối cùng thường được xếp ở dạng số mũ giảm dần. 

Ví dụ: 

\[\left(3x^2+2x\right).\left(x+5\right)=3x^3+15x^2+2x^2+10x=3x^3+17x^2+10x\]

Một số phép tính đa thức sẽ trở nên phức tạp hơn khi có hai biến số (x và y). Tuy nhiên, người học vẫn áp dụng quy tắc giống nhau.

Ví dụ:

\[\left(x^2y-3y^2+5xy^2\right)-\left(-x^2y+3xy^2-3y^2\right)\]\[=x^2y-3y^2+5xy^2+x^2y-3xy^2+3y^2\]\[=2x^2y+2xy^2\]

Đối với chia đa thức

Khi chia một đa thức cho một đa thức, người học thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự số mũ giảm dần của biến

• Bước 2: Lấy hạng tử đầu tiên của đa thức bị chia chia cho hạng tử đầu tiên của đa thức chia.

• Bước 3: Lấy kết quả có được ở bước 2 nhân với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó.

• Bước 4: Lấy hạng tử có số mũ cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử đầu tiên của đa thức chia.

• Bước 5: Lấy kết quả ở bước 4 nhân với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia số hai (kết quả của bước 3) trừ đi tích đó

  Tiếp tục làm như vậy cho đến khi nhận được hiệu là đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

Ví dụ: \[\left(x^3-x^2+3x-3\right):\left(x-1\right)\]Bước 1: các hạng tử ở đa thức bị chia và đa thức chia đã đều được xếp theo thứ tự số mũ giảm dần.

Bước 2: Lấy số hạng đầu tiên của đa thức bị chia (x³) chia có số hạng đầu tiên của đa thức chia (x)

\[x^3:x=x^{\left(3-1\right)}=x^2\]Bước 3: Lấy kết quả có được ở bước 2 (x²) nhân với đa thức chia (x-1)

\[x^2\cdot\left(x-1\right)=\left(x^2\cdot x\right)-\left(x^2\cdot1\right)=x^3-x^2\]rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó

\[\left(x^3-x^2+3x-3\right)-\left(x^3-x^2\right)=3x-3\]Bước 4: Lấy hạng tử có số mũ cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử đầu tiên của đa thức chia.

\[3x:x=3\]Bước 5: Lấy kết quả ở bước 4 (3) nhân với đa thức chia (x-1) \[3\cdot\left(x-1\right)=3x-3\]rồi lấy đa thức bị chia số hai (kết quả của bước 3) trừ đi tích đó

\[\left(3x-3\right)-\left(3x-3\right)=0\]Vậy kết quả cuối cuàng là x²-3 với số dư = 0.

Giải thích một số yêu cầu trong đề bài

Người học có thể sẽ gặp dạng bài Operations with polynomials dưới những yêu cầu khác nhau như:

1. Which expression is equivalent to […]

   Đề bài này yêu cầu người học rút gọn đa thức hết mức có thể bằng các phép tính.

2. Which of the following is the sum of […] and […]

   Đề bài này yêu cầu người học tính tổng bằng cách thực hiện phép tính cộng.

3. If […] = […], what is the value of A?

   Đề bài này yêu cầu người học thực hiện các phép tính để tìm giá trị của A.

4. In the equation above, a and b are constants. What is the value of (ab)?

   Đề bài này yêu cầu người học rút gọn đa thức và tìm giá trị a, b tương ứng rồi thực hiện các phép tính yêu cầu (ví dụ: a+b, a.b,…).

Xem thêm: Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

1. Which of the following is the sum of (4x + 3) and (2x² + 2x - 3)

A. 2x² + 6x
B. 2x² + 6x + 6
C. 2x² + 2x
D. 2x² + 2x + 6

2. Which of the following is the sum of

\[\left(-4x+4x^3+7\right)+\left(3x^2-9-3x\right)\]A. 4x³ - 3x² - 7x - 2
B. 4x³ + 3x² - 7x - 2
C. 4x³ + 3x² - x - 2
D. 4x³ - 3x² - x + 2

3. Which expression is equivalent to \[\left(8x^2-3x\right)-\left(5x-5-8x^2\right)\]A. 2x - 5
B. 2x + 5
C. -8x - 5
D. 16x² - 8x + 5

4. Which expression is equivalent to \[\left(x^2+5x\right).\left(2x^{}-4\right)\]

A. 2x³ + 6x² - 20x
B. 2x³ + 14x² - 20x
C. 2x² + 14x² + 20x
D. 2x² + 6x² + 20x

5. \[\left(2x^{}-3\right)\cdot\left(x^2-3\right)\]If the expression above is written in the form ax³ + bx²+ cx + d, in which a, b, c and d are constants. What is the value of b?

A. 2
B. -2
C. -3
D. -6

6. \[\left(5x+2\right)\cdot\left(x-2\right)=ax^2-bx-4\]In the equation above, a and b are constants. What is the value of (ab)?

A. 60
B. -60
C. 40
D. -40

7. \[x\left(2-x\right)+\left(x^2+3\right)-\left(2x+1\right)\]Which of the following is equivalent to the expression shown above?

A. 2
B. 4x
C. 2x + 2
D. 2x - 2

8. \[\left(2x^2-3x+1\right)-\left(-2x^2-3x+2\right)\]If the expression above is written in the form: \[ax^2+bx+c\]in which a, b, and c are constant, what is the value of a + b + c?

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

9.

\[\left(x^2+5x+6\right):\left(x+2\right)\]Which of the following is the quotient of the expression shown above?

A. x
B. x + 1
C. x + 2
D. x + 3

10. If \[\frac{6x^2-5x+4}{-3x+1}=-2x+1+\frac{A}{-3x+1}\]what is the value of A?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Đáp án và giải thích

Đáp án

Giải thích

1.

\[\left(4x+3\right)+\left(2x^2+2x-3\right)\]\[=4x+3+2x^2+2x-3\]\[=2x^2+4x+2x+3-3\]\[=2x^2+6x\]2. \[\left(-4x+4x^3+7\right)+\left(3x^2-9-3x\right)\]\[=-4x+4x^3+7+3x^2-9-3x\]\[=4x^3+3x^2-4x-3x+7-9\]\[=4x^3+3x^2-7x-2\]3. \[\left(8x^2-3x\right)-\left(5x-5-8x^2\right)\]\[=8x^2-3x-5x+5+8x^2\]\[=8x^2+8x^2-3x-5x+5\]\[=16x^2-8x+5\]4. \[\left(x^2+5x\right)\cdot\left(2x-4\right)\]\[=2x^3-4x^2+10x^2-20x\]\[=2x^3+6x^2-20x\]5. \[\left(2x-3\right)\cdot\left(x^2-3\right)\]\[=2x\cdot\left(x^2-3\right)-3\cdot\left(x^2-3\right)\]\[=2x^3-6x-3x^2+9\]\[2x^3-3x^2-6x+9\]

Theo dạng: ax³ + bx²+ cx + d thì b = -3.

6. \[\left(5x+2\right)\cdot\left(x-2\right)\]\[=5x\cdot\left(x-2\right)+2\cdot\left(x-2\right)\]\[=5x^2-10x+2x-4\]\[=5x^2-8x-4\]Theo dạng: ax² - bx - 4 thì a = 5, b = 8. Vậy a.b = 40

7.

\[x\cdot\left(2-x\right)+\left(x^2+3\right)-\left(2x+1\right)\]\[=2x-x^2+x^2+3-2x-1\]\[=2\]8.\[\left(2x^2-3x+1\right)-\left(-2x^2-3x+2\right)\]\[=2x^2-3x+1+2x^2+3x-2\]\[=4x^2-1\]Theo dạng: ax² + bx + c thì a = 4, b = 0, c= -1. Vậy a + b + c = 4 + 0 - 1 = 3

9.

10.\[\frac{6x^2-5x+4}{-3x+1}=-2x+1+\frac{A}{-3x+1}\]Nhận thấy hai biểu thức có mẫu (-3x + 1), quy đồng mẫu số chung, ta có:

\[6x^2-5x+4=-2x\cdot\left(-3x+1\right)+\left(-3x+1\right)+A\]\[6x^2-5x+4=6x^2-2x-3x+1+A\]\[6x^2-5x+4=6x^2-5x+1+A\]\[4=1+A\]\[A=4-1=3\]

Tham khảo thêm:

• Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề [PDF]

• Cách làm dạng bài Problem Solving and Data Analysis trong SAT Math

• SAT Math formulas - Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

Tổng kết

Vì dạng bài Operations with Polynomials thường xuất hiện trong đề SAT Math, người học cần xử lý nó một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bài viết trên đã giới thiệu những điều cần biết về dạng bài này, cách giải các bài toán và cung cấp bài tập luyện tập. Tác giả hy vọng bài viết sẽ hữu ích cho người học có dự định tham gia kỳ thi SAT, giúp tối đa hóa điểm số ở dạng bài này, từ đó đạt được điểm số mong muốn.

Để đạt kết quả cao trong kỳ thi SAT, việc nắm vững chiến lược và phương pháp giải các dạng toán là yếu tố then chốt. Cuốn sách “Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies” cung cấp cho thí sinh cái nhìn tổng quan về các dạng toán trong kỳ thi, cùng hướng tư duy hiệu quả để giải quyết từng dạng bài. Mỗi chủ đề được trình bày với kiến thức cơ bản, ví dụ minh họa, cách giải mẫu và bài tập luyện tập kèm đáp án chi tiết. Đọc thử: tại đây.