Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Trong kỳ thi SAT Math, việc nắm vững các quy tắc về số mũ và căn bậc đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều loại bài toán. Các câu hỏi liên quan đến những khái niệm này thường đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cách sử dụng các quy tắc tính toán, từ việc đơn giản hóa biểu thức, giải phương trình, đến việc xử lý các biểu thức phức tạp hơn.

Bài viết này sẽ cung cấp các kiến thức cơ bản đối với số mũ và căn bậc. Thông qua các ví dụ minh họa cụ thể và phân tích chi tiết, người học có thể hiểu rõ hơn cách áp dụng các quy tắc này để tự tin hơn trong phần thi SAT Math, nâng cao khả năng đạt điểm cao.

Số mũ và căn bậc là gì?

Số mũ

Số mũ trong tiếng Anh được gọi là “exponent”, là một cách biểu diễn lũy thừa của một số. Số mũ được sử dụng để biểu thị phép nhân lặp lại của một số. Nói cách khác, khi viết a mũ n, a là cơ số và n là số mũ, nghĩa là a được nhân với chính nó n lần.

Ví dụ:

\[3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\]\[5^3=5\cdot5\cdot5=125\]

Cách đọc:

• a² đọc là “a squared”. Ví dụ: 3² đọc là three squared

• a³ đọc là “a cubed”. Ví dụ: 3³ đọc là three cubed

• \(6^4\) đọc là “six to the fourth power” hoặc “six to the power of four”

• các số mũ 5, 6, 7,… đọc tương tự như số mũ 4.

Căn bậc

Căn bậc trong tiếng Anh gọi là “radical”, là phép toán ngược lại của số mũ. Nói cách khác, nếu nâng một số lên lũy thừa x thì căn bậc x của kết quả đó sẽ đưa ta trở lại số ban đầu.

• Căn bậc 2 ký hiệu là: \(\sqrt{a}\) và đọc là “the square root of a”. Ví dụ: \(\sqrt2\) (the square root of 2)

• Căn bậc 3 ký hiệu là: \(\sqrt[3]{a}\) và đọc là “the cube root of a”. Ví dụ: \(\sqrt[3]{3}\) (the cube root of 3)

• Căn bậc 4 ký hiệu là: \(\sqrt[4]{a}\) và đọc là "the fourth root of a". Ví dụ: \(\sqrt[4]{3}\) (the fourth root of 3)

• Các căn bậc sau đó như: 5, 6, 7,… có cách đọc tương tự căn bậc 4.

Xem thêm: Advanced Math trong SAT Math - Cách làm bài, bài tập ví dụ và luyện tập

Các quy tắc về số mũ và căn bậc trong SAT Math

Quy tắc về số mũ

1. Nhân các số có cùng cơ số (Multiplication of exponents with the same base)

Khi nhân các số có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ lại với nhau.

\[a^{m}\cdot a^{n}=a^{m\cdot n}\]

Ví dụ: \[3^2\cdot3^3=3^5\]2. Chia các số có cùng cơ số (Division of powers with the same base)

Khi chia các số có cùng cơ số, ta lấy số mũ của số bị chia trừ cho số mũ của số chia (hay lấy số mũ của tử số trừ cho số mũ của mẫu số.)

\[\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\]

Ví dụ: \[\frac{2^5}{2^2}=2^3\]

3. Lũy thừa của lũy thừa (Power of a power)

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, người học cần giữ nguyên cơ số và nhân các số mũ với nhau.

\[\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}\]Ví dụ: \[\left(2^3\right)^2=2^6\]

4. Lũy thừa của một tích (Power of a product)

Lũy thừa của một tích bằng phép nhân các lũy thừa với nhau. Ngược lại, khi nhân các số có cùng số mũ, người học nhân các cơ số và giữ nguyên số mũ.

\[\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\]

Ví dụ: \[\left(3\cdot2\right)^3=3^3\cdot2^3\]5. Lũy thừa của một thương (Power of a quotient)

\[\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\]

Với điều kiện b ≠ 0

Ví dụ: \[\left(\frac45\right)^2=\frac{4^2}{5^2}\]

6. Số mũ bằng 0

Lũy thừa 0 của mọi số đều bằng 1.

\[a^0=1\]

với điều kiện a ≠ 0

Ví dụ: \[5^0=1\]

7. Số mũ bằng 1

Một số có số mũ bằng 1 thì bằng chính số đó.

\[a^1=a\]Ví dụ: \[4^1=4\]8. Số mũ âm (Negative exponent)

Khi một cơ số có số mũ là số âm, ta lấy 1 chia cho cơ số có số mũ dương của số đó.

\[a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\]

với điều kiện a ≠ 0

Ví dụ: \[3^{-2}=\frac{1}{3^2}\]

Quy tắc về căn bậc

1. Khai phương một tích

Khi khai phương một tích, người học khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

\[\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\]Điều kiện: a, b không phải là số âm

Ví dụ: \[\sqrt{36}=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt4\cdot\sqrt9=2\cdot3=6\]2. Khai phương một thương

Muốn khai phương một thương, ta có thể khai phương lần lượt từng thừa số a và thừa số b. Sau đó chia kết quả thứ nhất cho kết quả thứ hai.

\[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\]Điều kiện: a không âm, b dương

Ví dụ: \[\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt9}=\frac53\]

3. Chuyển đổi giữa lũy thừa với số mũ và căn bậc

\[\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}\]Ví dụ: \[\sqrt{4^3}=4^{\frac32}\]4. Trục căn thức ở mẫu

Để khử căn ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với một biểu thức thích hợp

\[\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}\]Ví dụ: \[\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\]5. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Để đơn giản hóa căn bậc m, người học cần phân tích hệ số dưới căn bậc hai thành tích của các số, một trong số đó là ước chính phương lớn nhất của hệ số dưới căn bậc m. Sau đó viết căn bậc m trên mỗi thừa số và đơn giản hóa.

\[\sqrt[m]{x}=\sqrt[m]{a^{m}\cdot b}=\sqrt[m]{a^{m}}\cdot\sqrt[m]{b}=a\cdot\sqrt[m]{b}\]Ví dụ:\[\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{3^2}\cdot\sqrt2=3\sqrt2\]6. Cộng/ trừ căn thức

Để cộng/ trừ các căn bậc với nhau, số hoặc biểu thức bên dưới dấu căn phải giống nhau.

\[a\sqrt{x}+b\sqrt{x}=\left(a+b\right)\cdot\sqrt{x}\]Ví dụ: \[2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3\]

Các lỗi sai thường mắc về số mũ và căn bậc trong SAT Math

1. Nhầm lẫn khi thực hiện phép cộng / trừ các cơ số có số mũ

Ví dụ, nhiều người học nhầm lẫn rằng:\[a^{m}+a^{n}=a^{m+n}\]vì sự có mặt của dấu cộng trong phép tính.

Tương tự, người học cũng cần chú ý tránh mắc lỗi khi thực hiện phép trừ: \[a^{m}-a^{n}=a^{m-n}\]Phép tính này là sai.

2. Nhầm lẫn về số mũ âm

Một số có số mũ âm được biểu diễn là: \[a^{-n}\]Có khả năng một số người học sẽ nhầm tưởng rằng kết quả của nó là mộ số âm. Nhưng thật ra: \[a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\]Như vậy, một số có số mũ âm vẫn cho kết quả là một số dương.

3. Sai lầm về căn bậc và số mũ phân số

Một số người học có thể quên rằng căn bậc có thể được viết dưới dạng số mũ phân số.

Ví dụ: \[\sqrt{a}=a^{\frac12}\]Ví dụ trên được suy ra từ công thức: \[\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}\]4. Nhầm lẫn khi giải phương trình có số mũ và căn

Lỗi này xảy ra khi người học bỏ qua nghiệm âm khi giải phương trình với căn bậc chẵn. Ví dụ, khi giải phương trình x²=16, người học thể chỉ lấy nghiệm x = 4 mà quên rằng x = −4 cũng là kết quả đúng. Vì vậy, người học cần nhớ rằng khi căn bậc chẵn có thể có hai nghiệm (dương và âm), trừ khi có yêu cầu khác trong đề.

5. Nhầm lẫn khi nhân/ chia căn thức

Lỗi này xảy ra khi người học tính sai khi nhân hoặc chia căn với hệ số bên ngoài, chẳng hạn như kết quả của: \[2\sqrt3\cdot3\sqrt2\]có thể bị nhầm thành:\[6\sqrt5\]thay vì kết quả đúng là:\[6\sqrt6\]

Đọc thêm: Cách làm dạng bài Radicals and rational exponents trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Câu 1. If \(6=a^{x}\) then \(\frac{6}{a}=\)?

A.\(a^{x+1}\)
B. \(a^{x-1}\)
C. \(a^{1-x}\)
D. \(a^{\frac{x}{6}}\)

Câu 2. If \(\frac{x^{23}}{x^{m}}=x^{15}\) and \(\left(x^4\right)^{n}=x^{20}\) then m.n = ?

A. 13
B. 24
C. 28
D. 40

Câu 3. If \(x=\sqrt6\) and y² = 12 then \(\frac{4}{xy}=\)?

A. \(\frac{3}{2\sqrt2}\)
B. \(\frac{\sqrt2}{3}\)
C. \(\frac{3}{\sqrt2}\)
D. \(\frac{2\sqrt2}{3}\)

Câu 4. Which of the following expressions is equivalent to the one given below?

\[\frac{\left(x^{2n+1}\right)^3}{x^{n}\cdot x^{3n+3}}\]A. x²
B. \(\frac{1}{x^2}\)
C. \(x^{2n}\)
D. \(\frac{1}{x^{2n}}\)

Câu 5. Which of the following expressions is equal to \(a^{-\frac12}\) for all values of a where the expression is defined?

A. \(\frac{a}{a^2}\)
B. \(\frac{\sqrt{a}}{a}\)
C. \(\frac{1}{\sqrt{2a}}\)
D. \(\frac12a\)

Câu 6. If \(4^{x}+4^{x}+4^{x}+4^{x}=16^{y}\) then x = ?

A. 2y - 1
B. 2y + 1
C. y - 2
D. y + 2

Câu 7. Which expression is equivalent to \(\left(9x^2y^6\right)^{-\frac12}\)

A. \(\frac{1}{3xy^3}\)
B. 3xy³
C. \(\frac{3}{xy^3}\)
D. \(\frac{xy^3}{3}\)

Câu 8. If \(\sqrt{a}=2p\) then \(a^{\frac32}=\)?

A. \(\frac{p}{3}\)
B. 2p²
C. 6p³
D. 8p³

Câu 9. If \(3^{x}=81\) and \(2^{x+y}=64\) then \(\frac{x}{y}=\)?

A. 1
B. \(\frac32\)
C. 2
D. \(\frac52\)

Câu 10. If \(10^{k}=64\) what is the value of \(10^{\frac{k}{2}+1}\)?

A. 18
B. 42
C. 80
D. 81

Câu 11. If \(3^{m+1}-3^{m}=a\) what is \(3^{m+2}\)in terms of a?

A. \(\frac43a\)
B. 3a
C. \(\frac92a\)
D. 9a

Câu 12. Which of the following is equal to \(\frac{\sqrt[3]{xy}}{\left(y\sqrt{x}\right)^2}\)

A. \(\frac{1}{y^{\frac52}x}\)
B. \(\frac{1}{\sqrt{y}\cdot x^{\frac23}}\)
C. \(\frac{1}{y^{\frac53}x^{\frac23}}\)
D. \(x^3y^{-1}\)

Câu 13. If \(2^4\cdot4^2=16^{a}\) then a = ?

Câu 14. If \(x^7=7777\) and \(\frac{x^6}{y}=11\) What is the value of xy?

Câu 15. If \(y=2^{2p-1}\) and z = p - 2, which is the value of \(\frac{y}{z}\) when p = 2.5

Câu 16. The expression \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3}}\)is equivalent to

A. \(\sqrt[3]{x}\)
B. \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)
C. \(\sqrt{x}\)
D. \(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\)

Câu 17. If n and p are positive integers such that \(8\left(2^{p}\right)=4^{n}\) what is n in terms of p?

A. \(\frac{p+2}{3}\)
B. \(\frac{2p}{3}\)
C. \(\frac{p+3}{2}\)
D. \(\frac{3p}{2}\)

Câu 18. If k = 3, what is the solution of the equation below?

\[2\sqrt{x-k}=x-6\]A. {4, 12}
B. {3}
C. {4}
D. {12}

Câu 19. When \(x^{-1}-1\) is divided by x - 1, the quotient is

A. -1
B. \(-\frac{1}{x}\)
C. \(\frac{1}{x^2}\)
D. \(\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\)

Câu 20. Function k is defined by the equation below. If k(-8) = 375, what is the value of a?

\[k\left(x\right)=a\sqrt{a\left(1-x\right)}\]A. 25
B. 75
C.125
D. 625

Đáp án và giải thích

Câu 1. Có \[6=a^{x}\]Như vậy: \[\frac{6}{a}=\frac{a^{x}}{a}\]\[\frac{6}{a}=a^{x-1}\](áp dụng quy tắc chia các số có cùng cơ số)

→ Đáp án là B.

Câu 2. Có: \[\frac{x^{23}}{x^{m}}=x^{15}\]\[x^{23-m}=x^{15}\]Suy ra: 23 - m = 15

→ m=8

Ta có: \[\left(x^4\right)^{n}=x^{20}\]\[x^{4n}=20\]Suy ra: 4n = 20

→ n = 5

Như vậy: \[m\cdot n=8\cdot5=40\]→ Đáp án là D.

Câu 3. Có y²=12 → \[y=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3\]Vậy \[x\cdot y=\sqrt6\cdot2\sqrt3=2\cdot\sqrt{6\cdot3}=2\sqrt{18}=2\sqrt{9\cdot2}=2\sqrt9\cdot\sqrt2=2\cdot3\cdot\sqrt2=6\sqrt2\]Suy ra: \[\frac{4}{xy}=\frac{4}{6\sqrt2}=\frac{2}{3\sqrt2}\]Có: \[\frac{2}{3\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{3\cdot2}=\frac{\sqrt2}{3}\]→ Đáp án là B.

Câu 4. Có: \[A=\frac{\left(x^{2n+1}\right)^3}{x^{n}\cdot x^{3n+3}}\]Phân tích tử: \[\left(x^{2n+1}\right)^3=x^{3\left(2n+1\right)}=x^{6n+3}\]Phân tích mẫu: \[x^{n}\cdot x^{3n+3}=x^{n+3n+3}=x^{4n+3}\]\[A=\frac{x^{6n+3}}{x^{4n+3}}=x^{6n+3-4n-3}=x^{2n}\]→ Đáp án là C.

Câu 5. Có: \[a^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{a}}\]Nhân tử và mẫu với \[\sqrt{a}\]

Có: \[\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}\right)^2}=\frac{\sqrt{a}}{a}\]→ Đáp án là B

Câu 6. \[4^{x}+4^{x}+4^{x}+4^{x}=16^{y}\]\[4\cdot4^{x}=\left(4^2\right)^{y}\]\[4^{x+1}=4^{2y}\]Suy ra: x + 1 = 2y → x = 2y - 1

→ Đáp án là A.

Câu 7. \[\left(9x^2y^6\right)^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{9x^2y^6}}=\frac{1}{\sqrt9\cdot\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{\left(y^3\right)^2}}=\frac{1}{3xy^3}\]→ Đáp án là A.

Câu 8.

\[\sqrt{a}=2p\]\[a^{\frac12}=2p\]\[\left(a^{\frac12}\right)^3=\left(2p\right)^3\]\[a^{\frac32}=8p^3\]→ Đáp án là D.

Câu 9.

Có phương trình 1: \[3^{x}=81\]\[3^{x}=9\cdot9=3^2\cdot3^2\]\[3^{x}=3^4\]Suy ra: x= 4

Có phương trình 2: \[2^{x+y}=64\]\[2^{x+y}=8\cdot8\]\[2^{x+y}=2^3\cdot2^3=2^6\]Suy ra: x + y = 6

Thế x = 4 vào x + y = 6, có: 4 + y = 6 → y = 2

\[\frac{x}{y}=\frac42=2\]→ Đáp án là C.

Câu 10.

Có: \[10^{k}=64\]Nhân 2 vế với ½ : \[\left(10^{k}\right)^{\frac12}=64^{\frac12}\]\[10^{\frac{k}{2}}=\sqrt{64}\]\[10^{\frac{k}{2}}=8\]Nhân 2 vế với 10: \[10^{\frac{k}{2}}\cdot10=8\cdot10\]\[10^{\frac{k}{2}+1}=80\]→ Đáp án là C.

Câu 11.

Có: \[3^{m+1}-3^{m}=a\]\[3^{m}\cdot3-3^{m}=a\]\[2\cdot3^{m}=a\]\[3m=\frac{a}{2}\]Nhân 2 vế với 3²\[3^{m}\cdot3^2=\frac{a}{2}\cdot3^2\]\[3^{m+2}=\frac{9a}{2}\]→ Đáp án là C.

Câu 12.

Có: \[\frac{\sqrt[3]{x\cdot y}}{\left(y\sqrt{x}\right)^2}=\frac{\left(xy\right)^{\frac13}}{y^2x}=\frac{x^{\frac13}y^{\frac13}}{xy^2}=x^{\left(\frac13-1\right)}y^{\left(\frac13-2\right)}=x^{-\frac23}y^{-\frac35}=\frac{1}{x^{\frac23}\cdot y^{\frac53}}\]

→ Đáp án là C.

Câu 13. Có: \[2^4\cdot4^2=16^{a}\]\[2^4\cdot\left(2^2\right)^2=\left(4^2\right)^{a}\]\[2^4\cdot2^4=4^{2a}\]\[2^{\left(4+4\right)}=\left(2^2\right)^{2a}\]\[2^8=2^{4a}\]Suy ra: 8 = 4a → a = 2

Câu 14. Có: \[x^7=7777\]\[x^6\cdot x=7777\]\[x^6=\frac{7777}{x}\]\[x^6=\frac{7777}{x}\]Suy ra
\[\frac{7777}{x}:y=11\]\[\frac{7777}{xy}=11\]Vậy xy = 7777 : 11= 707

Câu 15.

Có phương trình 1: \[y=2^{2p-1}\]

và phương trình 2: z = p - 2

Thế \[p=2.5=\frac52\]vào phương trình 1, có: \[y=2^{2\cdot\frac52-1}=2^4=16\]vào phương trình 2, có: \[z=\frac52-2=\frac12\]Vậy, ta có: \[\frac{y}{z}=\frac{16}{\frac12}=16\cdot2=32\]→ Đáp án là 32.

Câu 16.

Có: \[\frac{x^2}{\sqrt{x^3}}=\frac{x^2}{x^{\frac32}}=x^{2-\frac32}=x^{\frac12}=\sqrt{x}\]→ Đáp án là C.

Câu 17. Có:

\[8\cdot\left(2^{p}\right)=4n\]\[2^3\cdot2^{p}=\left(2^2\right)^{n}\]\[2^{3+p}=2^{2n}\]\[3+p=2n\]\[n=\frac{p+3}{2}\]→ Đáp án là D.

Câu 18.

Thế k = 3 vào phương trình \[2\sqrt{x-k}=x-6\]Có: \[2\sqrt{x-3}=x-6\]Bình phương 2 vế: \[4\left(x-3\right)=x^2-12x+36\]\[4x-12=x^2-12x+36\]\[x^2-16x+48=0\]\[\left(x-4\right)\cdot\left(x-12\right)=0\]Suy ra x - 4 = 0 → x = 4

Hoặc x - 12 = 0 → x = 12

Kiểm tra các nghiệm. Đáp án x = 4 không đúng vì khí thế x = 4 vào phương trình, có:

\[2\sqrt{4-3}\ne4-6\]\[2\sqrt{4-3}\ne4-6\]Do đó, đáp án duy nhất là x = 12.

→ Đáp án là D.

Câu 19.

Nhân tử và mẫu với x, có: \[\frac{x^{-1}-1}{x-1}=\frac{x^{-1}-1}{x-1}\cdot\frac{x}{x}\]\[\frac{1-x}{x\cdot\left(x-1\right)}=\frac{-\left(x-1\right)}{x\cdot\left(x-1\right)}=\frac{-1}{x}\]→ Đáp án là B.

Câu 20.

Thế x=-8 vào phương trình

\[a\sqrt{a\left(-x\right)}\]Có: \[a\sqrt{a\left(1-\left(-8\right)\right)}=375\]\[a\sqrt{9a}=375\]\[3a\sqrt{a}=375\]\[a^{1+\frac12}=\frac{375}{3}\]\[a^{\frac32}=125\]\[a=125^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{125}\right)^2=5^2=25\]→ Đáp án là A.

Luyện tập thêm: Bài tập lũy thừa (Exponents) trong SAT Math kèm đáp án và giải thích

Tổng kết

Nắm vững các quy tắc các quy tắc về số mũ và căn bậc là chìa khóa giúp người học giải quyết nhanh chóng và chính xác các dạng toán. Các dạng bài liên quan đến số mũ và căn bậc xoay quanh các quy tắc cơ bản như nhân, chia, lũy thừa của lũy thừa, và cách xử lý số mũ âm, chuyển đổi giữa căn bậc và số mũ phân số, cũng như cách đơn giản hóa biểu thức chứa căn. Những lỗi phổ biến như nhầm lẫn quy tắc, không kiểm tra điều kiện tồn tại, hay bỏ qua nghiệm âm có thể làm mất điểm. Vì vậy, việc luyện tập đều đặn và ghi nhớ chi tiết các quy tắc là cần thiết để tránh sai sót, đảm bảo sự tự tin khi làm bài thi SAT Math.

Để chinh phục bài thi SAT Digital, thí sinh cần trang bị tư duy logic và chiến lược giải toán hiệu quả. “Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies” là tài liệu hỗ trợ đắc lực, giúp hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện kỹ năng suy luận và nâng cao khả năng giải quyết các dạng toán trong bài thi. Với cách tiếp cận rõ ràng và khoa học, cuốn sách là công cụ hữu ích cho quá trình ôn luyện. Đọc thử tại đây.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.