Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

SAT Math là phần thi toán trong kỳ thi SAT (Scholastic Assessment Test) - một kỳ thi chuẩn hóa dành cho học sinh trung học phổ thông nhằm đánh giá năng lực học thuật. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho người học cái nhìn tổng quan cùng các chiến lược giải dạng bài Radical, Rational, và Absolute Value Equations trong phần Advanced Math của bài thi SAT.

Tổng quan về dạng bài Radical, rational, and absolute value equations

Radical Equations (Phương trình căn bậc)

Phương trình chứa biến bên dưới dấu căn bậc (thường là căn bậc hai, nhưng có thể là căn bậc ba hoặc cao hơn). Ví dụ:

\[\sqrt{2x+3}=5\]

Rational Equations (Phương trình hữu tỉ)

Phương trình chứa biến trong mẫu số của phân số. Ví dụ:

\[\frac{3}{x+1}+\frac{5}{x+2}=3\]

Absolute Value Equations (Phương trình giá trị tuyệt đối)

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ∣x∣, định nghĩa là khoảng cách từ một số đến 0 trên trục số. Ví dụ:

\[\left\vert3x-7\right\vert=8\]

Chiến lược làm bài dạng bài Radical, rational, and absolute value equations trong SAT Math

Radical Equations

Chiến lược:

• Bước 1: Cô lập căn thức ở một bên của phương trình.

• Bước 2: Lũy thừa cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn thức.

• Bước 3: Giải phương trình đã đơn giản hóa

• Bước 4: Kiểm tra nghiệm.

Ví dụ:

Giải phương trình:\[\sqrt{2x+3}+4=10\]Bước 1: Cô lập căn thức ở một bên của phương trình (tức hải biến đổi phương trình sao cho căn thức đứng một mình ở một phía của dấu bằng, không bị ảnh hưởng bởi các thành phần khác của phương trình).

\[\sqrt{2x+3}+4=10\]\[\sqrt{2x+3}=10-4\]\[\sqrt{2x+3}=6\]Bước 2: Lũy thừa cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn thức.

\[\left(\sqrt{2x+3}\right)^2=6^2\]\[2x+3=36\]Bước 3: Giải phương trình đã đơn giản hóa và kiểm tra nghiệm ngoại lai.

\[2x=36-3\]\[2x=33\]\[x=\frac{33}{2}\]Bước 4: Kiểm tra nghiệm. Thay x vào phương trình ban đầu:

\[\sqrt{2\cdot\frac{33}{2}+3}+4=\sqrt{36}+4=6+4=10\]=> Nghiệm x = 33/2 là nghiệm đúng.

Rational Equations

Chiến lược:

Bước 1: Xác định mẫu chung của các phân thức và nhân cả hai vế của phương trình với mẫu chung để loại bỏ phân số.

Bước 2: Giải phương trình sau khi loại bỏ phân số.

Bước 3: Kiểm tra nghiệm có làm cho mẫu bằng 0 không hay không, nếu có thì loại bỏ.

Ví dụ:

Giải phương trình:

\[\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+2}=1\]Bước 1: Xác định mẫu chung của các phân thức và nhân cả hai vế của phương trình với mẫu chung để loại bỏ phân số.

Mẫu chung: (x - 1)(x + 2)

Nhân cả hai vế của phương trình với mẫu chung:

\[\left(x-1)\cdot(x+2)\cdot\right.(\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+2})=(x-1)\cdot(x+2)\]\[3\cdot(x+2)+2\cdot(x-1)=(x-1)\cdot(x+2)\]Bước 2: Giải phương trình sau khi loại bỏ phân số.

\[3\cdot(x+2)+2\cdot(x-1)=(x-1)\cdot(x+2)\]\[3x+6+2x-2=x^2+x-2\]\[5x+4=x^2+x-2\]Đưa tất cả về một phía:

\[x^2-4x-6=0\]Phương trình trên có dạng

\[ax^2+bx+c=0\]tương đương a=1; b = - 4; c = - 6

Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

Tính denta theo công thức:

\[\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-6\right)=40\]Tìm x theo công thức:

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{40}}{2\cdot1}=\frac{4\pm\sqrt{40}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{10}}{2}=2\pm2\sqrt{10}\]Bước 3: Kiểm tra nghiệm có làm cho mẫu bằng 0 không, nếu có thì loại bỏ.

Lần lượt thay x1 và x2 vào mẫu của phương trình ban đầu đều không làm cho mẫu số bằng 0, nên cả hai đều là nghiệm đúng.

Absolute Value Equations

Chiến lược:

• Bước 1: Cô lập giá trị tuyệt đối.

• Bước 2: Thiết lập hai phương trình: một với biểu thức giữ nguyên và một với biểu thức đổi dấu.

• Bước 3: Giải từng phương trình và kiểm tra nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: ∣3x−7∣=8

Bước 1: Cô lập giá trị tuyệt đối

Với phương trình: ∣3x−7∣=8 thì giá trị tuyệt đối đã được cô lập.

Bước 2: Thiết lập hai phương trình

• Trường hợp 1: 3x−7=8

• Trường hợp 2: 3x−7=−8

Bước 3: Giải từng phương trình

• Trường hợp 1:

\[3x=8+7=15\]\[x=\frac{15}{3}=5\]

• Trường hợp 2:

\[3x=-8+7=-1\]\[x=\frac{-1}{3}\]Vậy nghiệm của phương trình là x=5 và x= - 1/3

Xem thêm: Quadratic and exponential word problems: Hướng dẫn làm bài và bài tập

Một số lưu ý

Luôn kiểm tra nghiệm ngoại lai

Đối với phương trình căn và phương trình hữu tỉ, việc kiểm tra nghiệm ngoại lai là rất quan trọng vì lũy thừa hoặc nhân vào có thể tạo ra nghiệm không phù hợp với phương trình ban đầu.

Cẩn thận với mẫu số bằng 0

Trong phương trình phân thức, nghiệm làm cho mẫu số bằng 0 phải được loại bỏ vì không thỏa mãn điều kiện của phương trình.

Đừng quên xét hai trường hợp trong phương trình giá trị tuyệt đối

Thí sinh phải luôn nhớ tách giá trị tuyệt đối thành hai trường hợp để giải đúng.

Bài tập ứng dụng

Đề bài

Bài 1: Giải các phương trình căn bậc dưới đây:

1. \[\sqrt{2x-1}=3\]2.

\[2\sqrt{x+4}=8\]

Bài 2: Giải các phương trình hữu tỉ sau:

1.

\[\frac{3}{x+1}=2\]2.

\[\frac{x+2}{x-1}=\frac{3x-1}{2x+3}\]Bài 3: Giải các phương trình giá trị tuyệt đối sau:

1.

\[\left\vert2x+1\right\vert=5\]2.

\[\left\vert2x+3\right\vert+4=10\]Đáp án

Bài 1

1.

\[x=5\]

2.

\[x=12\]

Bài 2

1. \[x=\frac12\]

2.

\[x=\frac{11\pm\sqrt{141}}{2}\]

Bài 3

1. \[x=2\]\[x=-3\]2.

\[x=\frac32\]\[x=\frac{-9}{2}\]

Đọc tiếp: Cách làm dạng bài Linear and Quadratic Systems trong SAT Math

Tổng kết

Trên đây là bài viết giúp thí sinh tìm hiểu các dạng phương trình Radical, Rational, và Absolute Value Equations trong SAT Math, kèm theo các chiến lược giải từng loại bài toán cụ thể. Để cải thiện kỹ năng làm bài và đạt kết quả cao trong SAT Math, hãy luyện tập thường xuyên và làm quen với nhiều dạng bài ở các mức độ khó khác nhau.

Để đạt kết quả cao trong phần thi SAT Math, việc nắm vững chiến lược và phương pháp giải các dạng toán là yếu tố then chốt. “Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies” cung cấp cho thí sinh cái nhìn tổng quan về các dạng toán trong kỳ thi, cùng hướng tư duy hiệu quả để giải quyết từng dạng bài. Mỗi chủ đề được trình bày với kiến thức cơ bản, ví dụ minh họa, cách giải mẫu và bài tập luyện tập kèm đáp án chi tiết. Đọc thử tại đây.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.