Rhombus (Hình thoi) - Tính chất, công thức và chiến thuật làm bài

Trong SAT® Math Geometry hay phần thi hình học có nhiều dạng hình khác nhau, phổ biến nhất là hình tròn, hình đa giác và các hình khối. Trong đó, rhombus (hay hình thoi) là một dạng đặc biệt của hình tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Mặc dù không trực tiếp xuất hiện trong đề thi SAT Math, nhưng rhombus (hình thoi) có ứng dụng gián tiếp, giúp thí sinh dễ dàng vận dụng cho các loại đa giác có liên quan như hình diều (kite), hình bình hành (parallelogram) hay hình vuông (square).

Bài viết này tóm tắt kiến thức cơ bản về hình thoi (rhombus), bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức tính diện tích có ví dụ minh họa trực quan. Đồng thời, bài viết giới thiệu các dạng bài thi có khả năng xuất hiện và chiến lược làm bài tổng quan cho bài toán hình thoi.

Rhombus là gì?

Hình thoi (hay Rhombus) được định nghĩa là một tứ giác (quadrilateral) có bốn cạnh bằng nhau, hai cặp cạnh đối diện song song. Rhombus là một khái niệm chung, mô tả bất kỳ hình tứ giác nào thỏa mãn đặc điểm trên, bao gồm hình thoi và hình vuông.

Một hình thoi (Rhombus) có đặc điểm sau [1]:

• Tất cả các cạnh đều bằng nhau.

• Các cạnh đối diện song song và bằng nhau.

• Các góc đối diện bằng nhau.

• Tổng hai góc liền kề là 180 độ.

• Hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ngoài ra, hình thoi (rhombus) còn có một số tính chất nâng cao sau:

• Hai đường chéo chia hình thoi thành bốn tam giác vuông bằng nhau.

• Khi nối các trung điểm của nửa đường chéo với nhau, ta sẽ được một hình thoi khác.

• Không thể vẽ đường tròn ngoại tiếp cho hình thoi.

• Không thể vẽ đường tròn nội tiếp trong hình thoi.

• Khi nối các trung điểm của bốn cạnh với nhau, ta được một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng bằng một nửa độ dài đường chéo chính, do đó diện tích hình chữ nhật bằng một nửa diện tích hình thoi.

Xem thêm: Cách làm dạng toán về Arc Length trong SAT Math và bài tập

Các công thức quan trọng liên quan đến hình thoi (rhombus)

Công thức tính diện tích (Area)

Công thức 1: A = \(\frac{d_1\cdot d_2}{2}\)

Trong đó:

• d1: độ dài đường chéo thứ nhất.

• d2: độ dài đường chéo thứ hai.

Công thức 2: A = \(a^2\cdot\sin\left(\alpha\right)\)

Trong đó:

• a: độ dài một cạnh của hình thoi.

• \(\alpha\): góc giữa hai cạnh kề nhau.

Ví dụ:

Từ Hình 2, ta có độ dài hai đường chéo AC = 2OA = 2.3 = 6cm và BD = 2OB = 2.4 = 8cm

⇒ Suy ra, diện tích hình thoi ABCD = \(\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot6\cdot8=24\operatorname{cm}\).

Công thức tính chu vi (Perimeter)

Công thức: P=4a

Trong đó: a: độ dài một cạnh của hình thoi.

Ví dụ:

Từ Hình 2, áp dụng công thức ta có chu vi hình thoi ABCD = 4AB = 4.5 = 20cm

Xem thêm: SAT Math Question: Hình học và lượng giác (góc, tam giác & hình tròn)

Cách chứng minh một hình là hình thoi (rhombus)

Dựa vào khái niệm và tính chất của hình thoi (rhombus), ta có thể chứng minh một hình tứ giác là một hình thoi bằng một số cách như sau:

Cách 1: Chứng minh một hình tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Phương pháp: Chứng minh tứ giác ABCD có AB=BC=CD=DA.

Cách 2: Chứng minh hai đường chéo của hình tứ giác vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Phương pháp:

• Chứng minh O là trung điểm của AC và BD (OA=OC và OB=OD)

• Chứng minh AC vuông góc với BD bằng phương pháp tổng 3 góc của một tam giác hoặc áp dụng định lý pytago (\(AB^2=OA^2+OB^2\)).

Cách 3: Chứng minh một hình bình hành có hai cạnh liền kề bằng nhau.

Phương pháp: Chứng minh AB = AD hoặc AB = BC.

Cách 4: Chứng minh đường chéo của hình bình hành là đường phân giác của một góc của nó.

Phương pháp: Chứng minh hình bình hành ABCD có DOA=OAB hoặc OBA=OBC.

Cách 5: Chứng minh hai đường chéo của hình bình hành vuông góc với nhau.

Phương pháp: Chứng minh AC vuông góc với BD bằng phương pháp tổng 3 góc của một tam giác hoặc áp dụng định lý pytago.

Ví dụ:

Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi.

Cách giải:

Xét tam giác ABC có E, F là trung điểm của AB, BC ⇒ EF song song AC và \(EF=\frac12AC\).

Xét tam giác CDA có G, H là trung điểm của CD, DA ⇒ GH song song AC và \(GH=\frac12AC\).

⇒ Suy ra \(EF=GH=\frac12AC\) và EF song song GH. (1)

Tương tự, 

Xét tam giác ABD có E, H là trung điểm của AB, AD ⇒ EH song song BD và \(EH=\frac12BD\).

Xét tam giác BCD có F, G là trung điểm của BC, CD ⇒ FG song song BD và \(FG=\frac12BD\).

⇒ Suy ra \(EH=FG=\frac12BD\) và EH song song FG. (2)

Từ (1) & (2), suy ra được tứ giác EFGH là hình bình hành.

Mà đề bài có giả thiết AC = BD ⇒ EF=GH=EH=FG. (3)

Từ (3) ta thấy hình bình hành EFGH có bốn cạnh bằng nhau chính là hình thoi.

Ứng dụng hình thoi (rhombus) trong bài toán SAT Math

Sau đây là một số dạng bài có thể xuất hiện trong bài thi SAT Math, vận dụng các kiến thức về hình thoi:

Dạng 1: Biết độ dài hai đường chéo, tính diện tích hình thoi.

Ví dụ: Cho hình thoi có độ dài đường chéo thứ nhất là 8.4 và đường chéo thứ hai là 6.5. Tính diện tích hình thoi.

Dạng 2: Biết độ dài cạnh hình thoi, tính chu vi hình thoi.

Ví dụ: Cho hình thoi có độ dài một cạnh là 6.5. Tính chu vi hình thoi.

Dạng 3: Biết diện tích và độ dài một đường chéo, tìm độ dài đường chéo còn lại.

Ví dụ: Diện tích của một hình thoi là 𝐴=96 và đường chéo thứ nhất là 12. Tính độ dài đường chéo thứ hai? ​

Dạng 4: Biết chu vi của hình thoi, tính độ dài cạnh hình thoi.

Ví dụ: Một hình thoi có chu vi là 40 đơn vị. Tính độ dài cạnh của hình thoi.

Dạng 5: Biết độ dài hai đường chéo hình thoi, tính độ dài cạnh.

Ví dụ: Một hình thoi có hai đường chéo lần lượt là d₁ = 12 cm, d₂ = 16 cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

Dạng 6: Cho một đường thẳng (d) cắt hai đường thẳng song song (a) và (b). Biết số đo một góc tù tạo ra bởi (d) và (a), tính số đo góc bẹt tạo ra bởi (d) và (b).

Ví dụ: Cho hai đường thẳng (a) và (b) song song với nhau. Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (a) và tạo với (a) một góc 120 độ. Tính góc có số đo nhỏ hơn tạo bởi (d) và (b).

Dạng 7: Biết tọa độ các đỉnh, xác định có phải hình thoi hay không.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có các đỉnh: A(0;0), B(4;0), C(6;3), D(2;3). Tứ giác ABCD là hình gì?

Chiến lược giải bài tập hình thoi (rhombus) trong SAT Math nhanh và chính xác

Ví dụ: Tìm chu vi của một hình thoi nếu hình thoi đó có diện tích là 960 và một đường chéo dài 32 đơn vị.

A. 128
B. 136
C. 144
D. 160

Bước 1: Xác định đối tượng cần tính theo yêu cầu của đề bài.

Giải thích:

Trước hết, cần xác định đối tượng cần tìm trong bài toán là gì. Từ đó, chọn ra các công thức phù hợp có chứa đại lượng đó hoặc những biến có thể giúp suy ra nó.

Khi đã xác định được biến số cần tìm, nên tô đậm hoặc khoanh tròn biến này để dễ tập trung trong quá trình tính toán.

Áp dụng:

Đề bài yêu cầu: Chu vi hình thoi.

Công thức của Chu vi hình thoi: P=4a (trong đó, a: độ dài một cạnh của hình thoi). 

Biến cần tìm là a (độ dài cạnh), nhưng chưa có sẵn trong dữ kiện. Vì vậy, ta phải tính gián tiếp thông qua các công thức liên quan.

Bước 2: Ghi ra tất cả các công thức có liên quan.

Giải thích:

Dựa vào dữ kiện được cho trong đề, hãy liệt kê tất cả các công thức có thể kết nối dữ liệu đã biết với đại lượng cần tìm.

Càng nhiều công thức được viết ra, càng dễ nhận ra mối liên hệ logic giữa các bước tính.

Áp dụng:

Ghi ra tất cả công thức tính diện tích hình thoi:

(1) A=\(\frac{d_1\cdot d_2}{2}\) (Trong đó, \(d_1,d_2\) là độ dài hai đường chéo).

(2) A=\(a^2\cdot\sin\left(\alpha\right)\). (Trong đó, a: độ dài một cạnh hình thoi, b: số đo một góc tạo bởi hai cạnh bất kỳ)

Ghi ra tất cả công thức có chứa a (độ dài cạnh):

(3) \(a^2=\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2\) (Xét một tam giác vuông tạo ra bởi hai đường chéo).

(4) \(AB^2=\left(x_{a}-x_{b}\right)^2+\left(y_{a}-y_{b}\right)^2\) (Trong trường khoảng cách hai điểm trong tọa độ không gian).

Bước 3: Đối chiếu số liệu sẵn có và áp dụng vào công thức.

Giải thích:

Ở bước này, hãy đối chiếu số liệu có sẵn trong đề với các công thức vừa liệt kê, chọn ra công thức nào có thể dùng để tính bước trung gian cho đến khi ra được kết quả cuối cùng.

Áp dụng:

Đề bài cho số liệu về diện tích và độ dài một đường chéo. Ta suy ra được:

Chọn công thức (1) để tính độ dài đường chéo còn lại:

          A = \(\frac{d_1\cdot d_2}{2}\)⇒ 960\(=32\cdot\frac{d_2}{2}\)⇒ \(d_2=60\).

Chọn công thức (3) để tính độ dài cạnh hình thoi: 

          \(a^2=\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2\)

          ⇒ \(a^2=\left(\frac{32}{2}\right)^2+\left(\frac{60}{2}\right)^2\)

          ⇒ \(a=\sqrt{16^2+30^2}\) ⇒ a=34

Sau khi tìm ra giá trị của cạnh hình thoi (a=34), ta quay lại bước 1 để tính chu vi hình thoi

          Chu vi hình thoi: P=4a=4.34=136. (Đáp án B)

Bước 4: Kiểm tra lại tính hợp lý của kết quả và so sánh với đáp án.

Giải thích:

Sau khi có kết quả, cần kiểm tra lại toàn bộ các bước để đảm bảo: Các công thức được sử dụng đúng, phép tính chính xác và kết quả phù hợp về mặt hình học (không vô lý hoặc âm).

Từ vựng cần thiết

Bài tập thực hành

Bài 1: A rhombus has diagonals of lengths 10 and 24 units. What is the area of the rhombus? (Một hình thoi có độ dài hai đường chéo là 10 và 24 đơn vị. Diện tích của hình thoi là bao nhiêu?)

A. 120
B. 150
C. 240
D. 480

Bài 2: Find the perimeter of a rhombus if it has an area of 1200 and a diagonal length of 40. (Tính chu vi của một hình thoi có diện tích 1200 và độ dài một đường chéo là 40.)

A. 144.22
B. 152.36
C. 188.03
D. 174.22

Bài 3: The diagonals of a rhombus are 12 cm and 16 cm. What is the perimeter of the rhombus? (Độ dài hai đường chéo của một hình thoi là 12cm và 16cm. Chu vi của hình thoi là bao nhiêu?)

Bài 4: Quadrilateral ABCD is a rhombus. Given that AB=35,∠DAB=37. Find the length of the diagonal BD.
(Cho tứ giác ABCD là một hình thoi. Biết rằng AB=35, góc DAB=37. Tính độ dài đường chéo BD.)

Đáp án & Giải thích

Bài 1: Đáp án A

Công thức tính diện tích hình thoi là: A=\(\frac{d_1\cdot d_2}{2}\)

Áp dụng từ đề bài: d1=10 và d2=24

⇒ Suy ra, diện tích hình thoi là: A=120.

Bài 2: Đáp án A

Bước 1: Từ diện tích, ta tính được độ dài đường chéo còn lại:

⇒ A=\(\frac{d_1\cdot d_2}{2}\)

⇒ \(d_2=\frac{2A}{d_1}\) = \(\frac{2\cdot1200}{40}\) = 60.

Bước 2: Sau khi biết được độ dài hai đường chéo, ta tính độ dài cạnh bên của hình thoi

⇒ \(a^2=\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2\)

a = \(\sqrt{\left(\frac{40}{2}\right)^2+\left(\frac{60}{2}\right)^2}=\sqrt{20^2+30^2}=\sqrt{1300}=\) 36.06

Bước 3: Tính chu vi hình thoi, P=4a=4x36.06=144.24.

Bài 3:

Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm, tạo ra bốn tam giác vuông bằng nhau.

Mỗi cạnh (a) của hình thoi chính là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nửa độ dài hai đường chéo.

⇒ \(a^2=\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2\)

a = \(\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}\) = 10

Công thức tính chu vi hình thoi là: P=4a (trong đó, a: độ dài một cạnh).

⇒ Lấy từ số liệu trên, ta tính được: P=4.10=40.

Bài 4:

Xét thấy đề bài cho số liệu về AB, AD, góc DAB là những thông tin về tam giác ABD. Đồng thời đề bài yêu cầu tính độ dài BD (cạnh đối diện góc DAB), ta áp dụng định lý cosin cho tam giác.

Định lý cosin phát biểu rằng trong một tam giác bất kỳ, bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích độ dài hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Công thức tổng quát: \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\left(\alpha\right)\) (Trong đó, góc A là góc tạo bởi hai cạnh b và c. )

Áp dụng: đường chéo BD có thể tính bằng định lý cosin trong tam giác ABD:

\(BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot cos\left(DAB\right)\)

Thay số vào:

\(BD^2=35^2+35^2-2\cdot35\cdot35\cdot cos\left(37\right)\)

\(BD^2\) = 1225+1225−2.1225.1225.cos(37) ≈ 493,43

⇒ BD = 22.2.

Đọc tiếp: Area and volume - Công thức, cách làm và bài tập vận dụng

Tổng kết

Trên đây là bài viết nói về hình thoi (rhombus) được vận dụng trong kỳ thi SAT Math. Đề thi yêu cầu thí sinh với kiến thức cơ bản về hình học và toán học. Chính vì vậy, bài viết giới thiệu hai công thức cơ bản để tính diện tích hình thoi, một công thức tính chu vi và một công thức tính cạnh bên. Khi làm bài, thí sinh nên áp dụng chiến thuật 4 bước: (1) xác định đối tượng cần tính và ghi ra công thức tương ứng, (2) từ tất cả dữ liệu trong đề bài, ghi ra tất cả những công thức tính tương ứng để tìm mối liên hệ, (3) chọn những công thức có dữ liệu trong bài và từng bước tính ra giá trị đối tượng đề bài và cuối cùng (4) kiểm tra xem kết quả tính giá trị hình thoi (rhombus) có phù hợp về mặt hình học không.

Để rèn luyện chuyên sâu, thí sinh có thể tham khảo các khóa luyện thi SAT tại ZIM Academy.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.