Cách làm dạng toán về Arc Length trong SAT® Math và bài tập

Trong phần Geometry and Trigonometry của đề thi SAT Math, dạng bài tính Arc Length (độ dài cung tròn) là một trong những dạng toán quen thuộc nhưng dễ gây nhầm lẫn nếu không nắm chắc công thức và đơn vị góc. Bài viết này nhằm giúp thí sinh hiểu rõ bản chất của dạng toán này, từ cách nhận diện bài tập đến việc áp dụng công thức tính nhanh và chính xác. Ngoài ra, bài viết còn giới thiệu một số chiến lược làm bài hiệu quả và lỗi sai thường gặp, giúp thí sinh tối ưu hóa điểm số và rút ngắn thời gian làm bài trong phòng thi.

Arc Length là gì?

Arc Length, hay độ dài cung tròn, là một khái niệm cơ bản trong hình học đường tròn, được định nghĩa là chiều dài của một phần đường cong nằm trên chu vi của một hình tròn. Trong phần Geometry and Trigonometry của bài thi SAT Math, dạng bài về Arc Length thường xuất hiện dưới hình thức yêu cầu thí sinh tính độ dài cung dựa trên dữ kiện về bán kính và góc ở tâm. Để làm tốt dạng toán này, thí sinh cần nắm chắc công thức cũng như hiểu rõ bản chất mối liên hệ giữa độ dài cung, góc ở tâm và bán kính của đường tròn.

Có hai công thức chính được sử dụng để tính độ dài cung, tùy theo đơn vị của góc:

• Khi góc ở tâm được cho bằng radian: Arc Length = θ × r

• Khi góc ở tâm được cho bằng độ: Arc Length = (θ / 360) × 2πr

Trong đó, θ là số đo góc ở tâm, r là bán kính của đường tròn. Nếu đề bài cho đường kính thì cần chia đôi để tìm bán kính.

Các câu hỏi về cung tròn thường không phức tạp về mặt tính toán, nhưng lại dễ gây nhầm lẫn nếu không cẩn thận trong việc xử lý đơn vị góc hoặc xác định nhầm giá trị bán kính. Ngoài ra, đề bài SAT đôi khi yêu cầu tìm một đại lượng khác, chẳng hạn như bán kính hoặc góc, dựa trên độ dài cung đã cho.

Do đó, hiểu sâu bản chất công thức, luyện tập nhiều dạng bài và kiểm tra đơn vị cẩn thận là những bước quan trọng để xử lý nhanh và chính xác các câu hỏi liên quan đến Arc Length trong đề thi SAT.

Bài viết liên quan: Circle theorems trong SAT Math - Chiến lược làm bài và bài tập

Chiến lược làm dạng toán Arc Length trong SAT Math

Để làm tốt các câu hỏi về Arc Length trong đề thi SAT, thí sinh cần kết hợp giữa kiến thức lý thuyết, kỹ năng tính toán, và chiến lược làm bài hiệu quả.

Để làm thật tốt dạng bài thi này, thí sinh cần hiểu rõ định nghĩa Arc Length là gì và trong bài toán phần kiến thức này sẽ được hỏi như thế nào.

Arc Length là phần chu vi ứng với một góc ở tâm. Vì toàn bộ chu vi đường tròn là 2πr, nên một phần của chu vi được tính theo tỷ lệ của góc ở tâm trên tổng góc toàn vòng tròn (360 độ hoặc 2π radian). Dạng bài có thể yêu cầu:

• Tính độ dài cung khi biết góc và bán kính

• Tìm bán kính khi biết độ dài cung và góc

• Tìm góc khi biết độ dài cung và bán kính

• Tìm phần trăm vòng tròn mà cung đó chiếm

Bước 1: Xác định đơn vị góc

Đây là một bước mà các thí sinh nếu làm bài một cách quá vội vã và chủ quan có thể gặp phải. Đây là bước quan trọng nhất để thí sinh kiểm tra xem để áp dụng đúng công thức hay chưa. Một khi xác định sai đơn vị góc, thí sinh có thể cho ra một đáp án lệch rất nhiều so với đề bài.

Nếu đề bài cho góc ở tâm bằng độ (degree), thí sinh hãy sử dụng công thức:

Nếu đề bài cho góc ở tâm bằng radian, sử dụng công thức:

Các câu hỏi đôi khi có thể yêu cầu thí sinh cần biết cách biến đổi giữa hai đơn vị góc và radian. Nếu cần chuyển đổi từ độ sang radian, thí sinh có thể biến đổi như sau:
θ (radian) = θ (degree) × (π / 180)

Ví dụ: 60 độ = 60 × (π / 180) = π/3 radian.

Ví dụ: A circle has a radius of 18 cm. What is the length of the arc that subtends a central angle of 5π/6​ radians?

A. 12π
B. 15π
C. 18π
D. 30π

Góc ở tâm = 5π/6​ radian

Tính bằng công thức góc ở tâm bằng radian:

Arc length (l) = 5π/6​ rad x 18 = 15π

→ B. 15π

Bước 2: Phân tích đề bài một cách trực quan

Đọc kỹ đề bài để xác định rõ các thông tin:

• Góc đã cho là góc gì (góc ở tâm, góc nội tiếp), có số đo góc là bao nhiêu.

• Độ dài bán kính, đường kính

• Đơn vị

• Đại lượng nào cần tính toán.

Việc xác định sai bán kính (chẳng hạn hiểu nhầm giữa bán kính và đường kính) có thể dẫn đến lỗi sai phổ biến. Trong một số bài, góc có thể được biểu thị dưới dạng phần trăm, phần phân số hoặc số radian nhỏ như π/6, π/4,…

In a circle with center O, chord AB subtends an inscribed angle of 30° at point C on the circle (that is, ∠ACB=30°). The diameter of the circle is 20 cm.

What is the length of arc AB?

A. 5/3π
B. 20/3π
C. 10/3π
D. 20π

Tóm tắt:

∠ACB=30°

diameter = 20cm.

Cách làm đúng:

Góc ở tâm = 60°

Bán kính: r = 10

L=60/360×2π(10)=10/3​π

→ Đáp án là C.

Khi làm bài này, các thí sinh có thể mắc một số các lỗi sau:

Lỗi 1 — Nhầm góc nội tiếp với góc ở tâm
Nếu dùng luôn 30° (nhầm ∠ACB là góc ở tâm) nhưng bán kính đúng r=10:

L1=30/360×2π(10)=5/3​π.

→ Kết quả sai: A. 5/3π

Lỗi 2 — Nhầm bán kính với đường kính
Nếu dùng đúng góc ở tâm 60° (số đo góc ở tâm gấp 2 lần số đo góc nội tiếp) nhưng lại sử dụng độ dài đường kính là 20

L2=60/360×2π(20)​=20/3​π.

→ Kết quả sai: B. 20/3​π.

Lưu ý thú vị (bẫy): Nếu một người vừa nhầm góc (dùng 30° thay vì 60°) vừa nhầm bán kính = 20, thì L=30/360×2π(20)=10/3​π, tức là cho đúng giá trị C — nhưng với lý do sai. Đây là cái bẫy: hai lỗi có thể triệt tiêu nhau và cho ra kết quả đúng về mặt số, nên luôn kiểm tra lại lý luận chứ đừng chỉ tin kết quả.

Bước 3: Suy luận và kiểm tra kết quả

Một cách kiểm tra kết quả nhanh là so sánh với chu vi đường tròn. Nếu cung chiếm 90 độ (¼ vòng tròn), thì độ dài cung phải là ¼ của chu vi. Nếu kết quả vượt quá chu vi hoặc có giá trị âm, chắc chắn có lỗi sai. Ngoài ra, nên kiểm tra lại đơn vị, đặc biệt khi chuyển đổi giữa độ và radian.

Một số lưu ý

Dạng toán Arc Length tưởng chừng đơn giản nhưng vẫn có thể gây nhầm lẫn nếu người học không cẩn thận. Dưới đây là một số lưu ý quan trọng giúp tránh sai sót:

• Thứ nhất, không nhầm lẫn giữa bán kính (radius) và đường kính (diameter). Trong công thức tính Arc Length, r là bán kính. Nếu đề bài cho đường kính, cần chia 2 để ra bán kính. Đây là lỗi rất phổ biến.

• Thứ hai, phải xác định đúng đơn vị của góc. Nếu sử dụng sai công thức cho sai đơn vị, kết quả sẽ hoàn toàn sai lệch. Một mẹo nhỏ là nếu thấy công thức có 2πr, nhiều khả năng đề bài cho độ; nếu chỉ có θ × r, đề cho radian.

• Thứ ba, không làm tròn π trừ khi đề bài yêu cầu. Một số câu hỏi sẽ yêu cầu giữ kết quả dưới dạng biểu thức chứa π, ví dụ: “Express your answer in terms of π”. Trong trường hợp này, bấm máy ra số thập phân sẽ bị trừ điểm.

• Thứ tư, nên luyện tập cách chuyển đổi giữa độ và radian thành thạo. Việc nhầm lẫn trong chuyển đổi này thường dẫn đến sai số lớn.

• Cuối cùng, cần đọc kỹ đề bài để xác định mục tiêu chính: có bài yêu cầu tính độ dài cung, nhưng cũng có bài hỏi ngược lại (ví dụ: cung chiếm bao nhiêu phần trăm chu vi, hoặc tìm giá trị còn thiếu khi biết phần còn lại).

Ví dụ: The circle above with center O has a circumference of 48. What is the length of minor arc AB?

Cách giải 1:

Một hình tròn có 360 độ. Trong hình trên, ta thấy O là tâm đường tròn. Hai đường kính trong hình tròn này lại vuông góc với nhau → Góc ở tâm AOC có số đo bằng 90°.

Chu vi hình tròn bằng 2πr = 48 cm.

→ Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn có đơn vị số đo góc = độ:

Minor arc AC’s length = 90°/360° x 2πr = 90°/360° x 48 = 12 cm.

Cách giải 2:

Một hình tròn có 360 độ. Trong hình trên, ta thấy O là tâm đường tròn. Hai đường kính trong hình tròn này lại vuông góc với nhau → Chia đường tròn thành 4 cung bằng nhau, trong đó có cung AC.

→ Độ dài cung nhỏ AC = Chu vi hình tròn/4 = 12 cm.

Bài tập ứng dụng

Bài 1: Một hình tròn có bán kính 10 cm. Góc ở tâm là 90°. Tính độ dài cung được quét bởi góc này.

Lời giải:

• Bán kính: r = 10 cm

• Góc ở tâm = 90°

• Sử dụng công thức tính độ dài cung khi cho góc ở tâm sử dụng đơn vị độ:

  • Arc Length = (90°/360°) × 2π × 10 = (1/4) × 20π = 5π cm.

→ Đáp án: Cung này có độ dài 5π cm.

Bài 2: Một cung tròn có độ dài là 6π cm và bán kính là 9 cm. Tính số đo góc ở tâm theo độ.

Lời giải:

• Độ dài cung: 6π cm.

• Bán kính: r = 9cm

• Arc Length = (θ°/360°) × 2πr → 6π = (θ°/360°) × 18π → θ = 120°.

Bài 3:

Points A, B, and C lie on the circle shown. On this circle, minor arc AB has a length of 45 centimeters and major arc ACB has a length of 185 centimeters. What is the circumference, in centimeters, of the circle shown.

Lời giải:

• Cung nhỏ AB = 45 cm

• Cung lớn ACB = 185 cm

• Chu vi hình tròn = ?

• Ta thấy cung nhỏ AB và cung lớn ACB đều có cùng kết thúc tại hai điểm và hai cung này tạo thành một hình tròn → Hình tròn này có chu vi bằng tổng hai cung tròn AB và ACB.

• Vậy ta có chu vi hình tròn = 45 + 185 = 230 cm.

Bài 4: Một bánh pizza có đường kính 12 inches. Một lát bánh chiếm 60° của hình tròn. Tính độ dài phần viền cong của lát bánh.

Lời giải:

• Bán kính: r = 6

• Góc ở tâm = 60°

• Độ dài phần viền cong của lát bánh= (60/360) × 2π × 6 = (1/6) × 12π = 2π inches.

Bài 5: Một cung tròn có độ dài 8 cm và góc quét là π/2 radian. Tính bán kính của hình tròn.

Lời giải:

• Độ dài cung tròn = 8 cm

• Góc ở tâm = π/2 radian

→ Arc Length = θ × r → 8 = π/2 × r → r = 8 × (2/π) = 16/π.

Đọc tiếp:

• Unit circle trigonometry - Chiến lược làm bài và bài tập

• Right triangle trigonometry SAT math - Tỉ số lượng giác tam giác vuông

Tác giả: Phạm Nam Phương

Tổng kết

Tổng kết lại, dạng toán Arc Length trong SAT Math yêu cầu thí sinh phải hiểu rõ mối quan hệ giữa góc ở tâm, bán kính và độ dài cung, đồng thời phân biệt được khi nào sử dụng đơn vị độ và radian. Việc ghi nhớ công thức, luyện tập các bài toán điển hình, và tránh các lỗi sai cơ bản sẽ giúp người học làm chủ dạng bài này một cách hiệu quả. Để rèn luyện toàn diện hơn các dạng toán trong SAT Math, người đọc có thể tham khảo Khóa học SAT tại ZIM – nơi cung cấp lộ trình luyện thi sát thực tế, chiến lược làm bài và ngân hàng đề thi cập nhật mới nhất.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.