Unit circle trigonometry - Chiến lược làm bài và bài tập

SAT Math là một trong những phần thi khó của bài thi SAT, đòi hỏi người học nắm vững kiến thức toán học Đại số, Hình học,… Trong đó, dạng câu hỏi về Geometry and Trigonometry (Hình học và Lượng giác) gây khó khăn cho nhiều người học, đặc biệt là dạng bài Unit circle trigonometry. ZIM muốn giới thiệu khái quát cũng như chiến lược làm dạng bài này trong SAT Math - Geometry and Trigonometry.

Tổng quan về dạng bài Unit circle trigonometry trong SAT Math - Geometry and Trigonometry

Đường tròn đơn vị (Unit circle) nằm trong dạng bài hình học và lượng giác (Geometry and Trigonometry), bao gồm 5-7 câu hỏi, trên tổng cộng 44 câu hỏi của bài thi SAT Math.[1]

Đường tròn đơn vị (Unit circle): Một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O (0, 0) và bán kính bằng 1 đơn vị.

Với dạng Unit circle trigonometry thường xoay quanh một số nội dung dưới đây:

1. Các phần tư của đường tròn lượng giác:

Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị có bán kính = 1, tâm tại gốc tọa độ (0,0). Góc được tính từ trục Ox dương, ngược chiều kim đồng hồ.

Nó chia thành 4 phần tư (quadrants):

Người học có thể ghi nhớ nhanh bằng câu: “All Students Take Calculus”
→ I: All (cả 3 hàm dương)
→ II: Students (chỉ sin dương)
→ III: Take (chỉ tan dương)
→ IV: Calculus (chỉ cos dương)

2. Chuyển đổi giữa radian và độ:

Công thức:

• Độ = Radian × (180 / π)

• Radian = Độ × (π / 180)

Ví dụ:

• π = 180°

• π/2 = 90°

• 3π/4 = 135°

• 5π/6 = 150°

3. Dùng tam giác vuông đặc biệt để xác định giá trị lượng giác:

Có 2 tam giác đặc biệt thường gặp trong lượng giác:

• Tam giác 45°–45°–90°

  • Góc: 45° → π/4

  • Cạnh: 1 – 1 – √2

  • sin(45°) = cos(45°) = √2 / 2

• Tam giác 30°–60°–90°

  • Góc:

    • 30° → π/6

    • 60° → π/3

  • Cạnh: 1 – √3 – 2

  • sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2

  • sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2

4. Bảng giá trị sin, cos, tan của các góc đặc biệt:

Lưu ý: Dấu của các giá trị sin, cos, tan phụ thuộc vào phần tư của góc.
→ Hãy luôn áp dụng quy tắc “All Students Take Calculus” để xác định dấu đúng.

Xem thêm: Circle theorems trong SAT® Math - Chiến lược làm bài và bài tập

Chiến lược làm bài dạng bài Unit circle trigonometry trong SAT Math

Giải bài toán từng bước

• Bước 1: Đọc kỹ yêu cầu của bài toán, xác định những thông tin đã cho và những gì cần tìm như góc và giá trị x và y tương ứng trên hình tròn đơn vị.

• Bước 2: Áp dụng các tam giác vuông đặc biệt hoặc giá trị sin, cos, và tan đã biết để tìm ra kết quả.

• Bước 3: Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng người học đã trả lời đúng yêu cầu của bài toán.

Ví dụ:

In the xy-plane, O is the center of a circle. The measure of ∠MON is kπ radians. What is the value of k?

A) 1/6
B) 5/6​
C) 1/8​
D) ​1/4

Bước 1: Đọc kỹ yêu cầu của bài toán, xác định những thông tin đã cho và những gì cần tìm như góc và giá trị x và y tương ứng trên hình tròn đơn vị.

Thông tin đã cho:

• A circle with a central angle MON measuring radians.

• M (\(\frac{\sqrt2}{2}\), \(\frac{\sqrt2}{2}\)) measure of central angle MON = kπ

  Thông tin cần tìm

• the value of k

Bước 2: Xử lí dữ liệu, áp dụng công thức.

Draw segment MP which is perpendicular to the x- axis. In right triangle MOP, x = \(\frac{\sqrt2}{2}\) and y =\(\frac{\sqrt2}{2}\)

Since tan ∠MOP = MP/OP = y/x = 1, the measure of ∠MOP = ∠MON is equal to 45°, or π/4 radian.

kπ = π/4

Therefore, k = 1/4
Bước 3: Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng người học đã trả lời đúng yêu cầu của bài toán.

k = 1/4

Một số lưu ý

Công thức cần nhớ:

1. Đường tròn đơn vị được sử dụng để định nghĩa các hàm lượng giác sin, cosin và tangent.

• Sin (sin): Tỷ số giữa độ dài cạnh đối và cạnh huyền trong một tam giác vuông.

• Cosin (cos): Tỷ số giữa độ dài cạnh kề và cạnh huyền trong một tam giác vuông.

• Tangent (tan): Tỷ số giữa độ dài cạnh đối và cạnh kề trong một tam giác vuông.

• Các hàm lượng giác nghịch đảo: arcsin , arccos, arctan.

2. Xác định sin, cos, tan của các số đo phổ biến.

3. Công thức chuyển đổi từ radian sang degree và ngược lại.

Công thức:

• Độ = Radian × (180 / π)

• Radian = Độ × (π / 180)

4. Có thể biểu diễn bất cứ điểm (x,y) nào trên đường tròn:

• x= r cos a = cos a

• y = r sin a = sin a

• y/x = tan a

Những gợi ý hữu ích khi luyện tập dạng bài Unit Circle Trigonometry

• Ghi nhớ công thức, những số đo giá trị đặc biệt thường gặp

Trong quá trình học và luyện tập dạng bài này, người học cần ghi chú và ghi nhớ các công thức toán học liên quan cùng những số đo, giá trị của các góc đặc biệt (30°, 45°, 60°, 90°,…). Điều này sẽ giúp quá trình giải bài nhanh hơn và hiệu quả hơn.

• Hiểu rõ “cơ chế hoạt động” của vấn đề, công thức, cách làm bài chứ không chỉ dừng lại ở ghi nhớ thuộc lòng

Việc ghi nhớ công thức, cách áp dụng để làm bài là điều cần thiết giúp người học giải quyết vấn đề nhanh mà không cần sử dụng máy tính. Tuy nhiên, người học cần học, luyện tập để hiểu rõ chi tiết sự liên quan của các giá trị, yếu tố của đường tròn đơn vị, giúp họ sử dụng nhiều công thức, cách giải hơn để giải quyết những vấn đề phức tạp ở mức độ khó.

Bài tập ứng dụng

Question 1: Which quadrant contains the angle 150°?

A. Quadrant I
B. Quadrant II
C. Quadrant III
D. Quadrant IV

Question 2: In a 45°–45°–90° triangle, what is the value of sin⁡(45°)?

A. 1/2
B. 1/√2
C. √2/2
D. √3/2

Question 3: Which of the following degree measures is equal to 5π radians?
(The number of degrees of arc in a circle is 360. The number of radians of arc in a circle is 2π.)

A. 450°
B. 540°
C. 900°
D. 360°

Question 4: Which of the following degree measures is equal to 3π/2 radians?
(The number of degrees of arc in a circle is 360. The number of radians of arc in a circle is 2π.)

A. 90°
B. 135°
C. 270°
D. 180°

Question 5: Which of the following radian measures is equal to 120°?
(The number of degrees of arc in a circle is 360. The number of radians of arc in a circle is 2π.)

A. π /6
B. 2π/3
C. π/3
D. π

Question 6: Which of the following radian measures is equal to 300°?
(The number of degrees of arc in a circle is 360. The number of radians of arc in a circle is 2π.)

A. 5π /3
B. 5π/6
C. 3π/2
D. 2π

Question 7: Order the following angle measures from largest to smallest

• 210° degrees

• 7π/4 radians

• 3π/2 radians

• 140° degrees

Question 8: In the xy-plane, O is the center of a circle. The measure of ∠AOB is k2π radians. What is the value of k?

A. 1/6
B. ​ 5/6
C. ​ 7/6
D. ​1/3

Đáp án:

1. B

2. C

3. C

4. C

5. B

6. A

7. Angle measures are ordered from largest to smallest:

• 7π/4 radians

• 3π/2 radians

• 210° degrees

• 140° degrees

8. D

Đọc tiếp: Right triangle trigonometry SAT math - Tỉ số lượng giác tam giác vuông

Tổng kết

Bài viết trên đây, Zim đã giới thiệu tổng quan, chiến lược làm bài, một số lưu ý kèm bài tập vận dụng có đáp án dạng bài Unit circle trigonometry trong SAT Math - Geometry and Trigonometry. Trong quá trình tự học, người học có thể tham khảo Chuyên mục Tự học SAT, nơi cung cấp thông tin chi tiết về kỳ thi và các dạng bài thi SAT.

Ngoài ra, để giúp thí sinh giải quyết các dạng toán hiệu quả trong bài thi SAT Math, đội ngũ chuyên môn tại ZIM đã biên soạn tựa sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies. Với mỗi dạng bài, cuốn sách sẽ cung cấp kiến thức cơ bản, các ví dụ và cách giải mẫu, cuối cùng là bài tập luyện tập kèm đáp án có giải thích chi tiết. Đọc thử tại đây.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.