Cách làm dạng bài Solving Linear Equations and Inequalities - SAT Math

SAT (Scholastic Assessment Test) là bài thi chuẩn hoá nhằm đánh giá năng lực của học sinh được phát triển và sở hữu bởi College Board - tổ chức giáo dục phi lợi nhuận tại Mỹ. Kỳ thi SAT thường được tổ chức vào các tháng 3, 5, 6, 10, 11 và 12. Từ tháng 3 năm 2023, bài thi SAT chính thức được chuyển sang hình thức thi trên máy, gọi là Digital SAT. Phần thi Toán của SAT Digital kéo dài 70 phút với 44 câu hỏi, bao gồm phần Đại số (Algebra), chiếm khoảng 35%. Bài viết dưới đây của Anh ngữ ZIM sẽ cung cấp cho người học chiến thuật làm dạng bài Solving linear equations and inequalities - dạng bài phổ biến trong phần thi Math.

Tổng quan về dạng bài Solving linear equations and inequalities

Phương trình tuyến tính (linear equations) và bất phương trình tuyến tính (linear inequalities) gồm các hằng số (constants) và các biến (variables).

Ví dụ: 2x + 1 = 0, 3x + y = 12,… là các phương trình tuyến tính.

Giải phương trình tuyến tính là tìm tất cả nghiệm thoả mãn phương trình đã cho.

Bất phương trình sử dụng các dấu lớn hơn (>), nhỏ hơn (<), lớn hơn hoặc bằng (≥), nhỏ hơn hoặc bằng (≤).

Ví dụ: x + 5 ≤ 2, 3x + y > 5, x + 6 <7,… là các ví dụ về bất phương trình tuyến tính.

Giải bất phương trình tuyến tính là tìm tất cả tập nghiệm thoả mãn bất phương trình đã cho.

Chiến lược làm bài dạng bài Solving linear equations and inequalities trong SAT Math

Giải phương trình tuyến tính (solving linear equations)

Phương trình tuyến tính một biến

Một cách đơn giản để giải phương trình tuyến tính một biến là đưa biến có hệ số 1 về một vế của phương trình. Người học có thể làm điều này bằng cách sử dụng các quy tắc đại số được gọi là tính chất đẳng thức như sau:

• Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

• Nếu a = b, thì a + c = b + c. Ví dụ: nếu x - 3 = 5, thì (x - 3) + 3 = 5 + 3

• Nếu a = b, thì a - c = b - c. Ví dụ: nếu x + 2 = 6 , thì (x + 2) - 2 = 6 - 2

• Nếu a = b thì ac = bc với c ≠ 0 . Ví dụ: nếu (1/2)*x = 3, thì 2*(1/2)*x = 3×2

• Nếu a = b thì a/c = b/c với c ≠ 0. Ví dụ: nếu 3x = 15, thì 3x/3 = 15/3

Ví dụ 1: If 3x + 1= 10, what is the value of x? (Nếu 3x + 1 = 10, thì giá trị của x là?) 

3x + 1 = 10 

⟺ 3x + 1 - 1 = 10 - 1 (trừ đi 1 ở cả hai vế của phương trình) 

⟺ 3x = 9 

⟺ 3x/3 = 9/3 (chia cả hai vế của phương trình cho 3) 

⟺ x = 3 

Ví dụ 2: If 3x - 3 = 7 - 2x, what is the value of x? (Nếu 3x - 3 = 7 - 2x, thì giá trị của x là?) 

3x - 3 = 7 - 2x 

⟺ 3x + 2x = 7 + 3 (chuyển hết x về một vế của phương trình, hệ số tự do về vế còn lại) 

⟺ 5x = 10 

⟺ 5x/5 = 10/5 (chia cả hai vế của phương trình cho 5) 

⟺ x = 2

Ví dụ 3: If x - (3 - 2x) + (4 - 5x) = - 7, what is the value of x? [Nếu x - (3 - 2x) + (4 - 5x) = - 7, thì giá trị của x là?]

x - (3 - 2x) + (4 - 5x) = - 7

⟺ x - 3 + 2x + 4 - 5x = - 7 (thực hiện mở ngoặc)

⟺ x + 2x - 5x = (-7) - 4 + 3 (chuyển hết x về một vế của phương trình, hệ số tự do về vế còn lại) 

⟺ -2x = - 8

⟺ (-2x)/(-2) = (-8)/(-2) (chia cả hai vế của phương trình cho - 2)

⟺ x = 4

Ví dụ 4: What is the solution to the equation (1/3)x + 1/2 = 3/4 [Nghiệm của phương trình (1/3)x + 1/2 = 3/4 là]

(1/3)x + 1/2 = 3/4

⟺ (1/3)x + 1/2 - 1/2 = 3/4 - 1/2 (trừ 1/2 ở cả hai vế của phương trình)

⟺ (1/3)x = 1/4

⟺ (1/3)x : 1/3 = 1/4 : 1/3 (chia cả hai vế của phương trình cho 1/3)

⟺ x = 3/4

Phương trình tuyến tính hai biến

Trong trường hợp đề bài cho phương trình tuyến tính hai biến và biết giá trị của một trong hai biến, người học thay biến đã biết vào phương trình và giải phương trình tìm biến còn lại.

Ví dụ: If 2x + 4y = 6, and x = 1, what is the value of y? (Nếu 2x + 4y = 6, và x = 1, giá trị của y là?)

2x + 4y = 6

⟺ 2 x 1 + 4y = 6 (thay x = 1 vào phương trình)

⟺ 2 + 4y = 6

⟺ 2 + 4y - 2 = 6 - 2 (trừ đi 2 ở hai vế của phương trình)

⟺ 4y = 4

⟺ y = 1 (chia cả hai vế của phương trình cho 4, ta thu được nghiệm y = 1)

Đọc thêm: Cách làm dạng bài Geometry and Trigonometry trong SAT Math & Bài tập

Giải bất phương trình tuyến tính (solving linear inequalities)

Người học sử dụng tính chất của bất đẳng thức để giải tìm nghiệm của bất đẳng thức đã cho.

• Tính chất bắc cầu (transitive property)

Nếu a > b và b > c thì a > c

• Khi cộng/ trừ một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu a > b thì a + c > b + c.

Nếu a > b thì a - c > b - c.

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu a > b, thì ac > bc (với c > 0)

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu a > b, thì ac < bc (với c < 0)

Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤.

Ví dụ 1:  What values of x satisfy the inequality 3x + 1 > 7? (Giá trị nào của x thoả mãn bất đẳng thức 3x +1 > 7?)

3x + 1 > 7

⟺ 3x + 1 - 1 > 7 - 1 (trừ hai vế của bất phương trình cho 1)

⟺ 3x > 6

⟺ x > 2 (chia cả hai vế của bất phương trình cho 3)

Ví dụ 2: What values of x satisfy the inequality 9 - 4x < -2x (Giá trị nào của x thoả mãn bất đẳng thức 9 - 4x < -2x?)

9 - 4x < -2x

⟺ 9 - 4x + 2x < -2x + 2x (cộng 2x vào cả hai vế của bất phương trình)

⟺ 9 - 2x < 0

⟺ 9 - 2x - 9 < 0 - 9

⟺ -2x < - 9

⟺ x > 9/2 (chia cả hai vế cho -2 < 0, bất đẳng thức đổi chiều, ta thu được tập nghiệm x thoả mãn đề bài)

Bài tập ứng dụng

Bài 1:

a. Solve for x: 4x + 5 = 17.

b. If 2(3x − 4) = 5x + 6, what is the value of x?

c. Find x if 7(x − 2) = 3(x + 4) + 2x.

d. What is the solution to the equation (2/5)x −1/3 = 4/15?

e. If 5x − 7y = 13, and x = −1, what is the value of y?

Bài 2:

a. Solve for x: 2x+3 ≤ 9

b. If 3(x − 2) ≥ 2x +4, what values of x satisfy the inequality?

c. Determine the values of x that satisfy the inequality 7 − 4x ≤ 3x + 14

Đáp án:

Bài 1:

a. x = 3

b. x = 14

c. x = 13

d. x = 3/2

c. x = -18/7

Bài 2:

a. x ≤ 3

b. x ≥ 10

c. x ≥ −1

Đọc thêm:

• Phương pháp giải các dạng bài trong SAT Math (P1)

• SAT Math formulas - Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

• Những điều cần biết về Math Test SAT và các thuật ngữ Toán Đại Số

Tổng kết

Bài viết trên đã cung cấp chiến lược làm bài cho dạng giải phương trình và bất phương trình tuyến tính (solving linear equations and inequalities) trong phần thi SAT Math.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào về kỳ thi SAT hoặc tiếng Anh nói chung, người học có thể đặt câu hỏi trên ZIM Helper để nhận được sự hỗ trợ từ đội ngũ Anh ngữ ZIM và cộng đồng học viên. Để đạt điểm cao trong kỳ thi SAT, bạn có thể tham khảo các khóa luyện thi SAT tại Anh ngữ ZIM, nơi cung cấp lộ trình học tập bài bản cùng phương pháp giảng dạy hiệu quả.