Thể tích hình cầu và diện tích mặt cầu | Công thức và cách tính
Key takeaways
Hình cầu là hình được tạo thành khi quay nửa hình tròn quanh đường kính cố định; mặt cầu là bề mặt bao quanh hình cầu.
Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính r: \(S=4\pi r^2\), đơn vị \(cm^2\) hoặc \(m^2\).
Công thức tính thể tích hình cầu bán kính r: \(V=\frac43\pi r^3\), đơn vị \(cm^3\) hoặc \(m^3\).
Diện tích bề mặt hình cầu chính là diện tích mặt cầu.
Thể tích hình cầu và diện tích mặt cầu là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 9. Để giải các bài toán về hình cầu, học sinh cần nắm rõ công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu theo bán kính rr hoặc đường kính, đồng thời phân biệt diện tích bề mặt hình cầu với thể tích khối cầu.
Bài viết hệ thống các công thức hình cầu, gồm công thức diện tích mặt cầu \(S=4\pi r^2\), thể tích hình cầu \(V=\frac43\pi r^3\), cách tính theo bán kính, đường kính và các dạng bài tập vận dụng thường gặp.
Hình cầu và mặt cầu là gì?
Khi quay nửa đường tròn quanh đường kính \(AB\) cố định của nó, ta được một mặt cầu (là phần bề mặt bên ngoài rỗng ruột, ví dụ: quả bóng bàn, bong bóng xà phòng,…)
Khi quay nửa hình tròn quanh đường kính \(AB\) cố định của nó ta được một hình cầu (là toàn bộ phần không gian bao gồm mặt cầu và phần bên trong, ví dụ: quả bi-a, quả bóng bowling,…).
Tâm và bán kính của nửa đường tròn (hình tròn) cũng là tâm và bán kính của mặt cầu (hình cầu). [1]
Điểm \(O\) gọi là tâm mặt cầu và bán kính \(R = OA = OM\), đường kính mặt cầu \(d=2R=AB\)
Nếu cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và hình cầu (còn gọi là mặt cắt) là một hình tròn.
Nếu cắt một mặt cầu bán kính \(R\) bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và mặt cầu là một đường tròn.
Khi mặt phẳng đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính \(R\) và được gọi là đường tròn lớn. Khi mặt phẳng không đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính nhỏ hơn \(R\) [1]
Bảng công thức thể tích hình cầu và diện tích mặt cầu
Với hình cầu có bán kính \(R\) và đường kính \(d=2R\), các công thức hình cầu cần nhớ gồm:
Đại lượng | Theo bán kính R | Theo đường kính d |
|---|---|---|
Diện tích mặt cầu | \(S=4\pi R^2\) | \(S=\pi d^2\) |
Thể tích hình cầu | \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\) | \(V=\frac{\pi d^3}{6}\) |
Diện tích hình cầu hay diện tích bề mặt hình cầu được hiểu là diện tích mặt cầu. Đối với hình cầu, không phân biệt riêng diện tích xung quanh và diện tích toàn phần như hình trụ hoặc hình nón.
Tham khảo thêm: Diện tích xung quanh hình trụ và toàn phần | Công thức và cách tính.
Công thức tính diện tích mặt cầu
Diện tích mặt cầu là diện tích bề mặt bao quanh hình cầu. Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là:
\[S = 4\pi {R^2}\]
Cách tính diện tích mặt cầu: Để tính diện tích mặt cầu, trước tiên xác định bán kính \(R\). Nếu đề bài cho đường kính \(d\), ta có \(R=\frac{d}{2}\), sau đó áp dụng công thức \(S=4\pi R^2\).
Ví dụ 1: Tính diện tích mặt cầu biết bán kính mặt cầu \(R = 0,4\,mm\)
Hướng dẫn giải
Diện tích mặt cầu: \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi(0{,}4)^2 = \frac{{16}}{{25}}\pi \,\,\left( {m{m^2}} \right)\]
Ví dụ 2: Trái Đất của chúng ta được xem là có dạng hình cầu (nên còn gọi là "Địa Cầu”) và đường Xích đạo là một đường tròn lớn, dài khoảng 40 075 km. Tính diện tích bề mặt của Trái Đất (làm tròn kết quả đến đơn vị km²). [1]
Hướng dẫn giải
Do đường Xích đạo là một đường tròn lớn nên bán kính của nó bằng bán kính của Trái Đất.
Nếu gọi \(R\) là bán kính Trái Đất thì độ dài của đường Xích đạo là \(2\pi R \approx 40\,075\,\,\left( {km} \right)\).
Do đó, bán kính của Trái Đất là \[R = 40\,075:2\pi \approx 6378,13\,\left( {km} \right)\,\]
Vậy diện tích của bề mặt trái đất là \[S = 4\pi .{R^2} \approx 511207468\,\,\left( {k{m^2}} \right)\]
Công thức tính thể tích hình cầu
Thể tích hình cầu hay thể tích khối cầu bán kính R được tính theo công thức:
\[V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\]
Với bán cầu có cùng bán kính R, thể tích bán cầu bằng một nửa thể tích hình cầu:
\[V_{\text{bán cầu}}=\frac{2}{3}\pi R^3\]
Cách tính thể tích hình cầu: Để tính thể tích hình cầu, xác định bán kính \(R\) rồi áp dụng công thức \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\). Nếu biết đường kính \(d\), có thể tính \(R=\frac{d}{2}\) trước khi thay vào công thức.
Ví dụ 3. Tính thể tích hình cầu biết đường kính mặt cầu \(d = 6\,cm\)
Hướng dẫn giải
Bán kính mặt cầu đó là: \(R = \frac{d}{2} = 3\,cm\)
Thể tích hình cầu: \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.3^3} = 36\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\]
Ví dụ 4. Bạn Trang có một bể cá có dạng một phần hình cầu với đường kính bằng \(20\,cm\). Khi nuôi cá, Trang thường đổ vào bể lượng nước có thể tích bằng \(\frac{2}{3}\) thể tích của hình cầu. Tính thể tích nước bạn Trang đã đổ vào bể cá. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của \(c{m^3}\)).
Hướng dẫn giải
Bán kính của hình cầu là \(R = \frac{{20}}{2} = 10\,\left( {cm} \right)\).
Thể tích của hình cầu là \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.10^3} = \frac{{4000\pi }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\]
Thể tích nước bạn Trang sử dụng để đổ vào bể cá là: \[\frac{2}{3}.\frac{{4000\pi }}{3} = \frac{{8000\pi }}{9} \approx 2793\,\left( {c{m^3}} \right)\]
Ảnh hưởng của bán kính đến diện tích và thể tích của hình cầu
Từ công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\) suy ra \(S\) tỉ lệ thuận với \({R^2}\)
Do đó khi bán kính tăng lên \(k\) lần thì diện tích mặt cầu tăng lên \({k^2}\) lần.
Tương tự với công thức thể tích hình cầu.
Như vậy, khi bán kính tăng lên \(k\) lần thì diện tích mặt cầu tăng lên \({k^2}\) lần và thể tích hình cầu tăng lên \({k^3}\) lần.
Ví dụ 5: Một công ty đang lên thiết kế một quả bóng da, ban đầu các nhà thiết kế để bán kính quả bóng là \(4\,cm\). Tuy nhiên, sau quá trình khảo sát thị trường, các nhà thiết kế quyết định tăng kích thước bán kính quả bóng lên gấp 3 lần. Hỏi phần diện tích da cần sử dụng để làm quả bóng và thể tích khí cần bơm vào quả bóng thay đổi như thế nào so với ban đầu?
Hướng dẫn giải
Theo công thức tính diện tích ta có \(S = 4\pi {R^2}\), khi \(R\) tăng lên \(3\) lần thì diện tích tăng lên \({3^2}\) tức là \(9\) lần.
Tương tự đối với thể tích \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\), khi \(R\) tăng lên \(3\) lần thì thể tích tăng lên \({3^3}\) tức là \(27\) lần.
Phương pháp giải các dạng bài tập hình cầu thực tế
Dạng 1: Tìm diện tích mặt cầu hoặc thể tích hình cầu khi biết bán kính, đường kính
Bài 1. Cho hình cầu có bán kính \(R = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2}\).
a) Tính diện tích mặt cầu
b) Tính thể tích của hình cầu
Hướng dẫn giải
a) Ta có \[S = 4\pi {\left( {\frac{{5a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 50\pi {a^2}\]
(đvdt)
b) Ta có \[V=\frac{4}{3}\pi{\left( {\frac{{5a\sqrt2 }}{2}} \right)^3}=\frac{{125\pi{a^3}\sqrt2}}{3}\]
(đvtt)
Bài 2. Một quả bưởi hình cầu có đường kính \(18\,cm\). Lớp vỏ dày \(1\,cm\). Tính thể tích của lớp vỏ bưởi (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải
Bán kính quả bưởi là \(R = \frac{{18}}{2} = 9\,cm\) suy ra thể tích quả bưởi là \[{V_1} = \frac{4}{3}\pi {.9^3} = 972\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\]
Bán kính quả bưởi sau khi gọt vỏ là \(r = 9 - 1 = 8\,cm\) suy ra thể tích quả bưởi sau khi gọt vỏ là\[{V_2} = \frac{4}{3}\pi {.8^3} = \frac{{2048}}{3}\pi \,\left( {c{m^3}} \right).\]
Khi đó thể tích lớp vỏ bưởi là\[V={V_1}-{V_2}=972\pi-\frac{{2048}}{3}\pi=\frac{{868}}{3}\pi\approx909\,\,\left({c{m^3}}\right)\]
Dạng 2. Tìm bán kính khi biết diện tích mặt cầu hoặc thể tích hình cầu
Khi biết diện tích mặt cầu hoặc thể tích hình cầu, có thể xác định bán kính theo:
\[R=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}\]
hoặc
\[R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\]
Bài 1. Cho hình cầu có thể tích \(V = 288\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\). Tính đường kính mặt cầu.
Hướng dẫn giải
Ta có thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) hay \(288\pi = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)
Suy ra \[{R^3} = 288\pi .\frac{3}{{4\pi }} = 216\] nên \(R = 6\,\left( {cm} \right)\)
Vậy đường kính mặt cầu là \(d = 2R = 12\,\left( {cm} \right)\)
Bài 2. Một quả pha lê hình cầu có diện tích bề mặt bằng \(144\pi \,\,c{m^2}\). Tính thể tích quả pha lê đó.
Hướng dẫn giải
Vì quả pha lê hình cầu có \(S = 144\pi \,c{m^2}\) nên \(S = 4\pi {R^2}\) hay \(144\pi = 4\pi .{R^2}\)
Suy ra \({R^2} = \frac{{144\pi }}{{4\pi }} = 36\) nên \(R = 6\,\left( {cm} \right)\)
Thể tích quả pha lê là \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.\pi {.6^3} = 228\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\]
Vậy thể tích quả pha lê là \(V=288\pi cm^3\).
Dạng 3. Bài toán thực tế liên quan đến vật thể có một phần hoặc toàn bộ dạng hình cầu
Bài 1. Một tháp nước có bể chứa hình cầu, đường kính bên trong của bể đo được là \(6m\).
a) Tính thể tích của tháp nước đó?
b) Biết rằng lượng nước đựng đầu trong bể đủ dùng cho một khu dân cư trong 5 ngày. Cho biết khu dân cư có 1304 người. Hỏi trong một ngày mức bình quân mỗi người dùng bao nhiêu lít nước (lấy \(\pi = 3,14\); biết \(1\,\left( {{m^3}} \right) = 1000\,\left( l \right)\)
Hướng dẫn giải
a) Vì tháp nước hình cầu có \(R = 6:2 = 3\,m\) nên thể tích của tháp nước là : \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.3{,}14\cdot 3^3 = 113,04\,\left( {{m^3}} \right) = 113040\,\left( l \right)\]
Vậy thể tích của tháp nước là 113040 lít.
b) Một ngày khu dân cư dùng hết số nước là : \[113040:5 = 22608\,\left( l \right)\]
Vậy một ngày mức bình quân mỗi người dùng \[22608:1304=17,34\,\left(l\right)\]
Bài 2. Một đồ vật được thiết kế bởi một nửa khối cầu và một khối nón úp vào nhau sao cho đáy của khối nón và thiết diện của nửa mặt cầu chồng khít lên nhau như hình vẽ bên dưới. Biết hình nón có đường cao gấp đôi bán kính đáy, thể tích của toàn bộ khối đồ vật bằng \(36\pi \,\,c{m^3}\). Tính diện tích bề mặt của toàn bộ đồ vật đó.
Hướng dẫn giải
Thể tích hình nón là \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi {R^2}.2R = \frac{2}{3}\pi {R^3}\]
Thể tích nửa hình cầu là \[{V_2} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{2}{3}\pi {R^3}\]
Thể tích toàn bộ khối đồ vật là \[V = {V_1} + {V_2} = 36\pi\]
Hay \(\frac{4}{3}\pi {R^3} = 36\pi\) Suy ra \(R = 3\)
Diện tích xung quanh của mặt nón là \[{S_1} = \pi R\sqrt {4{R^2} + {R^2}} = \pi {R^2}\sqrt 5 = 9\sqrt 5 \pi\]
Diện tích của nửa mặt cầu là \({S_2} = \frac{1}{2}.4\pi .{R^2} = 18\pi\)
Diện tích bề mặt của toàn bộ đồ vật bằng \[{S_1} + {S_2} = 9\pi \left( {\sqrt 5 + 2} \right)\,\,c{m^2}\]
Bài tập tham khảo
Bài 1. Cho hình cầu có bán kính \(R\). Hãy thay dấu “ ? “ bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau:
Bán kính \(\left( {dm} \right)\) | Diện tích mặt cầu \(\left( {d{m^2}} \right)\) | Thể tích hình cầu \(\left( {d{m^3}} \right)\) |
|---|---|---|
\(4\) | ? | ? |
? | \(144\pi\) | ? |
? | ? | \(36\pi\) |
? | \(196\pi\) | ? |
Bài 2. Trái Đất được xem gần đúng là một hình cầu có bán kính 6370 km. Biết rằng khoảng 71% diện tích bề mặt Trái Đất được bao phủ bởi nước. Tính diện tích phần bề mặt Trái Đất được bao phủ bởi nước (lấy \(\pi=3,14\); kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Bài 3. Một hộp đựng mỹ phẩm được thiết kế (tham khảo hình vẽ) có thân hộp là hình trụ có bán kính hình tròn đáy \(r = 5\,cm\), chiều cao \(h = 6\,cm\) và nắp hộp là một nửa hình cầu. Người ta cần sơn mặt ngoài của cái hộp đó (không sơn đáy) thì diện tích S cần sơn là bao nhiêu?
Bài 4. Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi \,\left( {d{m^3}} \right)\). Biết rằng hình cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của hình cầu chìm trong nước (hình bên dưới). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình.
Tham khảo thêm:
Chuyên đề đã tổng hợp chi tiết công thức tính thể tích hình cầu và diện tích mặt cầu. Việc làm chủ các công thức này đóng vai trò cốt lõi giúp học sinh lớp 9 tự tin giải quyết các bài tập hình học không gian từ cơ bản đến thực tế. Đây là nền tảng tri thức quan trọng hỗ trợ người học củng cố tư duy logic và chuẩn bị hành trang tốt nhất cho các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là nền tảng tri thức quan trọng trong chuyên đề Toán 9, giúp người học củng cố tư duy logic và chuẩn bị tốt cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.
Nguồn tham khảo
“Sách giáo khoa Toán 9, tập 2.” NXB Giáo dục Việt Nam, Accessed 22 August 2026.
Bình luận - Hỏi đáp