Thể tích hình nón | Công thức tính và cách giải bài tập

Trong hình học không gian, thể tích hình nón hay thể tích khối nón được xác định dựa trên bán kính đáy và chiều cao của hình nón. Nắm vững công thức tính thể tích hình nón \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\), trong đó \(r\) là bán kính đáy và \(h\) là chiều cao, giúp học sinh xác định đúng các đại lượng và thực hiện cách tính thể tích hình nón chính xác.

Bài viết hệ thống công thức thể tích hình nón, mối liên hệ với diện tích đáy \(S=\pi r^2\), hướng dẫn cách tính thể tích khối nón và áp dụng qua các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Hình nón là gì?

Khi quay tam giác vuông \(SOA\) (vuông tại \(O\)) một vòng quanh cạnh \(SO\) cố định, ta được một hình nón đỉnh \(S\), trong đó:

• Đáy của hình nón là hình tròn \(\left(O;OA\right)\). Độ dài \(r=OA\) được gọi là bán kính đáy của hình nón.

• Mỗi đường sinh là một vị trí của \(SA\) khi quay. Các đường sinh của hình nón có độ dài bằng nhau, kí hiệu \(l=SA=SB\).

• \(SO\) là đường cao của hình nón. Độ dài \(h=SO\) được gọi là chiều cao của hình nón. [1]

Ví dụ 1: Một số đồ vật trong thực tế có dạng hình nón.

Thể tích hình nón là gì?

Thể tích hình nón hay thể tích khối nón là phần không gian mà hình nón chiếm chỗ. Giá trị này phụ thuộc vào diện tích đáy và chiều cao của hình nón. Trong đó, đáy là một hình tròn có bán kính \(r\), còn chiều cao \(h\) là khoảng cách vuông góc từ đỉnh hình nón đến tâm của mặt đáy.

Để tính thể tích của hình nón, cần xác định chính xác bán kính đáy và chiều cao trước khi áp dụng công thức thể tích hình nón. Đơn vị thể tích thường được biểu diễn dưới dạng đơn vị khối như \(cm^3\), \(dm^3\) hoặc \(m^3\).

Công thức tính thể tích hình nón

Thể tích hình nón hay thể tích khối nón bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao:

\[V=\frac{1}{3}S.h\]

Trong đó:

• \(V\) là thể tích của hình nón.

• \(S\) là diện tích đáy.

• \(h\) là chiều cao của hình nón.

Vì đáy của hình nón là hình tròn nên diện tích đáy được tính theo công thức \(S=\pi r^2\), trong đó \(r\) là bán kính đáy. Thay vào công thức trên, ta được công thức thể tích hình nón:

\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)

Như vậy, để tính thể tích của hình nón hoặc khối nón tròn xoay, cần xác định bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\). Với cùng bán kính đáy và chiều cao, thể tích hình nón bằng một phần ba thể tích hình trụ.

Lưu ý: Các đại lượng độ dài cần được đổi về cùng một đơn vị trước khi tính. Đơn vị của thể tích là đơn vị khối như \(cm^3\), \(dm^3\) hoặc \(m^3\).

Trong một số bài toán, đề bài chưa cho trực tiếp chiều cao hoặc bán kính đáy. Khi đó, có thể sử dụng mối liên hệ giữa bán kính đáy, chiều cao và đường sinh của hình nón để xác định đại lượng còn thiếu.

Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\). Theo định lý Pytago, ta có:

\(SA^2=SO^2+OA^2\)

Hay \(l^2=h^2+r^2\). Từ đó:

\(h=\sqrt{l^2-r^2}\) hoặc \(r=\sqrt{l^2-h^2}\).

Cách tính thể tích hình nón

Bước 1: Xác định bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) của hình nón từ dữ kiện đề bài. Nếu đề bài cho đường sinh, có thể sử dụng định lý Pytago để tìm đại lượng còn thiếu.

Bước 2: Thay các giá trị vào công thức tính thể tích hình nón \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\).

Bước 3: Thực hiện phép tính và kết luận kết quả với đơn vị thể tích phù hợp.

Ví dụ 2: Cho một hình nón có bán kính đáy bằng \(7\,cm\) và đường sinh bằng \(25\,cm\). Tính thể tích của hình nón.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\). Theo định lý Pytago:

\(SA^2=SO^2+OA^2\)

\(25^2=SO^2+7^2\)

\(SO^2=25^2-7^2=576\)

\(SO=24\,cm\)

Thể tích của hình nón là:

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi .7^2.24=392\pi\,cm^3\]

Phân tích: Đề bài chưa cho chiều cao của hình nón nên cần sử dụng mối liên hệ giữa bán kính đáy, đường sinh và chiều cao để tìm \(h\) trước khi áp dụng công thức tính thể tích.

Ứng dụng công thức tính thể tích hình nón trong thực tế

Phương pháp: Trong các bài toán thực tế, công thức tính thể tích hình nón có thể được sử dụng để xác định sức chứa hoặc lượng vật chất của các vật thể có dạng hình nón như đống cát, đống muối, phễu hoặc vật chứa. Trong các bài toán tổng hợp, công thức thể tích cũng có thể kết hợp với diện tích hình nón, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần để xác định các đại lượng còn thiếu.

Ví dụ 3: Người ta đổ muối thu hoạch được trên cánh đồng thành từng đống có dạng hình nón với chiều cao khoảng \(0,9\,m\) và đường kính đáy khoảng \(1,6\,m\). Hỏi mỗi đống muối có bao nhiêu decimét khối muối? Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của \(dm^3\). [1]

Hướng dẫn giải

Bán kính đáy của đống muối là:

\[r=\frac{1,6}{2}=0,8\,m\]

Thể tích đống muối là:

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi .0,8^2.0,9\approx0,603\,m^3=603\,dm^3\]

Vậy mỗi đống muối có khoảng \(603\,dm^3\) muối.

Bài tập thể tích hình nón có lời giải

Bài 1: Tính thể tích hình nón khi biết bán kính và chiều cao

Cho tam giác \(OIM\) vuông tại \(I\), có \(OI=4\,cm\) và \(IM=3\,cm\). Khi quay tam giác \(OIM\) quanh cạnh góc vuông \(OI\), ta được một hình nón.

a) Tính độ dài đường sinh của hình nón.

b) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

c) Tính thể tích của hình nón.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \(OIM\) vuông tại \(I\). Theo định lý Pytago:

\(OM^2=IM^2+OI^2\)

\(OM^2=3^2+4^2=25\)

\(OM=5\,cm\)

Khi quay tam giác \(OIM\) quanh cạnh \(OI\), hình nón tạo thành có bán kính đáy \(r=IM=3\,cm\), chiều cao \(h=OI=4\,cm\) và đường sinh \(l=OM=5\,cm\).

b) Diện tích xung quanh của hình nón là:

\[S_{xq}=\pi rl=\pi .3.5=15\pi\,cm^2\]

c) Thể tích của hình nón là:

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi .3^2.4=12\pi\,cm^3\]

Bài 2: Tính thể tích hình nón tạo bởi phép quay tam giác

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), biết \(BC=2\,dm\). Khi quay tam giác \(ABC\) xung quanh trục \(AI\), ta được hình nón. Tính thể tích hình nón.

Hướng dẫn giải

Khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(AI\), hình nón tạo thành có bán kính đáy:

\[r=\frac{BC}{2}=1\,dm\]

Đường sinh của hình nón là:

\[l=AB=AC=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,dm\]

Chiều cao của hình nón là:

\[h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1\,dm\]

Thể tích của hình nón là:

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi .1^2.1=\frac{\pi}{3}\,dm^3\]

Bài 3: Bài toán thực tế về sức chứa của hình nón

Một chiếc nón có bán kính đáy bằng \(15\,cm\) và chiều cao bằng \(20\,cm\). Hỏi chiếc nón múc đầy được bao nhiêu \(cm^3\) nước? Lấy \(\pi=3,14\).

Hướng dẫn giải

Chiếc nón có bán kính đáy \(r=15\,cm\) và chiều cao \(h=20\,cm\), nên thể tích là:

\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}.3,14.15^2.20=4710\,cm^3\)

Vậy chiếc nón múc đầy được \(4710\,cm^3\) nước.

Bài 4: Tính thể tích hình nón khi biết diện tích xung quanh

Một xưởng thủ công sản xuất những chiếc nón lá có dạng hình nón. Để thiết kế hộp đựng vừa vặn cho sản phẩm, người ta cần tính thể tích khoảng không gian bên trong chiếc nón. Biết diện tích xung quanh của mỗi chiếc nón là \(4710\,cm^2\) và bán kính vành nón là \(30\,cm\). Hãy tính thể tích hình nón lá đó, lấy \(\pi\approx3,14\).

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của hình nón:

\(S_{xq}=\pi rl\)

Suy ra đường sinh:

\[l=\frac{S_{xq}}{\pi r}=\frac{4710}{3,14.30}=50\,cm\]

Chiều cao của hình nón là:

\[h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\,cm\]

Thể tích của hình nón là:

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}.3,14.30^2.40=37680\,cm^3\]

Bài 5: Bài toán thể tích nước trong hai hình nón

Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng \(2\,dm\) được đặt như hình vẽ, mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới. Lúc đầu, hình nón trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước chảy xuống hình nón dưới qua lỗ ở đỉnh của hình nón trên. Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm chiều cao của nước trong hình nón trên bằng \(1\,dm\).

Hướng dẫn giải

Gọi \(a\) là bán kính đáy của mỗi hình nón và \(h\) là chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm xét.

Gọi \(V_1\) là thể tích nước ban đầu khi hình nón trên chứa đầy. Khi đó:

\[V_1=\frac{1}{3}\pi a^2.2=\frac{2\pi a^2}{3}\]

Khi chiều cao của phần nước còn lại trong hình nón trên bằng \(1\,dm\), gọi \(R\) là bán kính mặt nước. Do hai hình nón đồng dạng:

\(\frac{R}{a}=\frac{1}{2}\)

Suy ra:

\(R=\frac{a}{2}\)

Gọi \(V_2\) là thể tích nước còn lại trong hình nón trên. Ta có:

\[V_2=\frac{1}{3}\pi R^2.1=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{\pi a^2}{12}\]

Trong hình nón dưới, gọi \(r\) là bán kính mặt nước. Do các hình nón đồng dạng:

\(\frac{r}{a}=\frac{h}{2}\)

Suy ra:

\(r=\frac{ah}{2}\)

Gọi \(V_3\) là thể tích nước trong hình nón dưới. Khi đó:

\[V_3=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{ah}{2}\right)^2h=\frac{\pi a^2h^3}{12}\]

Theo định luật bảo toàn thể tích nước:

\[V_1=V_2+V_3\]

Do đó:

\[\frac{2\pi a^2}{3}=\frac{\pi a^2}{12}+\frac{\pi a^2h^3}{12}\]

Nhân hai vế với \(\frac{12}{\pi a^2}\), ta được:

\(8=1+h^3\)

\(h^3=7\)

Suy ra:

\(h=\sqrt[3]{7}\,dm\)

Vậy chiều cao của nước trong hình nón dưới là \(\sqrt[3]{7}\,dm\).

Bài tập thể tích hình nón tham khảo

Bài 1. Cho hình nón có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\) và đường sinh \(l\). Hãy thay dấu “?” bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau:

Bài 2. Cho tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), có \(AC=a\sqrt{3}\) và \(BC=2a\). Khi quay tam giác \(ABC\) xung quanh trục \(AB\), ta thu được hình nón. Tính thể tích hình nón.

Bài 3. Chú hề trên sân khấu thường có chiếc mũ dạng hình nón. Có thể mô phỏng cấu tạo và kích thước chiếc mũ như hình vẽ. Hỏi thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề bằng bao nhiêu centimet khối? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Bài 4. Bác Bình có một đống cát dạng hình nón cao \(2\,m\) và đường kính đáy là \(6\,m\). Bác tính rằng để sửa xong ngôi nhà cần \(30\,m^3\) cát. Hỏi bác Bình cần bổ sung thêm bao nhiêu \(m^3\) cát để đủ sửa nhà? Lấy \(\pi\approx3,14\).

Bài 5. Một chiếc thùng chứa đầy nước có dạng khối lập phương. Đặt vào trong thùng một khối nón sao cho đỉnh của khối nón trùng với tâm một mặt của khối lập phương, còn đáy hình nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số giữa thể tích lượng nước trào ra ngoài và thể tích lượng nước còn lại trong thùng.

Tham khảo thêm: Tổng hợp công thức tính thể tích các hình khối và cách tính chi tiết.

Bài viết đã hệ thống hóa công thức tính thể tích hình nón cùng quy trình ba bước giải từ việc xác định bán kính, chiều cao (vận dụng định lý Pythagore khi cần) đến thay số và tính toán đơn vị. Phần kiến thức hình học không gian này đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán 9, giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán thực tế và củng cố nền tảng kiến thức trong các chuyên đề Toán học lớp 9 để chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.