Trigonometric ratios là gì? Kiến thức trọng tâm tam giác vuông SAT® Math

Trong kỳ thi SAT® Math, kiến thức lượng giác (trigonometry) thường tập trung vào một số khái niệm cốt lõi và dễ nhận diện. Các câu hỏi chủ yếu xoay quanh tam giác vuông, tỉ số lượng giác cơ bản (trigonometric ratios) và mối quan hệ giữa các góc phụ nhau.

Trong bài viết này, người học sẽ được ôn lại nền tảng SOHCAHTOA, hiểu rõ mối quan hệ sin-cos-tan thường xuyên xuất hiện trong đề thi, đồng thời làm quen với cách sử dụng đơn vị radian. Qua đó, thí sinh có thể xác định chính xác phần kiến thức cần đầu tư và tránh học lan man, từ đó nâng cao hiệu quả làm bài và tối ưu hóa điểm số.

Trigonometric ratios là gì?

Trong hình học và lượng giác, trigonometric ratios (tỉ số lượng giác) là các tỉ số giữa độ dài các cạnh của một tam giác vuông, được xác định tương ứng với một góc nhọn cụ thể trong tam giác đó. [1]

Xét một tam giác vuông △ABC với góc vuông tại C và góc A là góc tham chiếu. Khi đó, ba cạnh của tam giác được xác định như sau:

• Hypotenuse (cạnh huyền): cạnh đối diện với góc vuông, đồng thời là cạnh dài nhất của tam giác.

• Opposite (cạnh đối): cạnh đối diện với góc tham chiếu.

• Adjacent (cạnh kề): cạnh kề với góc tham chiếu, không phải là cạnh huyền.

SOHCAHTOA và tam giác vuông

Đối với dạng câu hỏi về trigonometric ratios, SOHCAHTOA là quy tắc ghi nhớ quan trọng giúp thí sinh xử lý nhanh và chính xác các câu hỏi về tỉ số lượng giác, nếu thí sinh xác định đúng góc tham chiếu và gọi đúng tên các cạnh.

Định nghĩa các tỉ số lượng giác (trigonometric ratios)

Với một tam giác vuông và một góc nhọn được chọn làm góc tham chiếu:

• Sine (sin) là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền

• Cosine (cos) là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền

• Tangent (tan) là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề

Quy tắc ghi nhớ SOHCAHTOA

Ví dụ áp dụng trigonometric ratios

Xét tam giác △ABC vuông tại C với:

• Cạnh huyền AB=10;

• Cạnh góc vuông BC=6;

• Cạnh góc vuông còn lại AC=8.

Yêu cầu: Tìm các tỉ số lượng giác của góc A.

Bước 1: Tìm sin⁡(A) (SOH)

\(\sin(A)=\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\)\(=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)

Bước 2: Tìm cos⁡(A) (CAH)

\(\cos(A)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\)\(=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)

Bước 3: Tìm tan⁡(A) (TOA)

\(\tan(A)=\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\)\(=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

Mối quan hệ giữa sin và cosin trong hai góc phụ nhau

Nguồn gốc công thức: Hai góc phụ nhau trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, tổng ba góc luôn bằng \(180^{o}\). Vì đã có một góc vuông bằng \(90^{o}\), nên hai góc còn lại (gọi là x và y) bắt buộc là góc nhọn và tổng của chúng sẽ là \(90^{o}\). Hai góc nhọn x và y như vậy được gọi là hai góc phụ nhau (complementary angles).

• Về mặt hình học: Cạnh đối diện với góc x chính là cạnh kề với góc y.

• Về mặt tỉ số: Vì sin dùng cạnh đối và cosin dùng cạnh kề, nên giá trị của chúng tại hai góc này sẽ khớp nhau hoàn toàn.

Kết luận: Trong một tam giác vuông, sin của góc nhọn này luôn bằng cosin của góc nhọn kia.

\[\sin(x) = \cos(y)\]\[\text{khi } x + y = 90^\circ \text{ (hoặc } \frac{\pi}{2} \text{ radians)}\]

Chứng minh mối quan hệ giữa sin và cos trong hai góc phụ nhau

Xét tam giác vuông △ABC vuông tại C.

Khi đó, hai góc A và B đều là góc nhọn và thỏa mãn:

\[A+B=90^{o}\]Ta lần lượt xét các tỉ số lượng giác của hai góc này.

Bước 1: Xét sin⁡(A)

Với góc A, theo định nghĩa:

• Cạnh đối (opposite) là BC.

• Cạnh huyền (hypotenuse) là AB.

\[\sin(A)=\frac{\text{opposite​}}{\text{hypotenuse}}=\frac{BC}{AB}\]

Bước 2: Xét cos⁡(B)

Với góc B, theo định nghĩa:

• Cạnh kề (adjacent) là BC.

• Cạnh huyền (hypotenuse) vẫn là AB.

\[cos(B)=\frac{adjacent}{hypotenuse}=\frac{BC}{AB}\]

Bước 3: So sánh hai biểu thức

Từ hai kết quả trên, ta thấy:

\[sin(A)=\frac{BC}{AB}=cos(B)\]Vì \(A+B=90^{o}\), nên có thể viết lại dưới dạng tổng quát hơn: \(sin(A)=cos(B)\)\(\iff sin(x)=cos(90^{o}-x)\)

Ví dụ dạng câu hỏi hai góc phụ nhau trong đề thi SAT

Trong SAT® Math, mối quan hệ giữa sin và cos của hai góc phụ nhau thường được kiểm tra thông qua các câu hỏi dạng suy luận, thay vì yêu cầu thí sinh viết lại công thức.

Ví dụ 1: If x is the number of degrees of one acute angle in a right triangle, and \(\sin x = \frac{3}{5}\) , find \(\cos(90 - x)\).

Trong dạng bài này, SAT không yêu cầu dựng tam giác hay tính thêm cạnh. Thí sinh chỉ cần nhận ra rằng: \(cos(90^{o}-x)=sin(x)\), nên đáp án chính là \(\frac35\).

Ví dụ 2: In a right triangle with side lengths 7, 24 and 25, let x be the measure of the smaller acute angle.

1. Find sin(x)

2. Find \(\sin\left(90^0-x\right)\)

Tam giác có cạnh lớn nhất là 25 nên đây là cạnh huyền.
Góc nhọn nhỏ hơn sẽ đối diện với cạnh ngắn hơn, tức là cạnh dài 7.

Ta có: \(sinx=\frac{opposite}{hypotenuse}=\frac{7}{25}\)

Vì \(90^0-x\) là góc phụ của x, nên: \(sin(90^{o}-x)=cosx\)

Mà: \(cos\left(x\right)=\frac{adjacent}{hypotenuse}=\frac{24}{25}.\)

Làm quen với radian trong trigonometric ratios

Radian là gì?

Radian là một đơn vị đo góc, tương tự như cách mét và feet đều được dùng để đo độ dài. Nếu độ (degree) là đơn vị quen thuộc trong chương trình phổ thông, thì radian cũng là đơn vị thường dùng và xuất hiện trong đề thi SAT. Radian chỉ là cách biểu diễn khác của góc, không làm thay đổi bản chất của các tỉ số lượng giác.

Công thức chuyển đổi đơn vị radian trong trigonometric ratios

Nếu gặp một góc ở đơn vị radian và muốn đổi sang độ để dễ hình dung, người học chỉ cần thay \(\pi\) bằng \(180^{o}\) và thực hiện phép chia.

Áp dụng vào công thức góc phụ (complementary angles)

Ở phần trước, ta đã có công thức quen thuộc khi dùng đơn vị độ: \(sin(x)=cos(90^{o}-x)\)
Khi chuyển sang radian, vì \(90^{o}=\frac{\pi}{2}\), công thức tương ứng sẽ là:

\[sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)\]Hai công thức trên hoàn toàn giống nhau về bản chất, chỉ khác đơn vị đo góc.

Bài tập thực hành trigonometric ratios mô phỏng đề thi SAT [2]

Question 1 (Dạng 1: SOHCAHTOA trong trigonometric ratios): In right triangle PQR, angle R is the right angle. If PQ = 13, QR = 5, and PR = 12, what is sin(P)?

Câu hỏi: Trong tam giác vuông PQR, góc R là góc vuông. Nếu PQ = 13, QR = 5 và PR = 12, hãy tìm giá trị của sin(P).

Lời giải:

Vì góc R là góc vuông nên:

• PQ = 13 là cạnh huyền

• Với góc P, cạnh đối diện là QR = 5

Theo SOH: \(sin(P)=\frac{opposite}{hypotenuse}=\frac{QR}{PQ}=\frac{5}{13}\)

Question 2 (Dạng 1: SOHCAHTOA trong trigonometric ratios): In a right triangle XYZ, angle Z is the right angle. If the leg adjacent to angle X is 9 and the hypotenuse is 15, what is cos(X)?

Câu hỏi: Trong tam giác vuông XYZ, góc Z là góc vuông. Nếu cạnh kề với góc X dài 9 và cạnh huyền dài 15, hãy tìm cos(X).

Lời giải:

Theo CAH: \(cos(X)=\frac{adjacent}{hypotenuse}=\frac{9}{15}=\frac35\)

Question 3 (Dạng 2: Góc phụ nhau theo đơn vị độ): In right triangle ABC, angle C is the right angle. If sin(A) = 4/5, what is cos(B)?

Câu hỏi: Trong tam giác vuông ABC, góc C là góc vuông. Nếu sin(A) = 4/5, hãy tìm cos(B).

Lời giải:

Trong tam giác vuông: \(A+B=90^{o}\)

Theo công thức góc phụ nhau: \(sin(A)=cos(B)\)

Do đó: \(cos(B)=\frac45\)

Question 4 (Dạng 2: Góc phụ nhau theo đơn vị độ): In triangle DEF, angle F is a right angle. If sin(D) = 0.6, what is cos(E)?

Câu hỏi: Trong tam giác DEF, góc F là góc vuông. Nếu sin(D) = 0.6, hãy tìm cos(E).

Lời giải:

Vì D và E là hai góc phụ nhau nên: \(sin(D)=cos(E)\)

Suy ra: \(cos(E)=0.6\)

Question 5 (Dạng 3: Góc phụ nhau theo đơn vị radian): If sin(x) = 0.7 and x + y = π/2, what is cos(y)?

Câu hỏi: Nếu sin(x) = 0.7 và x + y = π/2, hãy tìm cos(y).

Lời giải:

Vì: \(y=\frac{\pi}{2}-x\)

Theo công thức góc phụ (đơn vị radian): \(cos(y)=sin(x)\)

Do đó: \(cos(y)=0.7\)

Question 6 (Dạng 3: Góc phụ nhau theo đơn vị radian): If cos(t) = 0.4 and t + s = π/2, what is sin(s)?

Câu hỏi: Nếu cos(t) = 0.4 và t + s = π/2, hãy tìm sin(s).

Lời giải:

Ta có: \(s=\frac{\pi}{2}-t\)

Theo công thức góc phụ: \(sin(s)=cos(t)\)

Suy ra: \(sin(s)=0.4\)

Question 7 (Dạng 4: Reasoning): If sin(2a) = cos(3a), where 2a and 3a are acute angles, what is the value of a?

Câu hỏi: Nếu sin(2a) = cos(3a), trong đó 2a và 3a đều là các góc nhọn, hãy tìm giá trị của a.

Lời giải:

Theo công thức góc phụ: \(2a+3a=90^{o}\Rightarrow5a=90^{o}\Rightarrow a=18^{o}\)

Question 8 (Dạng 4: Reasoning): If \(sin(4x-10^{o})=cos(3x+5^{o})\) and both angles are acute, what is the value of x?

Câu hỏi: Nếu \(sin(4x-10^{o})=cos(3x+5^{o})\), trong đó cả hai góc đều là góc nhọn, hãy tìm giá trị của x.

Lời giải:

Theo công thức góc phụ: \(\left(4x-10^{o}\right)+(3x+5^{o})=90^{o}\)

Gộp các hạng tử: \(7x-5^{o}=90^{o}\)

Giải phương trình: \(7x=95^{o}\Rightarrow x=\frac{95}{7}^{o}\)

Kết luận

Trong SAT® Math, phần tỉ số lượng giác (trigonometric ratios) xoay quanh ba điểm cốt lõi: ghi nhớ SOHCAHTOA, nhận diện nhanh công thức góc phụ, và xử lý đúng đơn vị radian với \(\pi=180^{o}\). Thay vì tính toán dài dòng, việc nhận diện dạng bài và áp dụng quy luật phù hợp sẽ giúp tiết kiệm thời gian và giảm sai sót. Để luyện tập có hệ thống và tiếp cận ngân hàng câu hỏi sát đề thi, người học có thể tham khảo các khóa học SAT tại ZIM Academy.