Combining like terms - Kết hợp các hạng tử đồng dạng trong SAT® Math

Trong kì thi SAT, đặc biệt là phần thi Math, kỹ năng kết hợp các hạng tử đồng dạng (combining like terms) là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán đại số từ đơn giản đến phức tạp. Không chỉ giúp đơn giản hóa biểu thức, kĩ năng này giúp giảm thiểu lỗi sai, tiết kiệm thời gian. Bài viết khái quát hóa khái niệm, quy tắc kỹ năng kết hợp các hạng tử đồng dạng (combining like terms), giúp thí sinh nâng cao kỹ năng giải toán đại số và làm bài chính xác.

Hạng tử đồng dạng (like terms) là gì?

Trong biểu thức đại số, một hạng tử (term) gồm hai phần:

• Hệ số (coefficient): số nhân trước biến (ví dụ 5 trong 5x)

• Phần biến (variable): có thể kèm thêm biến và số mũ, ví dụ x², y³

Định nghĩa hạng tử đồng dạng: Hạng tử đồng dạng (like terms) là những hạng tử có cùng biến (cùng số mũ và hệ số với nhau), bất kể hệ số.

Ví dụ:

• 3x và -5x là hai hạng tử đồng dạng bởi có cùng biến x, cùng số mũ 1.

• 2y² và 7y² là hai hạng tử đồng dạng bởi có cùng biến y, cùng số mũ 2.

• 4 và -9 là hai hạng tử đồng dạng bởi cùng là hằng số.

• 3x và 4y là hai hạng tử không đồng dạng bởi có biến số khác nhau (x và y), dù cùng số mũ 1.

• x² và x không là hai hạng tử không đồng dạng bởi có số mũ khác nhau (2 và 1), dù cùng biến số x.

• 5xy và 5x²y không là hai hạng tử không đồng dạng bởi có số mũ khác nhau.

Việc kết hợp các hạng tử đồng dạng (combining like terms) giúp đơn giản hóa các biểu thức đại số, từ đó được giải quyết chính xác và nhanh gọn. Tuy nhiên, việc kết hợp chỉ được áp dụng khi các hạng tử có cùng phần biến với nhau. Nếu kết hợp không đúng với điều kiện trên, biểu thức sẽ sai hoàn toàn, dẫn đến mất điểm đáng tiếc trong phần thi SAT Math. Bởi vậy, thí sinh khi áp dụng cần nắm vững lý thuyết, tránh sai ở các bước như nhận diện nhầm hạng tử đồng dạng, cộng trừ sai dấu, hoặc nhầm biến.

Đọc thêm: SAT Math Question: Khái niệm đại số, giải phương trình & hàm số

Quy tắc và cách kết hợp các hạng tử đồng dạng (combining like terms)

Quy tắc cơ bản: Cộng trừ hệ số, giữ nguyên phần biến.

Ví dụ:

• 5x + 3x = (5 + 3)x = 8x

• -9y + 6y = (-9 + 6)y = -3y

Trường hợp hệ số của các hạng tử là 1 hoặc -1: 1x = x, -1x = -x

Ví dụ:

• -12x - x +3x = (-12 - 1 + 3)x = -10x

Trường hợp số mũ của các hạng tử lớn hơn 1:

• -3y^5 + 4y^5 = (-3 +4)y^5 = y^5

• 2x^7 + 4x^7 - x^7 = (2 + 4 -1)x^7 = 5x^7

Các bước thực hiện kết hợp các hạng tử đồng dạng (combining like terms):

1. Thí sinh xác định biến và số mũ của mỗi hạng tử trong biểu thức (có thể gạch chân, ghi lại hoặc phân chia nhóm theo biến)

2. Cộng/ trừ hệ số của các nhóm tương ứng.

3. Viết biểu thức tối giản sau khi kết hợp (sắp xếp biến theo thứ tự x, y… và loại bỏ các hạng tử có hệ số 0)

Lưu ý: Với biểu thức chứa nhiều biến (xy, x²y, xy²,…) chỉ kết hợp các biểu thức đồng dạng hoàn toàn. Ví dụ, 3xy và 4xy có thể kết hợp với nhau thành 3xy + 4xy = 7xy, nhưng 3xy và 4x²y không thể kết hợp do khác nhau về số mũ.

Phân tích ví dụ:

Ví dụ 1: x² + 10x² - 6x²

Trong ví dụ này, nhận thấy tất cả các hạng tử đều là hạng tử đồng dạng bởi có chung biến số x và số mũ 2, bởi vậy chỉ cần cộng trừ lần lượt các hệ số: x² + 10x² - 6x² = (1 + 10 - 6)x² = 5x²

Ví dụ 2: 4x³ + 3x - 2 + x² - x +5 + 2x³ - 6x²

Trong ví dụ này, thí sinh trước hết cần nhận diện và phân loại các hạng tử đồng dạng:

• 4x³ và 2x³ là hai hạng tử đồng dạng bởi có chung biến số x và số mũ 3.

• x² và -6x² là hai hạng tử đồng dạng bởi có chung biến số x và số mũ 2.

• 3x và -x là hai hạng tử đồng dạng bởi có chung biến số x và số mũ 1.

• - 2 và 5 là hai hạng tử đồng dạng bởi cùng là hằng số.

Sau khi phân loại các nhóm hạng tử đồng dạng, thí sinh thực hiện phép cộng/ trừ:

4x³ + 3x - 2 + x² - x +5 + 2x³ - 6x² = (4 + 2)x³ + (1 - 6)x² + (3 - 1)x + (-2 + 5) = 6x³ - 5x² + 2x + 3

Ví dụ 3: (4x + 6y - x²) - (2x - 3y + 4x²) + 5

Bởi biểu thức chứa ngoặc, thí sinh cần phá ngoặc:

(4x + 6y - x²) - (2x - 3y + 4x²) + 5 = 4x + 6y - x² - 2x + 3y - 4x² + 5

Sau đó, thí sinh phân loại các nhóm hạng tử đồng dạng:

• -x² và -4x² là hai hạng tử đồng dạng bởi có chung biến số x và số mũ 2.

• 4x và -2x là hai hạng tử đồng dạng bởi có chung biến số x và số mũ 1.

• 6y và 3y là hai hạng tử đồng dạng bởi có chung biến số y và số mũ 1.

Sau khi phân loại các nhóm hạng tử đồng dạng, thí sinh thực hiện phép cộng/ trừ:

4x + 6y - x² - 2x + 3y - 4x² + 5 = (4 - 2)x + (6 + 3)y + (-1 - 4)x² + 5 = -5x² + 2x + 9y + 5

Các lưu ý và lỗi thường gặp khi kết hợp hạng tử đồng dạng

Dù kĩ thuật kết hợp hạng tử đồng dạng (combining like terms) có tính ứng dụng cao, giúp tiết kiệm thời gian, tuy nhiên thí sinh vẫn có thể mắc các lỗi phổ biến sau:

1. Kết hợp hạng tử không đồng dạng (khác nhau về biến số, số mũ): Thí sinh nhầm lẫn giữa các hạng tử khác nhau về biến số, số mũ và kết hợp sai. Ví dụ, 3x và 4y không thể kết hợp thành 7x hoặc 7y được bởi x và y là hai biến số khác nhau. Bởi vậy, thí sinh cần chú ý xác định các hạng tử đồng dạng (có thể gạch chân, ghi ra nháp), giúp nhóm chính xác các hạng tử đồng dạng để tính toán chính xác.

2. Sai dấu âm/ dấu cộng khi cộng trừ hệ số: Thí sinh bỏ qua dấu âm hoặc dấu cộng khi thực hiện cộng trừ hệ số, hoặc không đổi dấu khi phá ngoặc, chuyển vế,… Ví dụ -(2x + 3y) - (-4y + 5x) bị nhầm lẫn thành -2x + 3y - 4y + 5x khi phá ngoặc, nhưng đáp án đúng là -2x - 3y + 4y - 5x (đổi dấu dương sang âm/ âm sang dương khi phá ngoặc). Khi cộng/ trừ tiếp theo nhóm các hạng tử đồng dạng, biểu thức sẽ là (-2 -5)x + (-3 + 4)y, kết quả cuối cùng là -7x + y. Bởi vậy, thí sinh cần chú ý dấu của các hệ số, đặc biệt kiểm tra sau khi thực hiện phép tính.

3. Bỏ sót hạng tử hoặc không loại bỏ hạng tử hệ số 0: Trong quá trình thực hiện phép cộng trừ, thí sinh có thể bỏ quên một số hạng tử dẫn đến kết quả cuối cùng chưa chính xác, hoặc không loại bỏ hoàn toàn hạng tử có hệ số 0, dẫn đến bị rối và nhầm lẫn. Bởi vậy, thí sinh cần dành thời gian kiểm tra lại kết quả cuối cùng và các bước tính toán để tránh sai sót, mất điểm đáng tiếc.

Chiến thuật làm dạng câu hỏi Combining like terms trong SAT Math

Để hoàn thành các phép toán từ đn giản đến nâng cao trong SAT Math bằng kĩ thuật kết hợp hạng tử đồng dạng (combining like terms), thí sinh có thể tham khảo các bước sau đây:

1. Đọc kỹ đề bài, hiểu yêu cầu đề bài, xác định chính xác các hạng tử đồng dạng trong biểu thức, có thể bằng cách gạch chân hoặc viết ra nháp.

2. Phân loại các nhóm hạng tử đồng dạng (cùng biến).

3. Áp dụng quy tắc cộng/ trừ hệ số đúng cách theo trình tự rõ ràng, từng nhóm.

4. Kiểm tra lại kết quả, gồm biến, số mũ, hệ số (dấu âm, dương) để tránh nhầm lẫn. Có thể thử lại bằng cách thay các giá trị cụ thể hoặc thay ngược biến số bằng các con số cụ thể trong một số bài toán (ví dụ x =1, y = 2).

Phân tích ví dụ từ câu hỏi thi thật:

Which of the following correctly simplifies the expression: 2x(x − 3) + x²(2 − x)

A. 2x² - 6x + 2x - x³
B. -x³ + 2x² - 6x
C. -x³ + 4x² - 6x
D. x²(2x - x) - x(6 - 2x)

Đề bài yêu cầu thí sinh đơn giản hóa biểu thức đã cho.

Đầu tiên, thí sinh cần nhận diện biểu thức gồm hai phần riêng biệt là 2x(x - 3) và x²(2 - x), và cần thực hiện phép nhân để và phá bỏ các dấu ngoặc đơn: 2x(x − 3) + x²(2 − x) = (2x² - 6x) + (2x² - x³) = 2x² - 6x + 2x² - x³

Sau đó, thí sinh sẽ phân loại nhóm các hạng tử đồng dạng:

• 2x² và 2x² là hai hạng tử đồng dạng bởi có chung biến số x và số mũ 2.

• -6x và -x³ là hai hạng tử không đồng dạng bởi có chung biến số x nhưng khác số mũ (1 và 3).

Tiếp đó, thí sinh thực hiện phép cộng trừ, các hạng tử đồng dạng cộng/ trừ với nhau, các hạng tử không đồng dạng giữ nguyên: 2x² - 6x + 2x² - x³ = (2 + 2)x² - 6x - x³ = 4x² - 6x - x³ = -x³ + 4x² - 6x (viết lại theo thứ tự số mũ giảm dần)

Đối chiếu với từng đáp án:

• Đáp án A. 2x² - 6x + 2x - x³: Đây là biểu thức khi chưa thực hiện phép cộng/ trừ (chưa phải dạng rút gọn nhất), bởi vậy đáp án sai.

• Đáp án B. -x³ + 2x² - 6x: Đáp án chính xác ở hai hạng tử -x³ và -6x, tuy nhiên 2x² là hạng tử sai, bởi vậy đáp án sai.

• Đáp án C. -x³ + 4x² - 6x: Đáp án chính xác.

• Đáp án D. x²(2x - x) - x(6 - 2x): Đáp án sau khi được phá ngoặc ra sẽ trở thành 2x³ - x³ - 6x - 2x² = x³ - 6x - 2x², bởi vậy đáp án sai.

Đọc thêm: Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề [PDF]

Bài tập vận dụng

Question 1: Which of the following is equivalent to the expression below?

3x − 5 + 2x + 7

A. 5x + 2
B. 6x + 12
C. 5x + 12
D. 6x + 2

Question 2: Which of the following expressions is equivalent to the expression below?

-2x² + 3x - 4 + 5x² - x + 7

A. 3x² + 2x + 11
B. 7x² + 2x + 3
C. 3x² + 2x + 3
D. 7x² - 2x + 11

Question 3: What is the value of the expression below when x = 2?

4x² - 3(x + 7) - (2x² + 5x - 1)

Question 4: Which of the following is equivalent to the expression below?

2a²b - 3ab² + 4a²b + ab² - 7

A. 6a²b - 2ab² + 7
B. 2a²b + ab² - 7
C. 6a²b - 4ab² + 7
D. 6a²b - 2ab² - 7

Question 5: Let f(x) = 3x(x−2) - 2(x²+1). What is the value of f(3)?

Thí sinh thực hiện phép nhân để phân tách và phá ngoặc biểu thức f(x) = 3x² - 6x - 2x² - 2

Đáp án và giải thích

Question 1. Đáp án: A. 5x + 2

Thí sinh nhóm các hạng tử đồng dạng: 3x và 2x (biến số x, bậc 1); -5 và 7 (hằng số). Sau đó thực hiện phép tính: 3x − 5 + 2x + 7 = (3x + 2x) + (-5 + 7) = 5x + 2

Question 2. Đáp án: C. 3x² + 2x + 3

Thí sinh nhóm các hạng tử đồng dạng: -2x² và 5x² (biến số x, bậc 2); 3x và -x (biến số x, bậc 1); -4 và 7 (hằng số). Sau đó thực hiện phép tính: -2x² + 3x - 4 + 5x² - x + 7 = (-2x² + 5x²) + (3x - x) + (-4 + 7) = 3x² + 2x + 3

Question 3. Đáp án: 28

Thí sinh trước hết cần thực hiện phép nhân và phá ngoặc, lưu ý cần để ý dấu của các hạng tử: 4x² - 3(x + 7) - (2x² + 5x - 1) = 4x² - 3x - 21 - 2x² - 5x + 1

Sau đó thí sinh nhóm các hạng tử đồng dạng: 4x² và 2x² (biến số x, bậc 2); -3x và -5x (biến số x, bậc 1); -21 và 1 (hằng số). Tiếp đó là thực hiện phép tính: 4x² - 3x - 21 - 2x² - 5x + 1 = (4x² - 2x²) + (-3x - 5x) + (-21 + 1) = 2x² - 8x - 20. Thay x=2 vào biểu thức ta có: 2.2² - 8.2 - 20 = -28.

Question 4. Đáp án: D. 6a²b - 2ab² - 7

Có thể thấy, đề bài đã trở nên khó hơn với các biến sô và số mũ phức tạp. Bởi vậy, thí sinh cần nhóm chính xác các nhóm hạng tử đồng dạng:

• Nhóm a²b: 2a²b và 4a²b

• Nhóm ab²: -3ab² và ab²

• Hằng số: -7

Sau đó, thí sinh thực hiện phép cộng/ trừ: 2a²b - 3ab² + 4a²b + ab² - 7 = (2a²b + 4a²b) + (-3ab² + ab²) - 7 = 6a²b - 2ab² - 7

Question 5. Đáp án: -11

Nhận thấy có 3x² và 2x² là hạng tử đồng dạng (biến số x, mũ 2), -6x và -2 là hai hạng tử không đồng dạng.

Thực hiện phép cộng. trừ: f(x) = (3x² - 2x²) - 6x - 2 = x² - 6x - 2

Thay x=1 vào biểu thức: f(1) = (3)² - 6.3 - 2 = -11.

Đọc thêm: SAT Math formulas - Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

Tổng kết

Mong rằng bài viết đã giúp thí sinh nắm vững hơn về cách kết hợp các hạng tử đồng dạng (combining like terms), từ đó tự tin áp dụng chính xác, tiết kiệm thời gian, giải quyết các bài toán trong phần thi SAT Math, đạt điểm số mong muốn.

Để chinh phục bài thi SAT Digital, thí sinh cần trang bị tư duy logic và chiến lược giải toán hiệu quả. “Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies” là tài liệu hỗ trợ đắc lực, giúp hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện kỹ năng suy luận và nâng cao khả năng giải quyết các dạng toán trong bài thi. Với cách tiếp cận rõ ràng và khoa học, cuốn sách là công cụ hữu ích cho quá trình ôn luyện. Đọc thử tại đây.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.