Công sai | Công thức và cách tính công sai của cấp số cộng
Key takeaways
Công sai là hiệu không đổi giữa hai số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ký hiệu là \(d\).
Công thức tính công sai của cấp số cộng: \(d=u_{n+1}-u_n\) hoặc \(d=u_n-u_{n-1}\).
Khi biết hai số hạng bất kỳ \(u_{m}\) và \(u_{n}\), công sai được tính bằng: \(d=\frac{u_n-u_m}{n-m},n\ne m\).
Dấu của công sai: \(d>0\) dãy tăng, \(d<0\) dãy giảm, \(d=0\) dãy không đổi.
Biết \(u_1\) và \(d\), số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng là: \(u_n=u_1+(n-1)d\).
Trong Toán 11, công sai là hiệu không đổi giữa hai số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
Bài viết trình bày công sai là gì, công thức công sai, cách tính và cách tìm công sai d từ các dữ kiện khác nhau, đồng thời vận dụng công sai để xác định quy luật dãy số, số hạng tổng quát và giải bài tập cấp số cộng lớp 11.
Công sai là gì?
Công sai là số không đổi biểu thị hiệu giữa hai số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, thường được ký hiệu là \(d\).
Cấp số cộng \((u_n)\) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:
\(u_n = u_{n-1} + d \text{ với } n \geq 2.\)
Nếu cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai d thì số hạng tổng quát \(u_n\) của nó được xác định theo công thức:
\(u_n = u_1 + (n - 1)d.\)
Phân biệt công sai d với các đại lượng khác trong cấp số cộng
Khi xử lý các bài toán dãy số, người học cần phân biệt rõ ràng giữa công sai d và các thành tố cơ bản khác:
Đại lượng | Ký hiệu | Bản chất và vai trò trong dãy số |
Số hạng đầu | \(u_1\) | Giá trị bắt đầu của cấp số cộng. |
Số hạng tổng quát | \(u_{n}\) | Giá trị của số hạng ở vị trí thứ n trong dãy. |
Công sai | d | Hằng số bằng hiệu của số hạng sau và số hạng đứng ngay trước nó. |
Chỉ số vị trí | n | Thứ tự của số hạng (\(n\ge1,n\in N^{\ast}\)). |
Ví dụ dãy số:
Cho dãy số hữu hạn: 3, 7, 11, 15, 19, 23.
Xét hiệu giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ trong dãy:
\(u_2-u_1\) = 7 - 3 = 4
\(u_3-u_2\) = 11 - 7 = 4
\(u_4-u_3\) = 15 - 11 = 4
\(u_5-u_4\) = 19 - 15 = 4
\(u_6-u_5\) = 23 - 19 = 4
Nhận thấy hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn là một số không đổi bằng 4. Do đó, dãy số trên là một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=3\) và công sai d = 4.
Ý nghĩa của dấu d trong cấp số cộng
Dấu của công sai d quyết định tính đơn điệu của toàn bộ cấp số cộng. Việc xác định dấu của công sai giúp người học nhanh chóng nhận biết quy luật của dãy số mà không cần tính toán quá nhiều số hạng.
Khi d > 0: Cấp số cộng tăng dần
Đặc điểm: Khi d > 0, số hạng đứng sau luôn lớn hơn số hạng đứng trước (\(u_{n+1}>u_{n}\)), cấp số cộng tăng. Nếu cấp số cộng có vô hạn số hạng thì \(u_n \to +\infty \quad \text{khi } n \to +\infty.\)
Ví dụ: Cho \(u_1=5\) và d = 3. Cấp số cộng thu được là: 5, 8, 11, 14, 17,… Đây là một dãy số tăng.
Ứng dụng: Mô tả các quá trình tăng trưởng đều theo thời gian như tích lũy tài sản theo lãi đơn, sản lượng sản xuất tăng đều mỗi kỳ.
Khi d < 0: Cấp số cộng giảm dần
Đặc điểm: Khi d < 0, việc cộng thêm một số âm làm cho số hạng đứng sau luôn nhỏ hơn số hạng đứng trước (\(u_{n+1}<u_{n}\)), cấp số cộng giảm. Nếu cấp số cộng có vô hạn số hạng thì \(u_n \to -\infty \quad \text{khi } n \to +\infty.\)
Ví dụ: Cho \(u_1=20\) và d = -4. Cấp số cộng thu được là: 20, 16, 12, 8, 4, 0, -4,… Đây là một dãy số giảm.
Ứng dụng: Mô tả các hiện tượng suy giảm đều như sự giảm nhiệt độ theo thời gian, khấu hao tài sản cố định hằng năm.
Khi d = 0: Cấp số cộng là dãy số hằng
Đặc điểm: Khi d = 0, mọi số hạng trong dãy đều bằng nhau và bằng số hạng đầu tiên (\(u_1=u_2=u_3=\ldots=u_{n}\)).
Ví dụ: Cho \(u_1=7\) và d = 0. Cấp số cộng thu được là: 7, 7, 7, 7, 7, …
Ý nghĩa: Đây là trường hợp đặc biệt của cấp số cộng, đại diện cho trạng thái cân bằng hoặc không thay đổi.
Công thức tính công sai của cấp số cộng
Công thức 1: Tính công sai từ hai số hạng liên tiếp
Dựa trực tiếp vào định nghĩa của cấp số cộng:
\[d = u_{n+1} - u_n\]
Công thức 2: Tính công sai từ số hạng đầu và số hạng thứ n
Từ công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:
\[u_n=u_1+(n-1)d,\quad n\ge1\]
Ta biến đổi đại số để rút công sai d:
\[d=\frac{u_n-u_1}{n-1},\quad n\ge2\]
Công thức 3: Tính công sai khi biết hai số hạng bất kỳ
Nếu đề bài cho hai số hạng ở vị trí k và m bất kỳ (với m > k), ta có mối quan hệ:
\[u_m = u_k + (m - k)d\]
Từ đó suy ra công thức tính công sai d:
\[d = \frac{u_m - u_k}{m - k}\]
Công thức 4: Tính công sai từ tổng n số hạng đầu tiên
Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng là:
\[S_n = \frac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}\]
Rút đại lượng d ra khỏi công thức tổng, ta thu được:
\[d = \frac{2S_n - 2n u_1}{n(n - 1)} \quad (n \ge 2)\]
Bảng tóm tắt tra cứu nhanh công thức tính công sai của cấp số cộng
Dữ kiện đề bài cung cấp | Công thức xác định công sai d | Điều kiện áp dụng |
Cho hai số hạng kề nhau \(u_n, u_{n+1}\) | \(d = u_{n+1} - u_n\) | \(n \in \mathbb{N}^*\) |
Cho số hạng đầu \(u_1\) và số hạng thứ n | \(d = \dfrac{u_n - u_1}{n - 1}\) | \(n \ge 2, n \in \mathbb{N}^*\) |
Cho hai số hạng ở vị trí bất kỳ \(u_k, u_m\) | \(d = \dfrac{u_m - u_k}{m - k}\) | \(m \neq k; m, k \in \mathbb{N}^*\) |
Cho tổng \(S_{n}\) và số hạng đầu \(u_1\) | \(d = \dfrac{2(S_n - n u_1)}{n(n - 1)}\) | \(n \ge 2, n \in \mathbb{N}^*\) |
Bảng ghi nhớ nhanh về công sai
Bảng dưới đây tổng hợp những kiến thức cần ghi nhớ khi xác định công sai của cấp số cộng, gồm công thức tính d theo từng dạng dữ kiện và cách lựa chọn công thức phù hợp. Học sinh có thể sử dụng bảng để hệ thống lại kiến thức trước khi làm bài tập hoặc ôn tập.
Cách tìm công sai d của cấp số cộng theo từng dạng bài
Dạng 1: Cho dãy số cụ thể — Xác định d bằng định nghĩa trực tiếp
Phương pháp giải:
Nếu đề bài cho dãy số dạng liệt kê, tính hiệu giữa các cặp số hạng liên tiếp. Nếu các hiệu đều bằng nhau thì dãy là cấp số cộng và giá trị không đổi đó chính là công sai d. \[u_2-u_1=u_3-u_2=\cdots=u_{n+1}-u_n=d\]
Nếu đề bài cho công thức số hạng tổng quát \(u_n = f(n)\), tính \(u_{n+1}\) rồi xét hiệu \(d = u_{n+1} - u_n\). Nếu hiệu này là hằng số không phụ thuộc vào n, đó chính là công sai.
Nhận xét nhanh: Nếu số hạng tổng quát có dạng tuyến tính \(u_n = an + b\), thì dãy số luôn là một cấp số cộng và công sai chính là hệ số của n, tức d = a.
Ví dụ minh họa: Cho dãy số \(u_{n}\) có số hạng tổng quát \(u_n = 7n - 4\). Chứng minh dãy số trên là một cấp số cộng và xác định công sai d.
Lời giải:
Ta có:
\[u_{n+1} = 7(n + 1) - 4 = 7n + 3\]
Xét hiệu hai số hạng liên tiếp:
\[u_{n+1} - u_n = (7n + 3) - (7n - 4) = 7\]
Vì hiệu \(u_{n+1} - u_n = 7\) là một hằng số không phụ thuộc vào chỉ số n, nên dãy số đã cho là một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=3\) và công sai d = 7.
Dạng 2: Cho số hạng đầu và số hạng thứ n
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết công thức số hạng tổng quát \(u_{n}=u_1+(n-1)d\).
Bước 2: Thay các giá trị \(u_1\), \(u_{n}\) và n đã biết vào công thức.
Bước 3: Giải phương trình bậc nhất một ẩn để tìm d
Ví dụ minh họa: Cho cấp số cộng \(u_{n}\) có số hạng đầu \(u_1=-3\) và số hạng thứ 50 là \(u_{50}=242\). Tìm công sai d.
Lời giải:
Áp dụng công thức số hạng tổng quát với n = 50:
\(u_{50}=u_1+(50-1)d\iff242=-3+49d\)
\[\iff49d=245\iff d=5\]
Vậy công sai của cấp số cộng là d = 5.
Dạng 3: Cho hai số hạng bất kỳ hoặc hệ điều kiện giữa các số hạng
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tất cả các số hạng xuất hiện trong đề bài theo \(u_1\) và d bằng công thức \(u_{n}=u_1+(n-1)d\).
Bước 2: Thay các biểu thức vào điều kiện đề bài để thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(u_1\) và d.
Bước 3: Giải hệ phương trình tuyến tính để xác định \(u_1\) và d.
Ví dụ minh họa: Cho cấp số cộng \(u_{n}\) thỏa mãn hệ phương trình:
\[\begin{cases} u_2 - u_3 + u_5 = 10 \\ u_4 + u_6 = 26 \end{cases}\]
Hãy tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai d.
Lời giải:
Biểu diễn các số hạng theo \(u_1\) và d:
\(u_2=u_1+d\)
\(u_3=u_1+2d\)
\(u_4=u_1+3d\)
\(u_5=u_1+4d\)
\(u_6=u_1+5d\)
Thay vào hệ phương trình ban đầu:
\[\begin{cases} (u_1 + d) - (u_1 + 2d) + (u_1 + 4d) = 10 \\ (u_1 + 3d) + (u_1 + 5d) = 26 \end{cases}\]
Thu gọn hệ phương trình:
\[\begin{cases}u_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{cases}\iff\begin{cases}u_1+3d=10\\ u_1+4d=13\end{cases}\]
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế, ta được:
\[d = 3\]
Thay d = 3 vào phương trình \(u_1 + 3d = 10\), suy ra \(u_1 = 1\).
Vậy cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công sai d = 3.
Dạng 4: Cho tổng n số hạng đầu \(S_{n}\) và điều kiện phụ
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng công thức tổng \(S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}\).
Bước 2: Thế các giá trị đã biết (\(S_n, n, u_1\)) vào công thức để thiết lập phương trình theo d.
Bước 3: Giải phương trình và kết luận giá trị d.
Ví dụ minh họa: Một xưởng sản xuất thiết bị lập kế hoạch trong 12 tháng. Tháng đầu tiên sản xuất được 500 sản phẩm. Tổng sản lượng của xưởng sau 12 tháng đạt 8970 sản phẩm. Biết rằng sản lượng mỗi tháng lập thành một cấp số cộng. Tìm mức tăng sản lượng hằng tháng.
Lời giải:
Bài toán cho \(u_1=500\), \(n=12\), và \(S_{12}=8970\).
Áp dụng công thức tính tổng \(S_{12}\):
\[S_{12} = \frac{12 \cdot [2u_1 + (12 - 1)d]}{2} = 6 \cdot (2u_1 + 11d)\]
Thay các dữ kiện vào phương trình:
\[8970=6\cdot[2(500)+11d]\iff8970=6\cdot(1000+11d)\]
\[\iff1000+11d=1495\iff11d=495\iff d=45\]
Vậy mỗi tháng sản lượng của xưởng tăng thêm 45 sản phẩm.
Các lỗi sai thường gặp khi xác định d và cách khắc phục
Nhầm chiều tính hiệu
Mô tả lỗi: Lấy số hạng đứng trước trừ số hạng đứng sau (\(d = u_n - u_{n+1}\)) thay vì lấy số hạng đứng sau trừ số hạng đứng trước (\(d = u_{n+1} - u_n\)).
Hậu quả: Làm sai lệch dấu của d (ví dụ: d = 5 tính nhầm thành d = -5), biến một cấp số cộng tăng thành cấp số cộng giảm.
Cách khắc phục: Luôn ghi nhớ quy tắc: \(u_{\text{sau}} - u_{\text{trước}}\).
Nhầm lẫn chỉ số n trong công thức
Mô tả lỗi: Nhầm công thức số hạng tổng quát thành \(u_n = u_1 + nd\) thay vì \(u_n = u_1 + (n - 1)d\).
Hậu quả: Bị thừa 1 lần công sai d, dẫn đến kết quả sai.
Cách khắc phục: Ghi nhớ rằng số lần cộng công sai d luôn nhỏ hơn thứ tự số hạng n đúng 1 đơn vị.
Nhầm khoảng cách giữa hai chỉ số khi tính d
Mô tả lỗi: Khi tính công sai từ hai số hạng không liên tiếp, học sinh có thể nhầm mẫu số trong công thức \(d=\frac{u_m-u_k}{m-k}\), chẳng hạn lấy m, k hoặc m − k + 1 thay vì đúng khoảng cách chỉ số m − k.
Cách khắc phục: Xác định rõ vị trí của hai số hạng và luôn lấy chỉ số lớn trừ chỉ số nhỏ. Ví dụ, nếu biết \(u_3\) và \(u_8\) thì khoảng cách giữa hai chỉ số là 8 − 3 = 5, do đó: \(d=\frac{u_8-u_3}{8-3}=\frac{u_8-u_3}{5}\).
Bỏ qua trường hợp d = 0 khi xét bài toán chứa tham số
Mô tả lỗi: Khi giải các bài toán chứng minh hoặc tìm tham số m, học sinh thường mặc định \(d \neq 0\) mà bỏ qua trường hợp dãy hằng.
Cách khắc phục: Luôn xét đầy đủ các trường hợp của d nếu đề bài không cho điều kiện "cấp số cộng không hằng".
Cách kiểm tra nhanh kết quả công sai d
Sau khi tìm được \(u_1\) và d, học sinh hãy tính nhanh 3 số hạng đầu tiên: \(u_1\), \(u_2 = u_1 + d\), \(u_3 = u_2 + d\). Sau đó, thử lại giá trị \(u_3\) vào hệ điều kiện ban đầu của bài toán. Nếu các phép tính khớp hoàn toàn, kết quả đã chính xác.
Bài tập tìm công sai có hướng dẫn giải chi tiết
Bài tập 1: Tìm công sai khi biết số hạng đầu và số hạng thứ n
Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1=-3\) và số hạng thứ 50 là \(u_{50}=242\). Tìm công sai d của cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính công sai khi biết số hạng đầu và số hạng thứ n:
\[d=\frac{u_n-u_1}{n-1}\]
Thay \(u_1=-3\), \(u_{50}=242\) và n = 50 vào công thức:
\[d=\frac{242-(-3)}{50-1}=\frac{245}{49}=5\]
Vậy công sai của cấp số cộng là d = 5.
Bài tập 2: Tìm công sai từ hai số hạng không liên tiếp
Cho cấp số cộng \((u_n)\) thỏa mãn \(u_3 = 11\) và \(u_7 = 27\).
Xác định công sai d và số hạng đầu \(u_1\).
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên (\(S_{20}\)).
Lời giải:
Áp dụng công thức tính công sai giữa hai số hạng \(u_3\) và \(u_7\): \[d=\frac{u_7-u_3}{7-3}=\frac{27-11}{4}=4\]
Mặt khác:
\[u_3=u_1+2d\iff11=u_1+2(4)\iff u_1=3\]
Vậy cấp số cộng có \(u_1 = 3\) và công sai d = 4.
Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
\[S_{20} = \frac{20 \cdot [2u_1 + (20 - 1)d]}{2} = 10 \cdot [2(3) + 19(4)] = 10 \cdot (6 + 76) = 820\]
Bài tập 3: Tìm công sai trong bài toán hình học
Một đa giác lồi có 9 cạnh. Số đo các góc trong của đa giác khi sắp xếp theo thứ tự tăng dần lập thành một cấp số cộng. Biết góc nhỏ nhất có số đo \(120^\circ\). Tìm công sai d của cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Tổng số đo các góc trong của đa giác 9 cạnh là:
\[S_9=(9-2)\cdot180^\circ=1260^\circ\]
Mặt khác, 9 góc tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=120^\circ\). Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu:
\[S_9=\frac{9[2u_1+(9-1)d]}{2}\]
Thay các dữ kiện đã biết:
\[1260=\frac{9[2\cdot120+8d]}{2}\]
\[\iff280=240+8d\iff8d=40\iff d=5\]
Vậy công sai của cấp số cộng là \(d=5^\circ\).
Bài tập trắc nghiệm về công sai
Câu 1: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1=-5\) và \(u_{12}=28\). Công sai d của cấp số cộng bằng:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Đáp án: B
Giải thích: Áp dụng công thức \(d=\dfrac{u_n-u_1}{n-1}\), ta có:
\[d=\frac{28-(-5)}{12-1}=\frac{33}{11}=3\]
Câu 2: Dãy số nào dưới đây không phải là một cấp số cộng?
A. \(u_n = 3n + 1\)
B. \(u_n = 4 - 5n\)
C. \(u_n = n^2 + 2\)
D. \(u_n = -7\)
Đáp án: C
Giải thích: Xét đáp án C, hiệu \(u_{n+1} - u_n = (n + 1)^2 + 2 - (n^2 + 2) = 2n + 1\). Vì hiệu này phụ thuộc vào n nên dãy số không phải là cấp số cộng. Ba dãy số còn lại đều có dạng tuyến tính hoặc hằng số nên đều là cấp số cộng.
Câu 3: Cho ba số x, 13, 3x - 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của x bằng:
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Đáp án: C
Giải thích: Tính chất ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng: \(2b = a + c\).
Suy ra: \[2\cdot13=x+(3x-2)\iff26=4x-2\iff4x=28\iff x=7\]
Câu 4: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1=2\) và tổng 20 số hạng đầu là \(S_{20}=800\). Công sai d bằng:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Đáp án: C
Giải thích: Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:
\[S_n=\frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}\]
Thay \(S_{20}=800\), \(u_1=2\) và n = 20:
\[800=\frac{20[2\cdot2+19d]}{2}=10(4+19d)\]
\[\iff80=4+19d\iff19d=76\iff d=4\]
Câu 5: Cho cấp số cộng \((u_n)\) thỏa mãn \(u_5 = 18\) và \(u_{10} = 38\). Giá trị của công sai d là:
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Đáp án: B
Giải thích: Ta có \[d = \frac{u_{10} - u_5}{10 - 5} = \frac{38 - 18}{5} = \frac{20}{5} = 4\]
Tham khảo thêm:
Tóm lại, công sai d là khái niệm nền tảng quan trọng bậc nhất khi học về cấp số cộng trong chương trình Toán 11. Để làm chủ chuyên đề này, học sinh cần ghi nhớ:
Bản chất công sai là hiệu số cố định giữa hai số hạng liên tiếp.
Dấu của công sai quyết định chiều biến thiên của dãy số.
Thành thạo 4 dạng toán xác định công sai và luôn lưu ý quy tắc sau trừ trước để tránh sai sót về dấu.
Hy vọng bài tổng hợp lý thuyết và bài tập trên sẽ giúp học sinh củng cố vững chắc kiến thức.
Để tiếp tục khám phá các bài giảng Toán lớp 11 chuyên sâu khác bám sát chương trình phổ thông mới, học sinh có thể tham khảo tại chuyên mục Toán của ZIM Academy.
Bình luận - Hỏi đáp