Dãy số | Dãy số tăng, giảm, bị chặn và bài tập Toán 11

Dãy số là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 11. Khi học về dãy số, học sinh cần nắm được khái niệm dãy số, dãy số hữu hạn và vô hạn, cách xét tính tăng giảm của dãy số, cách xét tính bị chặn của dãy số và giới hạn của dãy số.

Bài viết hệ thống kiến thức trọng tâm về dãy số lớp 11, gồm cách xác định số hạng, xét dãy số tăng giảm, chứng minh dãy số bị chặn, giới hạn hữu hạn của dãy số và các dạng bài tập kèm hướng dẫn giải chi tiết.

Dãy số là gì? Cách xác định dãy số

Trong chương trình Toán 11, dãy số được chia thành dãy số vô hạn và dãy số hữu hạn.

Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* (gồm các số 1, 2, 3, ...) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy). [1]

Ký hiệu: \(\left(u_{n}\right)\) với n ∈ N*.

Dạng khai triển: \(u_1,u_2,\ldots u_{n},\ldots\)

Trong đó:

• \(u_1\) là số hạng đầu tiên của dãy.

• \(u_{n}\) được gọi là số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của dãy. Do đó, với mỗi số nguyên dương bất kì, luôn tìm được số hạng tương ứng xác định.

• Dãy số vô hạn có vô số số hạng (\(n\to+\infty\)).

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; ...; m} với m ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn. [1]

Ký hiệu: \(\left(u_{m}\right)\) với m ∈ N*.

Dạng khai triển: \(u_1,u_2,\ldots u_{m}\).

Các đặc điểm của dãy số hữu hạn gần tương tự với dãy vô hạn, điểm khác biệt duy nhất là dãy hữu hạn có hữu hạn số hạng: \(u_1\) là số hạng đầu tiên và \(u_{m}\) là số hạng cuối cùng. Với số nguyên dương \(n>m\) thì \(u_{n}\) không được xác định.

Phương pháp xác định dãy số

Một dãy số thường được cho theo hai cách phổ biến sau [1]:

Cách 1: Cho bằng công thức của số hạng tổng quát \(u_{n}\)

Phương pháp này chỉ rõ công thức đại số giúp tính trực tiếp số hạng \(u_n\) theo chỉ số n mà không cần phải thông qua các số hạng trước đó.

Ví dụ: Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{n}=\frac{n+2}{2n-1}\). Muốn tìm số hạng thứ 5, chỉ cần thay n = 5 vào công thức: \(\frac{5+2}{2\cdot5-1}=\frac{7}{9}\).

Cách 2: Cho bằng hệ thức truy hồi (phương pháp truy hồi)

Dãy số được xác định bằng hệ thức truy hồi là dãy số xác định thông qua một hoặc nhiều số hạng \(u_{k}\) bất kì (k là 1 số xác định, thông thường số hạng được cho trước là \(u_1\)) và mối liên hệ toán học giữa một hoặc nhiều số hạng sau với một hoặc nhiều số hạng trướcm, và mối liên hệ toán học này luôn đúng với mọi số hạng thuộc dãy.

Ví dụ: Dãy số Fibonacci được xác định bởi các số hạng cho trước \(u_1=1,u_2=1\) và mối liên hệ toán học giữa các số hạng:

\[u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n},\quad \forall n\ge1\]

Lưu ý: Hệ thức truy hồi và số hạng tổng quát của dãy số có mối quan hệ mật thiết với nhau. Tùy thuộc vào tính phức tạp của hệ thức truy hồi, hoàn toàn có thể xây dựng công thức tổng quát tương ứng và ngược lại, từ công thức tổng quát đã biết luôn có thể xây dựng hệ thức truy hồi tương ứng cho dãy số.

Ví dụ phân biệt dãy hữu hạn và vô hạn:

Dãy số tăng, giảm là gì? Cách xét tính tăng giảm của dãy số

\(\left(u_{n}\right)\) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ∈ N*, thì \(u_{n+1}>u_{n}\) và ngược lại, \(\left(u_{n}\right)\) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ∈ N*, thì \(u_{n+1}<u_{n}\) [1].

Lưu ý quan trọng: Không phải mọi dãy số đều là dãy tăng hoặc dãy giảm. Luôn tồn tại những dãy không tăng cũng không giảm, tiêu biểu là các dãy đan dấu hoặc các dãy biến thiên tuần hoàn.

Ví dụ về dãy số không tăng, không giảm:

• Xét \(\left(u_n\right)\) với công thức tổng quát \(u_n=(-1)^n\). Khai triển các số hạng đầu tiên thu được: -1, 1, -1, 1, -1, 1, ... Có thể thấy rằng \(u_2>u_1\) nhưng \(u_3<u_2\). Do đó, dãy này không tăng và cũng không giảm.

• Xét \(\left(u_m\right)\) với công thức tổng quát \(u_m=\sin\left(\frac{m\pi}{2}\right)\). Các số hạng đầu tiên của dãy lần lượt là 1, 0, -1, 0, 1, ... Do đó, dãy này không tăng cũng không giảm.

• Phương pháp 1: Xét hiệu \(H=u_{n+1}-u_{n}\).

  • Nếu như có thể chứng minh H > 0 với mọi n ∈ N* thì \(\left(u_{n}\right)\) là dãy tăng.

  • Nếu như có thể chứng minh H < 0 với mọi n ∈ N* thì \(\left(u_{n}\right)\) là dãy giảm.

  • Nếu như không đủ dữ kiện để kết luận H > 0 hoặc H < 0 với mọi n, vậy dãy số không tăng cũng không giảm.

• Phương pháp 2: Xét tỉ số \(T=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (Chỉ áp dụng khi \(u_{n}>0,\quad \forall n\)):

  Khi tất cả các số hạng của dãy đều nhận giá trị dương, có thể so sánh tỉ số T với số 1:

  • Nếu T > 1 với mọi n ∈ N* thì \(u_{n}\) là dãy tăng.

  • Nếu T < 1 với mọi n ∈ N* thì \(u_{n}\) là dãy giảm.

  • Nếu như không đủ dữ kiện để kết luận T > 1 hoặc T < 1 với mọi n, vậy dãy số không tăng cũng không giảm.

• Phương pháp 3: Phương pháp quy nạp toán học:

  Phương pháp này đặc biệt hữu hiệu đối với dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi phức tạp. Để chứng minh dãy tăng \(\left(u_{n+1}>u_{n}\right)\), thực hiện theo các bước (tương tự nếu như chứng minh dãy giảm):

  • Bước 1: Kiểm tra tính đúng đắn với \(n = 1\), nghĩa là so sánh liệu rằng với các số hạng đầu tiên thì có đúng là số hạng sau lớn hơn số hạng trước (\(u_2>u_1\)) hay không.

  • Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k (k \ge 1)\), tức là \(u_{k+1}>u_{k}\) (giả thiết quy nạp).

  • Bước 3: Đi chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), tức là chứng minh \(u_{k+2}>u_{k+1}\) thông qua mối quan hệ toán học giữa các số hạng (thường là hệ thức truy hồi).

  • Bước 4: Khi đã chứng minh được bước 3, thì theo quy tắc quy nạp: \(\left(u_{n+1}>u_{n}\right),\quad \forall n\) (vì mệnh đề đã đúng với \(n=1\) thì sẽ đúng với \(n=2\), đã đúng với \(n=2\) thì sẽ đúng với \(n=3\), cứ như vậy mệnh đề đúng với tất cả n ∈ N*).

Bài tập minh họa

Bài 1: Hãy xét tính tăng, giảm của dãy \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{n}=\frac{2n+3}{n+1}\).

Lời giải:

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài xét tăng, giảm cơ bản, đề bài đã cung cấp công thức tổng quát của dãy để có thể so sánh \(u_{n+1}\) và \(u_{n}\).

Kiến thức cần dùng: Áp dụng trực tiếp 1 trong 3 phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy.

Ở bài tập minh họa này, bài viết sử dụng Phương pháp 1 (Xét hiệu \(H=u_{n+1}-u_{n}\) để kiểm tra xem hiệu này dương hay âm):

Số hạng

\[u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+3}{\left(n+1\right)+1}=\frac{2n+5}{n+2}\]

Xét hiệu: H = \(u_{n+1}-u_{n}\)

\[\frac{2n+5}{n+2}-\frac{2n+3}{n+1}\]

\[=\left(2+\frac{1}{n+2}\right)-\left(2+\frac{1}{n+1}\right)\]

\[=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\]

\[=\frac{-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\]

Vì n ∈ N* nên (n + 1)(n + 2) > 0, suy ra \[H=\frac{-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}<0,\quad \forall n\in \mathbb{N}^*\]

Kết luận: \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm.

Bài tập 2: Xét tính tăng, giảm của dãy \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=\frac{3}{n!}\).

Lời giải:

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài xét tính tăng, giảm của dãy số có các số hạng dương, do đó có thể sử dụng phương pháp xét tỉ số.

Kiến thức cần dùng: Xét tỉ số \(T=\frac{v_{n+1}}{v_n}\).

Ta có \(v_{n+1}=\frac{3}{(n+1)!}\).

Lập tỉ số:

\[T=\frac{v_{n+1}}{v_n} =\frac{\frac{3}{(n+1)!}}{\frac{3}{n!}} =\frac{1}{n+1}\]

Với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có \(0<\frac{1}{n+1}<1\). Do đó \(v_{n+1}<v_n\).

Kết luận:\(\left(v_n\right)\) là dãy số giảm.

Dãy số bị chặn là gì? Cách xét tính bị chặn của dãy số

Để xác định dãy số bị chặn, cần kiểm tra dãy có đồng thời bị chặn trên và bị chặn dưới hay không.

• Dãy số bị chặn trên: Dãy được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực M sao cho \(u_{n}\le M\) với mọi n ∈ N*. Số M được gọi là một hằng số chặn trên.

• Dãy số bị chặn dưới: Dãy \(\left(u_n\right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số thực m sao cho \(u_n\ge m\) với mọi n ∈ N*. Số m được gọi là một hằng số chặn dưới.

• Dãy số bị chặn: Dãy \(\left(u_n\right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Nghĩa là tồn tại hai số thực m và M sao cho \(m\le u_n\le M\) với mọi n ∈ N*.

Mối liên hệ giữa dãy số tăng, giảm và tính bị chặn

• Nếu một dãy số là dãy tăng thì nó luôn luôn bị chặn dưới bởi số hạng đầu tiên \(u_1\) (nghĩa là \(u_{n}\ge u_1\) với mọi n ∈ N*).

• Nếu một dãy số là dãy giảm thì nó luôn luôn bị chặn trên bởi số hạng đầu tiên \(u_1\) (nghĩa là \(u_{n}\le u_1\) với mọi n ∈ N*).

Cách chứng minh dãy số bị chặn

Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp dựa trên biến đổi bất đẳng thức

Sử dụng các kỹ thuật đại số như tách phân thức, đánh giá mẫu số hoặc áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc (như Bất đẳng thức Cauchy, Bất đẳng thức Bunhiacopski,…) để tìm ra các số thực m và M thỏa mãn \(m\le u_{n}\le M\) với mọi n ∈ N*.

Phương pháp 2: Phương pháp dự đoán và chứng minh quy nạp

Đối với dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, trước hết thực hiện tính toán một vài số hạng đầu như \(u_1,u_2\) để dự đoán hằng số chặn m hoặc M. Sau đó, sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh bất đẳng thức \(u_{n}\le M\) (hoặc \(u_{n}\ge m\)) đúng với mọi n ∈ N*.

Bài tập minh họa:

Bài tập 1: Chứng minh rằng dãy \(\left(u_{n}\right)\) là một dãy số bị chặn với \(u_{n}=\frac{3n^2+2}{n^2+1}\)

Lời giải:

Phân tích đề bài: Đề bài đã cung cấp công thức tổng quát của dãy. Đồng thời có thể thấy được rằng công thức của \(u_{n}\) có thể biến đổi được về dạng đơn giản hơn để tiện phân tích, so sánh lớn hơn/nhỏ hơn, qua đó chứng minh dãy bị chặn.

Kiến thức cần dùng: Sau khi biến đổi công thức của \(u_{n}\), sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để chứng minh \(\left(u_{n}\right)\) bị chặn.

Trước tiên, cần biến đổi số hạng tổng quát \(u_{n}\) như sau: \(\frac{3n^2+2}{n^2+1}=3-\frac{1}{n^2+1}\)

Chứng minh bị chặn dưới: Với mọi n ∈ N*, luôn có \(n^2\ge1\) nên \(\frac{1}{n^2+1}\le\frac{1}{2}\). Do đó \(u_{n}\ge3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\). Vậy dãy số bị chặn dưới bởi \(m=\frac{5}{2}\).

Chứng minh bị chặn trên: Vì \(n^2+1>0,\quad \forall n\) nên \(\frac{1}{n^2+1}>0,\quad \forall n\). Do đó: \(u_{n}<3-0=3\) Vậy dãy số bị chặn trên bởi \(M = 3\).

Kết luận: Vì \(\frac{5}{2}\le u_{n}<3\) với mọi n ∈ N* nên \(\left(u_{n}\right)\) là một dãy số bị chặn.

Bài tập 2: Cho \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi \(u_1=\sqrt{2}\) và \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}\) với mọi \(n \ge 1\). Chứng minh dãy số \(\left(u_{n}\right)\) bị chặn trên bởi 2.

Lời giải:

Phân tích đề bài: Dãy đã cho không có công thức tổng quát, mà được xác định bởi 1 dãy truy hồi. Do đó nên sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh tính bị chặn của dãy.

Kiến thức cần dùng: Phương pháp quy nạp toán học.

Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh \(u_{n}<2\) với mọi n ∈ N* như sau:

• Xét tính đúng sai của mệnh đề với \(n=1\) : \(u_1=\sqrt{2}<2\) (Mệnh đề đúng).

• Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k (k \ge 1)\), tức là có \(u_{k}<2\).

• Cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là \(u_{k+1}<2\):

• Theo công thức truy hồi thì \[u_{k+1}=\sqrt{2+u_{k}}<\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\]

  Vậy theo quy nạp toán học, mệnh đề \(u_{n}<2\) đúng với mọi n ∈ N*

Kết luận: Theo nguyên lý quy nạp, dãy số \(\left(u_{n}\right)\) bị chặn trên bởi M = 2.

Giới hạn của dãy số: Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cự

\(\left(u_{n}\right)\) được gọi là có giới hạn hữu hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực (\(n \to +\infty\)), nếu khoảng cách \(\left|u_{n}-a\right|\) có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu: \(\lim_{n\to+\infty}u_{n}=a\) hoặc viết gọn là lim \(u_{n}=a\) (hoặc \(u_{n}\to a\) khi \(n \to +\infty\)).

Các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số

Giả sử lim \(u_{n}=a\) và lim \(v_{n}=b\) (với a, b ∈ R). Khi đó:

• Giới hạn của một tổng: lim (\(u_{n}+v_{n}\)) = \(a + b\)

• Giới hạn của một hiệu: lim (\(u_{n}-v_{n}\)) = \(a - b\)

• Giới hạn của một tích: lim (\(u_{n}\cdot v_{n}\)) = \(a\cdot b\)

• Giới hạn của một thương: lim (\(\frac{u_{n}}{v_{n}}\)) = \(\frac{a}{b}\) (với b ≠ 0 và \(v_{n}\ne0\) với mọi n)

• Giới hạn của căn thức: Nếu \(u_{n}\ge0\) với mọi n thì \(a \ge 0\) và lim \(\sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}\)

Giới hạn vô cực của dãy số

• Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có giới hạn là +∞ nếu \(u_{n}\) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

• Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có giới hạn là -∞ nếu lim (-\(u_{n}\)) = +∞.

Điều kiện để dãy số có giới hạn hữu hạn (Định lý Weierstrass / Định lý hội tụ):

• Một dãy số tăng và bị chặn trên thì nhất định có giới hạn hữu hạn.

• Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nhất định có giới hạn hữu hạn.

Cách tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi: Nếu dãy số \(\left(u_{n}\right)\) cho bởi hệ thức truy hồi \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\) đã được chứng minh là có giới hạn hữu hạn (đặt lim \(u_{n}\) = a), Khi đó chính \(u_{n}\) và \(u_{n+1}\) đều cùng tiến tới a khi n đủ lớn. Do đó, có thể thực hiện lấy giới hạn hai vế của hệ thức truy hồi:

lim \(u_{n+1}\) = f(lim \(u_{n}\))

\(a=f\left(a\right)\)

Giải phương trình ẩn a trên để tìm giá trị giới hạn cần xác định.

Ví dụ: : Quay lại bài toán ở trên: Cho \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi \(u_1=\sqrt{2}\) và \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}\) với mọi \(n \ge 1\). Tìm giới hạn của dãy số này.

Lời giải:

Phân tích đề bài: Từ kết quả của bài toán ở trên thì có thể rút ra được rằng: \(u_{n}<2,\quad \forall n\). Vậy là dãy đã bị chặn trên, chỉ cần chứng minh rằng dãy số này tăng, sau đó thực hiện lấy giới hạn 2 vế của hệ thức truy hồi để tìm ra giới hạn của dãy.

Kiến thức cần dùng: Chứng minh dãy giảm bằng cách biến đổi tương đương.

Có thể dễ dàng chứng minh \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}>u_{n}\) bằng cách biến đổi tương đương mệnh đề trên thành \(\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}-2\right)<0\). Đây là bất đẳng thức đúng bởi vì \(-1<u_{n}<2,\quad \forall n\).

Vì vậy, kết luận được rằng \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số tăng, và \(u_{n}<2,\quad \forall n\) nên \(\left(u_{n}\right)\) có giới hạn, đặt giới hạn đó là a.

Thực hiện lấy giới hạn 2 vế của hệ thức truy hồi thu được:

\(a=\sqrt{2+a}\)

Vì hiển nhiên \(a>0\) nên có thể giải tiếp phương trình ẩn a bằng cách bình phương 2 vế:

\[a^2=a+2\to\left(a+1\right)\left(a-2\right)=0\to a=2\]

Vậy giới hạn của \(\left(u_{n}\right)\) là 2.

Cách tính tổng dãy số: cấp số cộng và cấp số nhân

Công thức tính tổng n số hạng của cấp số cộng

Một dãy số được gọi là cấp số cộng nếu \(u_{n+1}=u_{n}+d\) với mọi n ∈ N*, trong đó số d là 1 số không đổi xác định, được gọi là công sai của cấp số cộng. [2]

Khi đó với 1 số hạng bất kì trong dãy, luôn có thể biểu diễn được số hạng đó qua \(u_1\) và công sai d:

\[u_{n}=u_1+\left(n-1\right)d\]

Công thức tính tổnmột hoặc nhiều số hạng trước \(S_{n}\) của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính như sau:

\[S_{n}=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{n}\]

\[S_{n}=u_1+\left(u_1+d\right)+\left(u_1+2d\right)+\cdots+\left(u_1+\left(n-1\right)d\right)\]

\[S_{n}=n\cdot u_1+\left(1+2+\cdots+n-1\right)d\]

\[S_{n}=n\cdot u_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d\]

Ngoài ra, có thể mở rộng với k số hạng liên tiếp bất kì của cấp số cộng thì tổng của chúng sẽ như sau (học sinh tự chứng minh):

\[S=u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+k}=ku_1+n\cdot k\cdot d+\frac{\left(k-1\right)k}{2}d\]

Trong một số bài toán, dãy số cách đều được hiểu là dãy có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi, tức một cấp số cộng; vì vậy có thể áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng.

Công thức tính tổng n số hạng của cấp số nhân

Cấp số nhân là dãy số thỏa mãn \(u_{n+1}=u_{n}\cdot q\) với mọi n ∈ N*, trong đó q là 1 số không đổi xác định, được gọi là công bội của cấp số nhân. [3]

Với 1 số hạng bất kì trong dãy, luôn có thể biểu diễn được số hạng đó qua \(u_1\) và công bội q: \(u_{n}=q^{n-1}u_1\)

Khi tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:

\[S_n=u_1+qu_1+q^2u_1+\cdots+q^{n-1}u_1\]

Nhân cả hai vế với q:

\[qS_n=qu_1+q^2u_1+\cdots+q^nu_1\]

Trừ hai đẳng thức tương ứng, ta được:

\[(q-1)S_n=(q^n-1)u_1\]

Với \(q\ne1\), suy ra:

\[S_n=\frac{q^n-1}{q-1}u_1\]

Học sinh hoàn toàn có thể tự xây dựng công thức cho tổng của k số hạng liên tiếp bất kì của cấp số nhân bằng phương pháp tương tự trên đây.

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Một cấp số nhân vô hạn được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn nếu công bội q của nó thỏa mãn điều kiện trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, nghĩa là \(|q| < 1\).

Khi đó, với n số hạng đầu tiên thì tổng của chúng cũng giống như đã chứng minh ở trên, thu được \(S_{n}=\frac{q^{n}-1}{q-1}u_1\). Tuy nhiên, nếu như cộng tất cả các số hạng của dãy lại (vô số số hạng) thì tổng thu được sẽ trở thành:

\[S=\lim_{n\to+\infty}\frac{q^{n}-1}{q-1}u_1\]

Mà \(|q| < 1\) nên \(\lim_{n\to+\infty}q^{n}=0\). Thay vào thu được:

\[S=\frac{0-1}{q-1}u_1=\frac{1}{1-q}u_1\]

Vậy tổng của dãy cấp số nhân lùi vô hạn với công bội có công thức là \(S=\frac{u_1}{1-q}\)

So sánh cấp số cộng và cấp số nhân

Bài tập minh họa:

Bài tập 1: Tính tổng 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \(\left(u_{n}\right)\) biết số hạng đầu \(u_1=5\) và công sai \(d = 3\).

Lời giải:

Phân tích đề bài: Đây là cấp số cộng đã biết số hạng đầu tiên và công sai.

Kiến thức cần dùng: Áp dụng trực tiếp công thức tính tổng cấp số cộng.

Áp dụng công thức tính tổng \(S_{n}\) theo \(u_1\) và d với n = 50:

\[S_{n}=n\cdot u_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d=50\cdot5+\frac{50\cdot49}{2}\cdot3=3925\]

Vậy tổng 50 số hạng đầu của dãy số là 3925.

Ví dụ 2: Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn \(u_n=\frac{1}{2^{n-1}}\).

Lời giải:

Phân tích đề bài: Đây là cấp số nhân đã biết số hạng đầu tiên và công bội. Đồng thời vì \(|q|=\frac{1}{2}\) < 1 nên đây là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Kiến thức cần dùng: Áp dụng trực tiếp công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Áp dụng công thức tính tổng \(S=\frac{u_1}{1-q}\):

\[S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\cdots\]

\[S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\]

Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2.

Bài tập tổng hợp về dãy số có lời giải

Dạng 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số

Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{n}=\frac{n^2+n+1}{n^2+1}\)

Phân tích đề bài: Đề bài đã cung cấp công thức tổng quát của dãy số, do đó nên sử dụng phương pháp xét hiệu \(H=u_{n+1}-u_{n}\) hoặc xét thương \(T=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) để xét tính đơn điệu của dãy.

Tuy nhiên ở đây công thức của \(u_{n}\) tương đối phức tạp, khi so sánh giữa phương pháp xét hiệu và xét thương thì phương pháp xét thương sẽ khó thực hiện hơn do phải chứng minh loạt bất đẳng thức để đưa ra kết quả \(T>1\) hay \(T<1\). Trong khi đó với phương pháp xét hiệu H thì hiệu thu được là 1 phân thức có mẫu số dương, chỉ cần xét tính âm/dương của tử số.

→Do đó phương pháp xét hiệu sẽ là lựa chọn phù hợp hơn với bài toán này.

Kiến thức cần dùng: Áp dụng phương pháp xét hiệu \(H=u_{n+1}-u_{n}\).

Hướng dẫn giải từng bước:

Bước 1: Rút gọn/Đơn giản hóa biểu thức:

\[u_{n}=\frac{n^2+n+1}{n^2+1}=1+\frac{n}{n^2+1}\]

Bước 2: Lập công thức cho \(u_{n+1}\)

\[u_{n+1}=1+\frac{n+1}{\left(n+1\right)^2+1}=1+\frac{n+1}{n^2+2n+2}\]

Bước 3: Xét hiệu \(H=u_{n+1}-u_{n}\)

\[H=\left(1+\frac{n+1}{n^2+2n+2}\right)-\left(1+\frac{n}{n^2+1}\right)\]

\[H=\frac{-\left(n^2-n+1\right)}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}\]

Bước 4: Đánh giá dấu của hiệu H:

Mẫu số \(\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)\) hiển nhiên lớn hơn 0.

Tử số: \(n^2-n+1\) có thể biến đổi thành \(\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0,\quad \forall n\). Do đó \[-\left(n^2-n+1\right)<0,\quad \forall n\]

Vậy nên H < 0 với mọi n ∈ N*.

Kết luận: \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số giảm.

Dạng 2: Xét tính bị chặn của dãy số

Bài tập 2: Cho \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{n}=\frac{2n+1}{n+3}\). Chứng minh dãy số bị chặn.

Phân tích đề bài: Đề bài đã cho công thức tổng quát của dãy. Do công thức này khá đơn giản nên chỉ cần biến đổi khéo léo và sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để chứng minh dãy bị chặn.

Kiến thức cần dùng: Chứng minh dãy số bị chặn bằng bất đẳng thức.

Hướng dẫn từng bước:

Bước 1: Đơn giản hóa số hạng tổng quát.

\[u_{n}=\frac{2n+1}{n+3}=2-\frac{5}{n+3}\]

Bước 2: Chứng minh bị chặn dưới.

Vì \(n \ge 1\) nên \(n + 3 \ge 4\) , do đó \(\frac{5}{n+3}\le\frac{5}{4}\)

Suy ra \[u_{n}=2-\frac{5}{n+3}\ge2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4}\]

Vậy \(m=\frac{3}{4}\) là hằng số chặn dưới của dãy.

Bước 3: Chứng minh bị chặn trên.

Vì \(\frac{5}{n+3}>0\) với mọi n ∈ N* nên \(u_{n}=2-\frac{5}{n+3}<2\).

Vậy M = 2 là hằng số chặn trên của dãy.

Kết luận: Lời giải trên thu được \(\frac{3}{4}\le u_{n}<2\) với mọi n ∈ N*. Do đó \(\left(u_{n}\right)\) là một dãy số bị chặn.

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số

Bài tập 3: Cho \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{n}=\frac{3n^2-5n+2}{5n^2+1}\). Tìm giới hạn của dãy.

Phân tích đề bài: Đề bài yêu cầu tìm giới hạn của dãy số có công thức tổng quát là một phân thức. Với dạng bài này, cách làm chung là chia cho cả tử số và mẫu số cho bậc mũ cao nhất của n. Khi đó cả tử số và mẫu số sẽ chỉ còn lại hằng số và các số hạng có dạng \(a\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{b}\) với \(a,b>0\). Sau đó chỉ ra rằng giới hạn của các số hạng này là bằng 0 để rút ra giới hạn của dãy.

Kiến thức cần dùng: Sau khi biến đổi bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho bậc mũ cao nhất của n, áp dụng kết quả lim \(q^{n}\) = 0 khi |q| < 1.

Lời giải chi tiết:

Chia cả tử số và mẫu số cho bậc mũ cao nhất của n là \(n^2\):

\[u_{n}=\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}{5+\frac{1}{n^2}}\]

Áp dụng kết quả giới hạn cơ bản: lim \(q^{n}\) = 0 khi |q| < 1, do đó lim \(\frac{5}{n}=0\), lim \(\frac{2}{n^2}=0\) và lim \(\frac{1}{n^2}=0\).

lim \(\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}{5+\frac{1}{n^2}}\) =lim \(\frac{3-0+0}{5+0}\) =\(\frac{3}{5}\)

Vậy giới hạn của dãy bằng \(\frac{3}{5}\).

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Bài tập 4: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn A = 0.333... dưới dạng phân số tối giản bằng cách áp dụng công thức tính tổng dãy số.

Phân tích đề bài: Để tính số A bằng phương pháp công thức tính tổng dãy số, cần tách số A thành các số hạng có quy luật có thể biểu diễn thành 1 dãy số. Sau đó áp dụng công thức tính tổng của dãy.

Kiến thức cần dùng: Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải chi tiết:

Phân tích số A thành tổng của một dãy số vô hạn:

\[A = 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + \ldots\] \[=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\ldots+\frac{3}{10^{n}}+\cdots\]

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(u_1=\frac{3}{10}\) và công bội \(q=\frac{1}{10}\) (thỏa mãn |q| < 1).

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S=\frac{u_1}{1-q}\):

\[S=\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{3}{10}:\frac{9}{10}=\frac{1}{3}\]

Vậy số thập phân 0.333... được viết dưới dạng phân số tối giản là 1/3.

Những sai lầm thường gặp khi giải bài tập về dãy số

Tổng hợp các lỗi sai phổ biến học sinh cần tránh:

1. Nhầm lẫn về tập xác định: Khác với hàm số liên tục trên R, chỉ số n của dãy số bắt buộc phải thuộc tập số nguyên dương N* (n = 1, 2, 3, ...).

2. Không xét tính dương âm khi áp dụng phương pháp tỉ số: Khi xét tỉ số \(T=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) để kết luận dãy số tăng hay giảm, học sinh có xu hướng mắc lỗi quên kiểm tra điều kiện \(u_{n}\). Nếu \(u_{n}\) nhận giá trị luôn âm hoặc âm dương đan xen, việc so sánh tỉ số với 1 sẽ dẫn tới kết quả hoàn toàn sai lệch.

3. Tự ý giả định tồn tại giới hạn: Khi giải bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách lấy giới hạn hai vế, học sinh thường quên mất bước quan trọng nhất: chứng minh dãy đó hội tụ (tức chứng minh dãy đơn điệu và bị chặn). Nếu dãy phân kỳ, việc đặt lim \(u_{n}\) = a sẽ dẫn tới các nghiệm ảo vô nghĩa.

5. Áp dụng sai công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Công thức \(S=\frac{u_1}{1-q}\) chỉ áp dụng khi \(|q|<1\). Nếu \(|q|\ge1\), cấp số nhân không phải là cấp số nhân lùi vô hạn và tổng vô hạn không hội tụ về một giá trị hữu hạn.

Bài viết trên đây đã trình bày hệ thống toàn bộ các kiến thức trọng tâm về dãy số trong chương trình Toán 11. Các nội dung cốt lõi bao gồm định nghĩa dãy số, sự phân biệt giữa dãy số hữu hạn và vô hạn, ba phương pháp xét tính đơn điệu (tăng, giảm), các kỹ thuật chứng minh tính bị chặn và điều kiện tồn tại giới hạn hữu hạn.

Bên cạnh các tính chất toán họ, việc nắm vững công thức tính tổng n số hạng của cấp số cộng cũng như tổng cấp số nhân lùi vô hạn sẽ giúp các bạn học sinh xử lý chính xác các dạng toán thực tế. Thành thạo những kiến thức này trong chuyên đề Toán 11 là bước chuẩn bị vững chắc cho các nội dung nâng cao hơn.