Cách làm dạng bài Polynomial and other nonlinear graphs và bài tập

Bài viết này sẽ cung cấp cái nhìn tổng quan về dạng bài polynomial and other nonlinear graphs trong SAT Advanced Math, giới thiệu các chiến lược hữu ích để tiếp cận các câu hỏi một cách hiệu quả, và kèm theo những bài tập vận dụng giúp thí sinh thực hành và làm quen với các dạng bài thường gặp. Qua đó, thí sinh sẽ có sự chuẩn bị vững chắc để tự tin khi làm bài thi SAT Math.

Tổng quan về dạng bài Polynomial and other nonlinear graphs

Polynomial graph hay đồ thị đa thức là đồ thị biểu diễn một hàm đa thức, tức là hàm số có dạng:\[ax^{n}+bx^{n-1}+\ldots+k\] trong đó:

• a, b, k​ là các hệ số

• n là bậc của đa thức

Đồ thị này thường có dạng cong, với số lần thay đổi hướng phụ thuộc vào bậc của đa thức. Đối với hàm bậc hai, đồ thị là một parabol, có hình dạng chữ U (mở lên hoặc xuống). Đồ thị hàm bậc ba có thể uốn cong nhiều lần và thường có tối đa hai điểm cực trị (điểm cao hoặc thấp nhất).

Trong SAT Math, đồ thị đa thức thường xuất hiện ở dạng phân tích nhân tử, giúp dễ dàng xác định các giao điểm với trục. Ví dụ, với hàm f(x) = (x + 4)(x - 1)(x + 3), đồ thị có 3 giao điểm tại x = -4, x = 1 và x = -3 vì tại các giá trị này, hàm số bằng 0. Số lượng giao điểm với trục Ox phụ thuộc vào số lượng nhân tử của đa thức. 

Đồ thị đa thức là một loại thuộc đồ thị phi tuyến tính (nonlinear graphs). Trong SAT Math cũng có thể gặp đồ thị phi tuyến tính khác như đồ thị của hàm hữu tỉ (rational graph) hay đồ thị của hàm mũ (exponential graph).

Định lý số dư đa thức

Định lý số dư đa thức (polynomial remainder theorem) phát biểu rằng khi một đa thức p(x) được chia cho x - a thì số dư của phép chia chính là p(a). [1]

Định lý số dư đa thức cho phép người học tính toán số dư mà không cần thực hiện phép chia đa thức từng bước. Nó cũng giúp xác định liệu x - a có phải là một nhân tử của đa thức p(x) hay không, dựa vào giá trị của p(a). [1]

• Nếu p(a) = 0, thì (a,0) là một giao điểm với trục Ox, và x − a là một nhân tử của p(x).

• Nếu p(a) ≠ 0, thì x − a không phải là một nhân tử của p(x).

Đọc thêm: Exponential graphs - Tổng quan và chiến lược làm bài đồ thị hàm mũ

Chiến lược làm bài dạng bài Polynomial and other nonlinear graphs trong SAT Math

Polynomial graph

Dạng 1: Xác định các nghiệm của hàm đa thức ở dạng phân tích thành nhân tử 

• Bước 1: Đặt mỗi thừa số bằng 0. 

• Bước 2: Giải phương trình của Bước 1. Nghiệm của phương trình tuyến tính là các nghiệm của hàm đa thức.

Ví dụ: What are the roots of y = (3x-4)(x + 2)(x - 6)? (nghiệm của phương trình y = (3x-4)(x + 2)(x - 6) là gì?)

We need to set each factor equal to 0 and solve for x

3x - 4 = 0
⇔ 3x = 4
⇔ x = \(\dfrac43\) (root 1)
x + 2 = 0
⇔ x = -2 (root 2)
x - 6 = 0
⇔ x = 6 (root 3)

The roots of y = (3x-4)(x + 2)(x - 6) are \(\dfrac43\); -2; 6.

Dịch nghĩa:

Đặt mỗi thừa số bằng 0, ta có các phương trình:

3x - 4 = 0
⇔ 3x = 4
⇔ x =\(\dfrac43\) (nghiệm 1)
x + 2 = 0
⇔ x = -2 (nghiệm 2)
x - 6 = 0
⇔ x = 6 (nghiệm 3)

Vậy nghiệm của phương trình y = (3x-4)(x + 2)(x - 6) là \(\dfrac43\); -2; 6.

Dạng 2: Viết một hàm đa thức khi được cho nghiệm trước 

• Bước 1: Với mỗi nghiệm đã cho, viết một biểu thức tuyến tính mà khi thay nghiệm đó vào biểu thức thì giá trị của biểu thức bằng 0.

• Bước 2: Mỗi biểu thức tuyến tính từ Bước 1 là một thừa số của hàm đa thức.

• Bước 3: Hàm đa thức phải bao gồm tất cả các thừa số mà không thêm bất kỳ thừa số nhị thức duy nhất nào.

Ví dụ: The real roots of the polynomial function p(x) are 2, -4, and 7. Write a function that could be p(x). (Các nghiệm thực của hàm số p(x) là 2, -4 và 7. Hãy viết hàm số p(x) có thể ở dạng gì.)

We are given three real roots 2, -4, and 7. This means there are three corresponding factors.

• Since 2 - 2 = 0, x - 2 is a factor.

• Since -4 + 4 = 0, x + 4 is a factor.

• Since 7 - 7 = 0, x - 7 is a factor.

p(x) must include all three factors and no additional unique binomial factors, so the following could be p.

p(x) = (x - 2)(x + 4)(x - 7)

Dịch nghĩa:

Ba nghiệm thực 2, -4 và 7 tương ứng với ba thừa số sau:

• Vì 2 - 2 = 0 nên x - 2 là một thừa số.

• Vì -4 + 4 = 0 nên x + 4 là một thừa số.

• Vì 7 - 7 = 0 nên x - 7 là một thừa số.

Hàm số p(x) phải bao gồm cả ba thừa số và không có thêm thừa số nhị thức duy nhất, do đó p(x) có thể ở dạng p(x) = (x - 2)(x + 4)(x - 7).

Nonlinear graphs

Dạng bài thường gặp đối với loại đồ thị này là tìm phương trình từ đồ thị cho trước hoặc tìm đồ thị từ hàm số cho trước. Các bước làm dạng bài này như sau:

Bước 1: Tìm kiểu hàm số phi tuyến tính.

Từ hình dáng của đồ thị hàm số, thí sinh bắt đầu xác định loại hàm số. Ví dụ, nếu đồ thị có hình parabol, thì phương trình có thể có dạng

\[f\left(x\right)=ax^2+bx+c\]

Bước 2: Kiểm tra hướng của đồ thị hàm số.

Kiểm tra hệ số có bậc cao nhất (leading coefficient) để hiểu hướng của đồ thị. Nếu hệ số này dương, phần cuối của đồ thị sẽ đi lên, ngược lại, nếu hệ số này âm thì phần cuối của đồ thị sẽ đi xuống.

Bước 3: Tìm các giao điểm của đồ thị hàm số.

Thí sinh thay lần lượt x = 0 và y = 0 vào phương trình của hàm số để tìm ra y-intercept và x-intercept. Trong đó:

• y-intercept là tung độ của điểm mà đồ thị cắt trục Oy

• x-intercept là hoành độ của điểm mà đồ thị cắt trục Ox. 

Như vậy, đồ thị/phương trình nào thỏa mãn điều kiện về giao điểm sẽ là đáp án đúng.

Bước 4: Thay tọa độ điểm vào phương trình hàm số.

Chọn một điểm từ đồ thị, thay tọa độ vào phương trình để kiểm tra tính chính xác của đáp án.

Đồ thị/phương trình nào thỏa mãn sẽ là đáp án đúng.

Ví dụ 1: The following graph represents which function? (Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào?)

A. \(y=x^3+6x^2+11x-6\)
B. \(y=-x^3-7x^2+14x-8\)
C. \(y=x^3-3x^2-x+3\)
D. \(y=-x^3-6x^2+11x-6\)

Giải:

Bước 1: Tìm kiểu hàm số.

Đồ thị trên có hai điểm cực trị (bao gồm điểm cao hoặc thấp nhất) nên đây là đồ thị của hàm bậc 3.

Bước 2: Kiểm tra hướng của đồ thị hàm số.

Phần cuối của đồ thị đi lên nên hệ số bậc cao nhất là số dương 

→ Loại B và D

Bước 3: Tìm các giao điểm của đồ thị hàm số.

Với đáp án A: x = 0 → y = -6

y = 0 → x = 1; x = 2; x = 3

Với đáp án C: x = 0 → y = 3

y = 0 → x = 1; x = -1; x = 3

Bước 4: Thay tọa độ điểm vào phương trình hàm số.

Chọn một điểm từ đồ thị là K(1;0), sau khi thay tọa độ vào phương trình thì thí sinh có thể rút ra kết luận đáp án đúng là A.

Ví dụ 2: The following graph represents which function? (Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào?)

A. \(\dfrac{\mathrm{1}}{x+2}\)
B. \(\dfrac{1}{x+3}\)
C. \(\dfrac{1}{x-2}\)
D. \(\dfrac{1}{x-3}\)

Bước 1: Tìm kiểu hàm số.

• Đồ thị có hai nhánh đối xứng, một nhánh nằm ở góc phần tư thứ nhất (khi x > −a, y > 0) và nhánh còn lại nằm ở góc phần tư thứ ba (khi x < −a, y < 0).

• Đồ thị có tiệm cận đứng (đường thẳng mà đồ thị không cắt qua) và tiệm cận ngang (đường mà đồ thị tiến dần về khi x → ±∞).

Những đặc điểm này phù hợp với hàm phân thức hữu tỉ \(y=\dfrac{1}{x+a}\)​, trong đó:

• Tiệm cận đứng xuất hiện tại x = −a khi mẫu số bằng 0.

• Tiệm cận ngang xuất hiện tại y = 0 khi x → ±∞.

Bước 2: Kiểm tra hướng của đồ thị hàm số.

Quan sát chiều đi lên và đi xuống của các nhánh đồ thị:

• Bên phải tiệm cận đứng (x > −a):

  Đồ thị nằm ở góc phần tư thứ nhất (y > 0).

• Bên trái tiệm cận đứng (x < −a): Đồ thị nằm ở góc phần tư thứ ba (y < 0).

Hướng của đồ thị này phù hợp với một hàm số dạng \(y=\dfrac{1}{x+a}\) với a > 0.

→ Loại C và D

Bước 3: Tìm các giao điểm của đồ thị hàm số.

Với đáp án A: x = 0 → y = \(\dfrac12\)

y = 0 → vô nghiệm

Với đáp án B: x = 0 → y = \(\dfrac13\)

y = 0 → vô nghiệm

Bước 4: Thay tọa độ điểm vào phương trình hàm số.

Chọn một điểm từ đồ thị là H(-2;1), sau khi thay tọa độ vào phương trình thì thí sinh có thể rút ra kết luận đáp án đúng là B.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT Math và bài tập

Bài tập ứng dụng

Bài 1: A polynomial has zeros at 7, -4, and \(\dfrac35\). Which of the following could be the factorization of the polynomial?

A. (x - 7)(x - 4)(5x - 3)
B. (x + 7)(x + 4)(5x + 3)
C. (x - 7)(x + 4)(5x - 3)
D. (x - 7)(x + 4)(3x - 5)

Bài 2: Which of the following graphs represents the equation

\[y=x^3-3x^2+1\]

Bài 3: Given the polynomial equation. What are the roots of the following polynomial equation?

(x - 4)(x + 6)(3x - 2) = 0

A. {4, -6,}
B. {-4, 6,}
C. {-4, -6,}
D. {4, -6,}

Bài 4: For a polynomial p(x), the value of p(2) = 5. Which of the following must be true about p(x)?

A. x − 2 is a factor of p(x).
B. x + 2 is a factor of p(x).
C. x − 5 is a factor of p(x).
D. The remainder when p(x) is divided by x − 2 is 5.

Đáp án

Bài 1:

We are given three real roots 7, -4, and \(\dfrac35\). This means there are three corresponding factors.

• Since 7 - 7 = 0, x - 7 is a factor.

• Since -4 + 4 = 0, x + 4 is a factor.

• Since \(\dfrac35\) - \(\dfrac35\)= 0, x - \(\dfrac35\) is a factor.

The factor (x - \(\dfrac35\)) contains a fraction. To clear the fraction, we can multiply both sides by 5. This is equivalent to rewriting the factor as:

5 (x - \(\dfrac35\) ) = 5x - 3

p(x) must include all three factors and no additional unique binomial factors, so the following could be p.

p(x) = (x - 7)(x + 4)(5x - 3)

→ C is the correct answer

Bài 2:

Step 1: Identify the Type of Function

The equation \(y=x^3-3x^2+1\) is a cubic function, which means its graph will have the characteristic “S” shape typical of third-degree polynomial functions.

Step 2: Check the Direction of the Graph

The leading coefficient of the highest power term \(\left(x^3\right)\) is +1, which is positive. This tells us that:

• The right end of the graph will go up as x→+∞

• The left end of the graph will go down as x→−∞

Thus, the graph should decrease on the left and increase on the right.

Step 3: Find the intercepts of the graph

y-intercept

To find the y-intercept, set x = 0

\(y=0^3-3.0^2+1=1\)
So, the graph crosses the y-axis at (0,1).

x-intercepts

To find the x-intercepts, set y = 0

\(y=x^3-3x^2+1\)
Solving this equation approximately gives us:

x ≈ 0.53
x ≈ 0.65
x ≈ 2.88

So, the graph crosses the x-axis at approximately (0.53, 0), (0.65, 0) and (2.88, 0).

Step 4: Substitute a Point into the graph

Because the graph crosses the y-axis at (0,1) → C and D are incorrect

Substituting a value into the equation. For instance, if we substitute x = 2

\(y=2^3-3.2^2+1=8-12+1=-3\)

→ B is the correct answer

Bài 3:

• Set each factor equal to zero

x - 4 = 0
x + 6 = 0
3x - 2 = 0

• Solve each equation

x - 4 = 0 ⇔ x = 4
x + 6 = 0 ⇔ x = -6
3x - 2 = 0 ⇔ x =

→ D is the correct answer

Bài 4:

Option A: We cannot determine whether x − 2 is a factor because for x − 2 to be a factor, p(2) would need to equal 0 (since factors yield zero remainders). However, p(2) = 5, so x − 2 is not a factor of p(x). => A is incorrect.

Option B: For x + 2 to be a factor, p(−2) must equal 0. However, the problem gives no information about p(−2), so we cannot conclude whether x + 2 is a factor of p(x). => B is Incorrect.

Option C: For x − 5 to be a factor, p(5) must equal 0. However, the problem gives no information about p(5), so we cannot conclude whether x − 5 is a factor of p(x). => C is incorrect.

Option D: Since p(2) = 5, the Remainder Theorem tells us that when p(x) is divided by x − 2, the remainder is the value of p(2), which is 5. => D is Correct.

Đọc tiếp: Cách làm dạng bài Ratios, rates, proportions trong SAT Math

Tổng kết

Bài viết đã cung cấp tổng quan chi tiết về dạng bài polynomial and other nonlinear graphs trong SAT Math, từ đặc điểm của đồ thị đến các chiến lược làm bài cụ thể. Bằng cách nắm vững những kiến thức này và thực hành với các bài tập vận dụng, thí sinh sẽ có sự chuẩn bị tốt hơn để đối mặt với các câu hỏi liên quan đến các dạng bài này trong kỳ thi.

Ngoài ra, thí sinh có thể đọc thử tựa sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies, được biên soạn bởi đội ngũ chuyên môn tại ZIM, giúp thí sinh giải quyết các dạng toán hiệu quả trong bài thi SAT Math. Với mỗi dạng bài, cuốn sách sẽ cung cấp kiến thức cơ bản, các ví dụ và cách giải mẫu, cuối cùng là bài tập luyện tập kèm đáp án có giải thích chi tiết.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.