SAT Math Question: Hình học và lượng giác (góc, tam giác & hình tròn)

Các khái niệm chung về hình học và lượng giác trong SAT Math

Đường thẳng và góc là nền tảng để giải các bài toán hình trong SAT Math. Người học có thể điểm qua một số định nghĩa và quy tắc cơ bản dưới đây để củng cố kiến thức.

Xem lại phần trước: SAT Math Question: Khái niệm đại số, giải phương trình & hàm số

Lines and angles - Đường thẳng và góc

Khi hai đường thẳng song song bị một đường thẳng khác cắt (gọi là đường cắt ngang), tất cả các góc nhọn đều bằng nhau và tất cả các góc tù đều bằng nhau.

Triangles - Tam giác

Định nghĩa cơ bản về tam giác

• Tổng số đo các góc trong của một

  tam giác là 180 độ.

• Cạnh đối diện với góc lớn hơn dài hơn cạnh đối diện với góc nhỏ hơn.

• Định lý bất đẳng thức tam giác: Độ dài của bất kỳ cạnh nào của một

  tam giác đều nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại và

  lớn hơn hiệu dương của hai

  cạnh còn lại: a − b < c < a + b (

  trong đó a, b và c là độ dài các cạnh của tam giác).

Góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong đối diện, như trong hình bên dưới.

Ví dụ minh hoạ:

Các trường hợp đặc biệt

Mối quan hệ giữa các cạnh tam giác trong tam giác vuông

• 45-45 Right Triangle -

  Tam giác vuông cân 45 - 45:

Trong một tam giác vuông cân với độ dài 2 cạnh là x thì: Cạnh huyền sẽ có độ dài x√2

• 30-60 Right Triangle -

  Tam giác vuông 30-60:

Trong một tam giác vuông có góc 30° và 60°, nếu cạnh đối diện góc 30° có độ dài xxx, thì:

+) Cạnh đối diện góc 60° sẽ có độ dài x√3

+) Cạnh huyền sẽ có độ dài 2x

Ví dụ minh hoạ:Giải thích đáp án hình 1:

Thông tin từ hình:

• Cạnh huyền =8

• Góc đối diện x là 30°.

Cách tính:

• Ta biết cạnh huyền =2x. Do đó: x=4

• Cạnh đối diện góc 60° (cạnh y): y=x√3 = 4√3

Giải thích đáp án hình 2:

Thông tin từ hình:

• x là cạnh huyền

• Góc đối diện cạnh y là góc 60°

Cách tính:

• Cạnh huyền x = 2×5 = 10

• Cạnh đối diện góc 60° (cạnh y): y= x/√3 = 5√3

Similar Triangles - Tam giác đồng dạng

Định nghĩa: Nếu hai góc của một tam giác bằng với các góc tương ứng của một tam giác khác, thì hai tam giác đó tương đồng (∴). Nếu hai tam giác tương đồng, như được minh họa trong Hình 6.6, thì độ dài của các cặp cạnh tương ứng sẽ có cùng tỷ lệ.

Ví dụ minh hoạ:

Circles - Đường tròn

Các định nghĩa cơ bản về đường tròn

Cách tính đường kính

Radian và Độ:

• Radian và độ là hai đơn vị đo kích thước của góc.

• Trong một hình tròn có 2π radian, tương đương với 360 độ hoặc π radian tương đương với 180 độ.

Chuyển đổi giữa Độ và Radian:

• Để chuyển đổi giữa độ và radian, sử dụng hệ số chuyển đổi

Tính chất của cung tròn:

• Độ dài của một cung bằng độ radian của góc trung tâm tạo ra cung đó.

• Độ dài của một cung cũng bằng hai lần độ radian của góc nội tiếp tạo ra cung đó.

Tangent Lines - Đường tiếp tuyến

Một đường tiếp tuyến tiếp xúc với hình tròn tại một điểm duy nhất và vuông góc với bán kính của hình tròn tại điểm tiếp xúc đó.

Hình minh họa kèm theo cho thấy một đường thẳng tiếp xúc với hình tròn, với một đường vuông góc được vẽ từ tâm hình tròn đến điểm tiếp xúc.Lưu ý: Góc vuông này có thể giúp phát hiện các hình dạng ẩn trong các bài toán. Do đó, cần chú ý đến các đường tiếp tuyến khi chúng được đề cập trong câu hỏi.

Phương trình tiêu chuẩn của đường tròn trên mặt phẳng tọa độ

Khi một đường tròn được vẽ trên mặt phẳng tọa độ, phương trình của nó được cho bởi:

\[(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2\]Trong đó, h và k là tọa độ của tâm đường tròn, và r là bán kính.

Dạng tổng quát của phương trình đường tròn

Phương trình tổng quát của một đường tròn có thể được cho dưới dạng:

\[x 2 +y 2 +Cx+Dy+E=0\]trong đó C, D, và E là các hằng số.

Mẹo giải bài tập đường tròn:

• Chuyển từ dạng tiêu chuẩn sang dạng tổng quát

• Chuyển từ dạng tổng quát sang dạng tiêu chuẩn

• Để tìm tâm hoặc bán kính của đường tròn, viết phương trình dưới dạng tiêu chuẩn.

Một số khó khăn thường gặp trong dạng bài hình học và lượng giác trong SAT Math

Hiểu lầm về các thuộc tính của góc

Người học có thể mặc sai lầm trong việc tính toán và nhận diện các góc trong các hình học khác nhau. Đây có thể là do sự nhầm lẫn giữa các loại góc như góc nội tiếp, góc trung tâm, hoặc góc vuông, dẫn đến các kết quả sai lầm khi làm bài tập hoặc trong các kỳ thi.

Sự nhầm lẫn về thuộc tính của tam giác

Bên cạnh đó, người học cũng có thể gặp khó khăn trong việc áp dụng định lý Pythagoras và hiểu rõ các thuộc tính của các loại tam giác đặc biệt như tam giác vuông cân, tam giác đều, hay tam giác tù.

Thách thức với các bài toán liên quan đến đường tròn

Việc tính toán độ dài cung, diện tích hình quạt, và hiểu biết về các định lý liên quan đến đường tròn có thể sẽ khá phức tạp với một số người học. Những sai lầm này thường xảy ra do không nắm vững các công thức và thuộc tính đặc biệt của đường tròn.

Độ phức tạp của các câu hỏi Toán SAT

Các câu hỏi Toán SAT thường đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc và khả năng áp dụng các khái niệm, thay vì chỉ đơn giản là ghi nhớ công thức. Điều này có nghĩa là học sinh cần phải hiểu cách thức và lý do đằng sau các quy tắc toán học để có thể giải quyết các câu hỏi phức tạp.

Tóm lại, người học thường gặp khó khăn trong việc nhận diện và tính toán các góc, như góc nội tiếp và góc trung tâm, dẫn đến sai sót trong bài tập và kỳ thi. Họ cũng có thể nhầm lẫn về thuộc tính của các loại tam giác, đặc biệt là khi áp dụng định lý Pythagoras và các đặc điểm của tam giác vuông cân, tam giác đều, hay tam giác tù.

Thêm vào đó, việc tính toán liên quan đến đường tròn, như độ dài cung và diện tích hình quạt, có thể gây phức tạp do thiếu nắm vững các công thức và thuộc tính. Cuối cùng, các câu hỏi Toán SAT yêu cầu học sinh không chỉ ghi nhớ công thức mà còn phải hiểu sâu về các khái niệm để giải quyết các bài toán phức tạp.

Chiến lược cải thiện dạng bài hình học và lượng giác SAT Math

Dựa theo hướng dẫn từ cuốn sách SAT - Kaplan Test Prep, người học có thể áp dụng phương pháp sau đây để có thể tự tin trả lời đúng các câu hỏi SAT.

Bước 1: Xác định yêu cầu câu hỏi

Ở bước này, học sinh cần xác định rõ ràng yêu cầu của câu hỏi. Điều này bao gồm việc hiểu chính xác điều mà câu hỏi yêu cầu bạn tìm kiếm. Bước này cực kỳ quan trọng vì nhiều khi câu hỏi có thể chứa những từ ngữ hoặc cách diễn đạt dễ gây nhầm lẫn, làm cho học sinh giải sai hoặc không tập trung vào đúng vấn đề.

Bước 2: Kiểm tra kỹ các thông tin cho trước

Người học cần kiểm tra kỹ lưỡng tất cả các thông tin được cung cấp trong đề bài. Điều này bao gồm việc xem xét số liệu, biểu đồ, công thức hay bất kỳ gợi ý nào khác. Khi người học hiểu biết chính xác về những gì được cung cấp sẽ tránh việc bỏ sót các dữ liệu quan trọng hoặc lẫn lộn các thông tin.

Bước 3: Chọn một cách tiếp cận cụ thể

Bước này đòi hỏi học sinh chọn phương pháp giải quyết thích hợp dựa trên thông tin đã có và yêu cầu của câu hỏi. Có nhiều cách tiếp cận khác nhau:

• Ưu tiên hàng đầu: Áp dụng phương pháp toán học truyền thống

Nếu người học có thể giải quyết câu hỏi bằng cách áp dụng trực tiếp các công thức hoặc phương pháp toán học quen thuộc, đây thường là cách tốt nhất để đạt được đáp án chính xác. Phương pháp này giúp đảm bảo tính chính xác và là lựa chọn an toàn nếu họ tự tin với kỹ năng toán học của mình.

• Ưu tiên thứ hai: Thử các đáp án có sẵn

Phương pháp này rất hữu ích khi đề bài đã cung cấp các đáp án có sẵn và câu hỏi cho phép bạn dễ dàng thử ngược lại các đáp án này. Đây là một cách hiệu quả để tìm ra đáp án đúng mà không cần phải giải toàn bộ bài toán.

• Ưu tiên thứ ba: Chọn số cụ thể để thử vào các biến số

Phương pháp này hữu ích khi câu hỏi mang tính lý thuyết hoặc có nhiều biến số. Bằng cách chọn số cụ thể và kiểm tra, người học có thể đơn giản hóa vấn đề và nhanh chóng tìm ra đáp án đúng.

• Ưu tiên thứ tư: Ước lượng

Khi người học không cần chính xác tuyệt đối hoặc khi việc tính toán quá phức tạp, ước lượng là một cách giải quyết nhanh chóng. Tuy nhiên, cần cẩn thận với các câu hỏi yêu cầu độ chính xác cao, vì ước lượng có thể dẫn đến sai số.

• Ưu tiên cuối cùng: Dự đoán có chiến lược

Đây là lựa chọn cuối cùng khi người học không thể tìm ra đáp án bằng các phương pháp trên. Phương pháp này vẫn có thể giúp người học chọn đúng đáp án nếu bạn có thể loại bỏ một số lựa chọn không hợp lý. Tuy nhiên, nó có mức độ rủi ro cao hơn và nên được sử dụng khi người học đã sử dụng hết các lựa chọn khác.

Với các câu hỏi về góc, tam giác, và đường tròn, thường có các công thức và định lý cụ thể như Định lý Pythagoras, công thức tính diện tích tam giác, định lý đường tròn (như góc nội tiếp, góc trung tâm),... Vì vậy, việc sử dụng trực tiếp các công thức này sẽ giúp người học tìm ra đáp án nhanh và chính xác nhất.

Nếu bài toán có các đáp án đã cho sẵn và người học gặp khó khăn trong việc áp dụng công thức trực tiếp, họ có thể thử thay thế từng đáp án vào để kiểm tra. Điều này đặc biệt hữu ích trong các câu hỏi hình học mà có thể so sánh trực tiếp các góc hoặc các đoạn thẳng.

Xem thêm:

• SAT Math formulas - Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

• Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề [PDF]

Bài tập vận dụng

Dạng góc và tam giác

Dạng đường tròn

Đáp án tham khảo

Dạng góc và tam giác:

Câu 1: D

Chiến lược: Sử dụng các quy tắc góc để suy ra các giá trị của a và b.

Trả lời:

• Vì các góc b và d tạo thành một đường thẳng nên tổng của chúng là 180°. Vậy b = 180 − 105 = 75.

• Tổng các góc trong của một tam giác là 180°, vậy tổng của a, b và c là 180.

• Thay 75 cho b và 2c cho a, viết thành 2c + 75 + c = 180.

• Vậy 3c = 105, và c = 35.

• Do đó, a = 2(35) = 70, và a + b = 70 + 75 = 145.

  Lựa chọn (D) là đúng.

Câu 2: A

Chiến lược: Sử dụng các thuộc tính góc để điền vào các giá trị còn thiếu.

Trả lời:

• Góc ở dưới cùng của giao điểm là góc vuông, do đó góc thẳng đứng bên phải

  của x cũng phải bằng 90°.

• Góc x và các góc 90° và 57° tạo thành một đường thẳng, do đó tổng của chúng phải bằng 180°.

• Do đó, x° = 180° − 90° − 57° = 33°.

Lựa chọn (A) là đúng.

Câu 3: D

Chiến lược: Vì AB song song với DE, tam giác ACB và DCE có cùng góc và do đó tương tự nhau. Xác định độ dài của DC bằng định lý Pythagore, sau đó sử dụng tỷ lệ cạnh của các tam giác để có được độ dài của AC.

Trả lời:

• Cạnh DC là cạnh huyền của tam giác DCE, do đó DC² = 18² + 20² = 324 + 400 = 724, phân tích thành 4 × 181.

• Do đó DC = √4(181) = 2√181.

• Cạnh AB và DE là các cạnh tương ứng. Vì AB = 40 và DE = 20, tỷ lệ cạnh của các tam giác là 2:1.

• Do đó, AC = 2DC = 4√181.

  Lựa chọn (D) là đúng.

Câu 4: D

Chiến lược: Có 2π radian trong một vòng tròn hoàn chỉnh, tức là 360°. Thiết lập một tỷ lệ để giải cho c.

Trả lời:

Ta có tỷ lệ sau:\[\frac{630}{360}=\frac{c\pi}{2\pi}\]

Do đó 1.260 = 360c. Phép toán có vẻ khá phức tạp nếu không có máy tính, nhưng 1.260 lớn hơn 3 lần 360 và lựa chọn duy nhất lớn hơn 3 là (D). (1.260 ÷ 360 = 3,5.)

Câu 5: C

Chiến lược: Sử dụng các thuộc tính góc để điền vào các giá trị còn thiếu để tìm giá trị của x.

Trả lời:

• Góc 130° và góc trong của tam giác kề với nó tạo thành một đường thẳng, do đó

  góc là 180° − 130° = 50°.

• Tổng các góc trong của một tam giác là 180°, do đó góc trong của tam giác kề với x là 180° − 50° − 75° = 55°. Góc đó và x tạo thành một đường thẳng

• Do đó x° = 180° − 55° = 125°. (Nếu nhớ rằng s

  ố đo của một góc ngoài của một tam giác là tổng của

  hai góc trong còn lại, người học có thể tiết kiệm được một bước.)

Lựa chọn (C) là đúng.

Dạng đường tròn

Câu 1: C

Chiến lược: Xác định bán kính của hình tròn, sau đó sử dụng tọa độ tâm của hình tròn để nêu phương trình theo định dạng chuẩn cho hình tròn.

Trả lời:

• Khoảng cách giữa tâm

  của đường tròn và điểm (6, −1) là 6 − 2 = 4, vì hai

  điểm có cùng tọa độ y. Đây là bán kính.

• Phương trình của đường tròn có tâm tại (h, k) và bán kính r là (x

  − h)² + (y − k)^² = r²

• Tọa độ của tâm được đưa ra,

  do đó phương trình của đường tròn này là (x − 2)² + (y + 1)² = 4² = 16.

  Lựa chọn (C) là đúng.

Câu 2: 36

Chiến lược: Xác định góc ở tâm xác định cung BD. Vì CD tiếp tuyến với đường tròn, tam giác ACD là tam giác vuông. Sử dụng các tính chất của tam giác vuông để xác định độ dài của CD.

Trả lời:

• Tỷ lệ để xác định

  góc ở tâm của một cung, trong đó a là số độ, là:

  \[\frac{a}{360}=\frac{arc}{circumference}\]

• Vì chu vi của một hình tròn là

  2πr, nên tỉ lệ là:

  \[\frac{a}{360}=\frac{6\pi\sqrt3}{2\pi\left(36\sqrt3\right)}\]

• Rút gọn lại ta được 12a = 360, do đó a = 30.

• Điều này có nghĩa là

  tam giác ACD là tam giác 30-60-90 với tỉ số cạnh là

  1 : √3 : 2. Độ dài của AD là 36√3, do đó độ dài của CD là

  36.

Tổng kết

Người học có thể gặp một số thách thức chính trong phần Toán SAT liên quan đến hình học và tam giác học, ví dụ như khả năng hình dung không gian, ứng dụng các công thức tam giác học. Để vượt qua trở ngại này, người học cần xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc, phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và thực hành liên tục.

Trích dẫn

• Barron's SAT Math Workbook

• Kaplan SAT Test Prep