Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Bài tập có đáp án

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực, cách đều ba đỉnh của tam giác. Trong chương trình Toán 9, kiến thức này liên kết đường trung trực, góc nội tiếp và tính đối xứng của tam giác. Bài viết trình bày cách xác định tâm ngoại tiếp và các tính chất cơ bản, giúp học sinh vận dụng vào chứng minh hình học phẳng, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và củng cố nền tảng hình học.

Tâm ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, thường ký hiệu là O, chính là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh tam giác.

• Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm.

• Điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Ngược lại, điểm cách đều hai đầu mút thì thuộc đường trung trực.

Học sinh có thể ôn lại định nghĩa và cách chứng minh đường trung trực trước khi xác định tâm ngoại tiếp.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Đường tròn đi qua cả ba đỉnh của một tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Khi đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, cũng nói tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). [1]

Một đường tròn chỉ đi qua một hoặc hai đỉnh, nhưng không đi qua đỉnh còn lại, không phải là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của tâm O

Cho tam giác ABC. Gọi \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt là đường trung trực của AB và BC. Do A, B, C không thẳng hàng, AB và BC không song song; hai đường trung trực tương ứng cũng không song song. Vì vậy, chúng cắt nhau tại duy nhất một điểm O.

• O thuộc trung trực của AB nên OA = OB.

• O thuộc trung trực của BC nên OB = OC.

• Suy ra OA = OB = OC. Vì OA = OC, O thuộc trung trực của CA.

Ba đường trung trực đồng quy tại O. Đường tròn tâm O, bán kính OA đi qua A, B, C, nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Bất kỳ tâm ngoại tiếp nào khác cũng phải thuộc cả \(d_1\) và \(d_2\), nên phải trùng O.

Tính chất của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cách đều ba đỉnh và xác định một đường tròn duy nhất

Tâm O là điểm duy nhất trong mặt phẳng cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác:

\[OA=OB=OC=R.\]

Trong đó R là bán kính ngoại tiếp. Nếu chứng minh được KA = KB = KC, có thể kết luận K là tâm ngoại tiếp. Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp; điều kiện ba điểm không thẳng hàng là cần thiết. [1]

Vị trí tâm trong tam giác nhọn, vuông và tù

Trong tam giác nhọn ABC, các góc ở tâm chắn cung BC, CA, AB không chứa đỉnh còn lại lần lượt bằng hai lần các góc A, B, C. Không áp dụng máy móc công thức góc ở tâm nhỏ bằng hai lần góc A khi A là góc tù; cần xác định đúng cung bị chắn.

Phân biệt tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, trọng tâm và trực tâm

Không dùng giao điểm ba đường cao để xác định tâm ngoại tiếp trong tam giác bất kỳ. Mối liên hệ này chỉ đặc biệt khi các tâm trùng nhau, chẳng hạn ở tam giác đều. Phần trực tâm tam giác giúp phân biệt rõ hai khái niệm.

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng thước và compa

Do ba đường trung trực đồng quy, chỉ cần dựng trung trực của hai cạnh bất kỳ. Dưới đây chọn AB và BC; các bước cũng là cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. [1]

Bước 1: Chọn hai cạnh cần dựng trung trực

Vẽ tam giác ABC và chọn hai cạnh AB, BC. Chuẩn bị thước thẳng và compa; không cần dựng đường trung trực thứ ba.

Bước 2: Dựng đường trung trực của AB

• Mở compa với bán kính \(r>\frac{AB}{2}\). Vẽ hai cung tròn cùng bán kính r, lần lượt có tâm A và B.

• Chọn các cung đủ dài để chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q ở hai phía của đường thẳng AB.

• Dùng thước nối P và Q. Đường thẳng \(d_1=PQ\) là đường trung trực của AB.

Bước 3: Dựng đường trung trực của BC

Lặp lại thao tác với hai tâm B và C, sử dụng cùng một bán kính \(r'>\frac{BC}{2}\) cho hai cung này. Gọi hai giao điểm là M, N; đường thẳng \(d_2=MN\) là trung trực của BC. Bán kính r′ không nhất thiết bằng r ở bước trước.

Bước 4: Xác định tâm O và vẽ đường tròn

• Gọi O là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\).

• Đặt mũi nhọn compa tại O, mở compa bằng OA rồi vẽ đường tròn.

• Kiểm tra đường tròn đi qua cả A, B, C; nếu lệch một đỉnh, cần kiểm tra lại bán kính compa và hai đường trung trực.

Sau khi xác định tâm, có thể đối chiếu định nghĩa và bán kính trong bài đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tâm đường tròn ngoại tiếp trong các tam giác đặc biệt

Nhận diện đúng loại tam giác giúp rút gọn bước dựng tâm và tính bán kính. Các kết quả cho tam giác vuông, đều thuộc nội dung Bài 28, Toán 9 Kết nối tri thức. [1]

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền. Với tam giác ABC vuông tại A, lấy O là trung điểm BC:

\[R=OA=OB=OC=\frac{BC}{2}.\]

Nếu AB = c và AC = b, định lí Pythagore cho:

\[BC=\sqrt{b^2+c^2},\qquad R=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}.\]

Ngược lại, một tam giác có một đường trung tuyến dài bằng nửa cạnh tương ứng là tam giác vuông. Tương đương, tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính thì góc đối diện cạnh đó bằng 90°.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cân

Với tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông cùng bằng a, tâm vẫn là trung điểm cạnh huyền, không phải đỉnh góc vuông. Khi đó:

\[BC=a\sqrt{2},\qquad R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\]

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Trong tam giác đều, tâm ngoại tiếp O, tâm nội tiếp I, trọng tâm G và trực tâm H trùng nhau:

\[O\equiv I\equiv G\equiv H.\]

Gọi D là trung điểm BC, a là độ dài cạnh. Đường cao AD đồng thời là trung tuyến và phân giác:

\[AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\]

\[R=OA=\frac{2}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\]

\[r=OD=\frac{1}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{6},\qquad R=2r.\]

Ở đây D là chân đường cao, còn H là trực tâm; không dùng cùng một ký hiệu cho hai điểm khác nhau. [1]

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm BC, AD = h, AB = AC = b và BC = a. Tâm O nằm trên đường thẳng AD, là trung trực của BC; không khẳng định O luôn thuộc đoạn AD.

Vị trí cụ thể phụ thuộc góc ở đỉnh A:

• Góc A nhọn: O nằm trong tam giác, trên đoạn AD.

• Góc A vuông: O trùng D.

• Góc A tù: O nằm trên tia đối của tia DA, ở ngoài tam giác.

Công thức bán kính ngoại tiếp tam giác cân là:

\[R=\frac{b^2}{2h}=\frac{h^2+a^2/4}{2h}.\]

Giải thích: Nếu góc A vuông thì D là tâm và R = h; đồng thời b² = 2h² nên công thức đúng. Trong hai trường hợp còn lại, O nằm trên tia AD và OD = |h − R|. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ODB:

\[\begin{aligned}R^2&=(h-R)^2+\frac{a^2}{4}\\2hR&=h^2+\frac{a^2}{4}=b^2.\end{aligned}\]

Các vai trò trùng nhau của đường thẳng AD có thể đối chiếu thêm trong bài đường cao trong tam giác.

Cách tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phần mở rộng: nội dung này sử dụng hình học tọa độ ở THPT, liên hệ Bài 21, Toán 10 Kết nối tri thức; không phải yêu cầu cơ bản của Bài 28, Toán 9.

Phương pháp dùng khoảng cách bằng nhau

Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đỉnh không thẳng hàng \(A(x_A;y_A),\ B(x_B;y_B),\ C(x_C;y_C)\). Gọi I(x; y) là tâm cần tìm:

\[\begin{cases}IA^2=IB^2,\\IA^2=IC^2.\end{cases}\]

Các biểu thức khoảng cách bình phương là:

\[IA^2=(x-x_A)^2+(y-y_A)^2.\]

\[IB^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2.\]

\[IC^2=(x-x_C)^2+(y-y_C)^2.\]

Lập hai phương trình khoảng cách bằng nhau. Sau khai triển và triệt tiêu x² + y², lần lượt thu được:

\[\begin{aligned}&2(x_B-x_A)x+2(y_B-y_A)y\\&\quad=x_B^2+y_B^2-x_A^2-y_A^2.\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&2(x_C-x_A)x+2(y_C-y_A)y\\&\quad=x_C^2+y_C^2-x_A^2-y_A^2.\end{aligned}\]

Giải hệ bậc nhất hai ẩn để tìm I; tính R = IA và thay tọa độ cả ba đỉnh để kiểm tra. Một cách khác là viết phương trình hai đường trung trực rồi tìm giao điểm. Đây là cách xác định bằng tọa độ, không phải lấy trung bình tọa độ ba đỉnh.

Ví dụ tìm tọa độ tâm có lời giải

Đề bài: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1; 3), B(−1; 1), C(5; 1). Tìm tâm I, bán kính R và phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải: Đặt I(x; y). Các khoảng cách bình phương được rút gọn thành:

\[IA^2=x^2+y^2-2x-6y+10.\]

\[IB^2=x^2+y^2+2x-2y+2.\]

\[IC^2=x^2+y^2-10x-2y+26.\]

Từ IA² = IB² và IA² = IC², suy ra:

\[\begin{cases}x+y=2,\\2x-y=4.\end{cases}\]

Cộng hai phương trình: 3x = 6 nên x = 2; thay vào phương trình đầu được y = 0. Vậy I(2; 0).

\[R^2=IA^2=(2-1)^2+(0-3)^2=10.\]

Do đó \(R=\sqrt{10}\) và phương trình đường tròn là:

\[(x-2)^2+y^2=10.\]

Kiểm tra: IA² = IB² = IC² = 10. Cách lập phương trình từ tâm và bán kính được trình bày thêm trong bài phương trình đường tròn.

Bài tập vận dụng xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Các bài dưới đây luyện xác định tâm và tính bán kính bằng tính chất tam giác vuông, tam giác đều; đây là các dạng vận dụng kiến thức của Bài 28. [1]

Bài 1: Tam giác vuông và diện tích hình tròn ngoại tiếp

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 7 cm, AC = 24 cm. Xác định tâm O; tính bán kính R và diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phân tích: Tâm là trung điểm cạnh huyền. Cần tính BC bằng định lí Pythagore trước khi tính R.

Lời giải: O là trung điểm BC. Ta có:

\[BC^2=7^2+24^2=625\quad\Rightarrow\quad BC=25\text{ cm}.\]

\[R=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ cm}.\]

\[\begin{aligned}S&=\pi R^2=156{,}25\pi\text{ cm}^2\\&\approx490{,}87\text{ cm}^2.\end{aligned}\]

Bài 2: Vị trí cách đều ba đỉnh bồn hoa tam giác đều

Đề bài: Bồn hoa hình tam giác đều ABC có cạnh 6 m. Cần đặt một vòi phun tại vị trí cách đều ba đỉnh. Xác định vị trí đó và tính khoảng cách từ vòi phun đến mỗi đỉnh.

Phân tích: Bài toán chỉ yêu cầu khoảng cách đến ba đỉnh, không yêu cầu chứng minh vòi phun tưới phủ toàn bộ bồn hoa.

Lời giải: Gọi O là vị trí đặt vòi phun. Điều kiện OA = OB = OC cho thấy O là tâm ngoại tiếp; vì ABC đều nên O trùng trọng tâm.

Gọi D là trung điểm BC. Khi đó:

\[AD=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ m}.\]

\[\begin{aligned}OA=OB=OC&=\frac23AD=2\sqrt3\text{ m}\\&\approx3{,}46\text{ m}.\end{aligned}\]

Bài 3: Xác định điểm cách đều ba vị trí trên bản đồ

Đề bài: Trên mô hình bản đồ phẳng, ba làng A, B, C tạo thành tam giác có AB = 600 m, BC = 800 m, AC = 1000 m. Cần đặt một trạm y tế tại điểm O sao cho khoảng cách thẳng từ O đến ba làng bằng nhau. Xác định O và khoảng cách đó.

Phân tích: Sử dụng khoảng cách thẳng trong mô hình hình học, không suy ra vị trí tối ưu theo thời gian đi lại hay điều kiện giao thông thực tế.

Lời giải: O phải là tâm ngoại tiếp tam giác ABC. Vì:

\[600^2+800^2=1000^2\]

nên tam giác ABC vuông tại B theo định lí Pythagore đảo. Vậy O là trung điểm AC và:

\[OA=OB=OC=\frac{1000}{2}=500\text{ m}.\]

Kết quả trên vận dụng tính chất đường tròn qua ba đỉnh. Có thể liên hệ với dấu hiệu đường kính trong bài tứ giác nội tiếp khi giải các bài chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Bài tập tự luyện về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Học sinh nên tự xác định loại tam giác và vị trí tâm trước khi xem đáp án. Các kết quả dựa trên định nghĩa tâm ngoại tiếp và các trường hợp đặc biệt; bài tọa độ là phần mở rộng. [1]

Bài 1: Xác định tâm trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5 cm, BC = 13 cm. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Đáp án: O là trung điểm cạnh huyền BC; R = BC/2 = 6,5 cm. Dữ kiện AB không cần dùng để tính R.

Bài 2: Tam giác đều biết chu vi

Tam giác đều ABC có chu vi 27 cm. Xác định tâm và tính bán kính ngoại tiếp.

Đáp án: O trùng trọng tâm; cạnh a = 27 : 3 = 9 cm. Suy ra \(R=\frac{9\sqrt3}{3}=3\sqrt3\text{ cm}\).

Bài 3: Tọa độ tâm của tam giác vuông

Trong mặt phẳng Oxy, cho A(0; 4), B(0; 0), C(6; 0). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đáp án: AB vuông góc BC nên tam giác vuông tại B. I là trung điểm AC:

\[I\left(\frac{0+6}{2};\frac{4+0}{2}\right)=(3;2).\]

Bài 4: Tâm ngoại tiếp nằm ngoài tam giác cân

Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 16 cm, đường cao AD = 4 cm. Tính bán kính R; xác định vị trí tâm O so với đoạn AD.

Đáp án: BD = 8 cm, AB² = AD² + BD² = 4² + 8² = 80 cm². Do đó:

\[R=\frac{AB^2}{2AD}=\frac{80}{8}=10\text{ cm}.\]

Vì OA = 10 cm > AD = 4 cm, O nằm ngoài tam giác, trên tia đối của tia DA; OD = OA − AD = 6 cm. Kiểm tra OB² = 6² + 8² = 100 = OA².

Tóm lại, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực và cách đều ba đỉnh. Để xác định tâm, chỉ cần tìm giao điểm của hai đường trung trực hoặc vận dụng tính chất của tam giác đặc biệt. Tâm nằm trong tam giác nhọn, ngoài tam giác tù và tại trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông.

Học sinh nên tiếp tục luyện xác định tâm và tính bán kính ngoại tiếp qua các bài tập trong chuyên đề Toán 9 tại ZIM Academy để củng cố phương pháp giải.