Cách làm dạng bài Systems of linear equations word problems - SAT Math

SAT (Scholastic Assessment Test) là bài thi chuẩn hoá nhằm đánh giá năng lực của học sinh được phát triển và sở hữu bởi College Board - tổ chức giáo dục phi lợi nhuận tại Mỹ. Kỳ thi SAT thường diễn ra theo lịch định sẵn vào tháng 3, tháng 5, tháng 6, tháng 10, tháng 11 và tháng 12. Từ tháng 3 năm 2023, bài thi SAT chính thức chuyển sang hình thức thi trên máy với tên gọi Digital SAT. Phần thi Toán của SAT Digital kéo dài 70 phút với 44 câu hỏi, trong đó phần thi Đại số (Algebra) chiếm khoảng 35%. Bài viết dưới đây của Anh ngữ ZIM sẽ cung cấp cho người học chiến thuật làm dạng bài Systems of linear equations word problems - dạng bài phổ biến trong phần thi Algebra Math.

Tổng quan về dạng bài Systems of linear equations word problems

Bài toán đố sử dụng hệ phương trình tuyến tính là bài toán yêu cầu xác định giá trị của các biến thỏa mãn nhiều phương trình tuyến tính cùng lúc, dựa trên tình huống thực tế.

Mỗi phương trình trong hệ phương trình biểu thị những mối quan hệ khác nhau trong bài toán, chẳng hạn như lập ngân sách, phân bố nguồn lực, ….

Mục tiêu của bài toán là tìm tất cả các nghiệm thoả mãn, hay các điểm mà đồ thị của các phương trình này giao nhau, nghĩa là giá trị của các biến thỏa mãn tất cả các phương trình cùng một lúc.

Người học có thể sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như phương pháp thế, phương pháp cộng, phương pháp đồ thị, trong đó hai phương pháp được sử dụng nhiều nhất là phương pháp thế và phương pháp cộng.

Những bài toán về hệ phương trình tuyến tính được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đời sống.

Đọc thêm: Phương pháp giải các dạng bài trong SAT Math (P1)

Chiến lược làm dạng bài Systems of linear equations word problems trong SAT Math

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính:

• Bước 1: Biểu diễn hai đại lượng cần tìm bằng ẩn số x và y và đặt điều kiện cho ẩn.

• Bước 2: Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn.

• Bước 3: Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.

• Bước 4: Giải hệ phương trình.

• Bước 5: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và kết luận.

Ví dụ 1: John works two jobs. He earns $20 per hour at his first job and $25 per hour at his second job. Last week, he worked a total of 30 hours and earned $700. How many hours did he work at each job? (John có hai công việc. Anh ấy kiếm được $20 mỗi giờ với công việc thứ nhất và $25 mỗi giờ với công việc thứ hai. Tuần trước, anh ấy làm việc tổng cộng 30 tiếng và kiếm được $700. Hỏi anh ấy làm bao nhiêu giờ cho mỗi công việc?)

Use x is the representation of the number of hours John work at his first job and y is the representation of the number of hours John work at his second job. (0 < x, y < 30)

The total hours of working is 30 hours so we have: x + y = 30

He earns $20 per hour at his first job and $25 per hour at his second job. Since the wages is $700 in total: 20x + 25y = 700

Together, the systems of equations of the problem is:

x + y = 30

20x + 25y = 700

From x + y = 30, we have: y = 30 - x

Plug y = 30 - x into the second equation:

20x + 25(30 - x) = 700

Solve for x:

20x + 25(30 - x) = 700

⇔ 20x + 750 - 25x = 700

⇔ - 5x = - 50

⇔ x = 10

For x = 10: y = 30 - x = 30 - 10 = 20

John worked 10 hours at his first job and 20 hours at his second job.

(dịch)

Gọi x là số giờ John làm công việc đầu tiên và y là số giờ John làm công việc thứ hai. (0 < x, y < 30)

Tổng số giờ làm việc là 30 giờ nên ta có: x + y = 30

John kiếm được $20 mỗi giờ với công việc thứ nhất và $25 mỗi giờ với công việc thứ hai, mà lương của anh ấy là $700, nên ta có: 20x + 25y = 700

Ta có hệ phương trình:

x + y = 30

20x + 25y = 700

Với x + y = 30, ta có: y = 30 - x

Thay y = 30 - x vào phương trình thứ hai: 20x + 25(30 - x) = 700

Giải tìm x:

20x + 25(30 - x) = 700

⇔ 20x + 750 - 25x = 700

⇔ - 5x = - 50

⇔ x = 10

Với x = 10, y = 30 - x = 30 - 10 = 20

John làm 10 giờ ở công việc thứ nhất và 20 giờ với công việc thứ hai.

Xem thêm: SAT Math formulas - Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

Ví dụ 2: A bus company operates buses with 50 seats and minibuses with 30 seats. If the company operates a total of 20 vehicles with a combined seating capacity of 800, how many buses and how many minibuses are there? (Một công ty xe buýt khai thác xe buýt 50 chỗ và xe buýt mini 30 chỗ. Nếu công ty vận hành tổng cộng 20 phương tiện với tổng sức chứa là 800 chỗ thì có bao nhiêu xe buýt và bao nhiêu xe buýt mini?)

Use x is the representation of the number of buses the company operates and y is the representation of the number of minibuses the company operates (0 < x, y < 20)

The total number of vehicles the bus company has is 20:

x + y = 20

The buses operates with 50 seats and minibuses with 30 seats, also, the seating capacity is 800, so we have:

50x + 30y = 800

Together, the systems of equations of the problem is:

x + y = 20

50x + 30y = 800

Multiple both sides of the of the first equation with 30:

30 × (x + y) = 30 × 20

⇔ 30x + 30y = 600

Take the left side of the second equation minus (30x + 30y), and the right side of the second equation minus 600:

50x + 30y - (30x + 30y) = 800 - 600

⇔ 50x + 30y - 30x - 30y = 200

⇔ 20x = 200

⇔ x = 10

Plug x = 10 into the first equation: 10 + y = 20 ⇔ y = 10

There are 10 buses and 10 minibuses.

(dịch)

Gọi x là số lượng xe buýt nhà xe chạy và y là số lượng xe buýt mini nhà xe chạy (0 < x, y < 20)

Vì tổng số xe là 20 nên: x + y = 20

Xe buýt có 50 chỗ và xe buýt mini 30 chỗ có tổng sức chứa là 800 chỗ nên ta có: 50x + 30y = 800

Ta có hệ phương trình:

x + y = 20

50x + 30y = 800

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 30:

30 × (x + y) = 30 × 20

⇔ 30x + 30y = 600

Lấy vế trái của phương trình thứ hai trừ đi (30x + 30y) và vế phải của phương trình thứ hai trừ 600, ta có:

50x + 30y - (30x + 30y) = 800 - 600

⇔ 50x + 30y - 30x - 30y = 200

⇔ 20x = 200

⇔ x = 10

Thay x = 10 vào phương trình thứ nhất: 10 + y = 20 ⇔ y = 10

Vậy nhà xe có 10 xe buýt và 10 xe buýt mini

Xem thêm: Cách làm dạng bài Ratios, rates, proportions trong SAT Math

Bài tập ứng dụng

Bài 1: A restaurant sells burgers for $5 each and hot dogs for $3 each. On a certain day, the restaurant sold 80 items and made $320. How many burgers and hot dogs were sold?

Bài 2: Emily invested $10,000 in two accounts. One account earns 5% interest annually, and the other earns 7% interest. If she earned $620 in interest after one year, how much did she invest in each account?

Đáp án

Bài 1:

Numbers of burgers sold: 40

Number of hot dogs sold: 40

Bài 2:

Account 1: $4000

Account 2: $6000

Xem thêm: Cách làm dạng bài Linear inequality word problems trong SAT Math

Tổng kết

Qua bài viết trên, Anh ngữ ZIM đã chia sẻ chiến lược giải dạng bài toán hệ phương trình tuyến tính (systems of linear equations word problems) trong phần thi SAT Math.

Ngoài ra, để giúp thí sinh giải quyết các dạng toán hiệu quả trong bài thi SAT Math, đội ngũ chuyên môn tại ZIM đã biên soạn tựa sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies. Với mỗi dạng bài, cuốn sách sẽ cung cấp kiến thức cơ bản, các ví dụ và cách giải mẫu, cuối cùng là bài tập luyện tập kèm đáp án có giải thích chi tiết.