Essential Vocab for SAT® Math - Algebra | Unit 8: inequality and slope

Trong quá trình học và luyện thi SAT Math, việc hiểu rõ ý nghĩa của các thuật ngữ toán học không chỉ giúp học sinh giải bài nhanh hơn mà còn nâng cao khả năng tư duy logic và ứng dụng kiến thức vào các tình huống thực tế. Một số từ vựng toán học tưởng chừng quen thuộc nhưng lại chứa đựng nhiều tầng ý nghĩa, đòi hỏi người học phải nắm vững cả định nghĩa, cách sử dụng và mối liên hệ với các khái niệm khác. Bài viết này sẽ đề cập đến thuật ngữ quan trọng trong chủ đề Đại số (Algebra), đó là "slope" và "inequality", nhằm làm sáng tỏ vai trò cũng như ứng dụng của chúng trong các dạng bài thi SAT.

Xem phần trước: Essential Vocab for SAT® Math - Algebra | Unit 7: Line and Intersect

Slope (noun): độ dốc 

từ đồng nghĩa: gradient

Định nghĩa

Trong toán học, slope (độ dốc) là một khái niệm quan trọng để mô tả độ nghiêng của một đường thẳng. Độ dốc cho biết sự thay đổi của tung độ (y) so với sự thay đổi của hoành độ (x) trên đường thẳng. Nói cách khác, độ dốc thể hiện đường thẳng đi lên hay đi xuống khi di chuyển từ trái sang phải.

Công thức

slope = \(\frac{rise}{run}\) = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), run khác 0.

Nếu slope = \(\frac{rise}{run}\) = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}>0\) , ta sẽ được độ dốc dương (hướng lên trên.)

Nếu slope = \(\frac{rise}{run}\) = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}<0\) , ta sẽ được độ dốc âm (hướng xuống dưới.)

Nếu slope = \(\frac{rise}{run}\) = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=0\) , ta sẽ được độ dốc bằng 0 (nằm ngang.)

Bên cạnh đó, độ dốc tỷ lệ thuận với rise và tỷ lệ nghịch với run:

The higher you rise, the steeper it gets

The farther you run, the gentler it feels.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Heart of Algebra trong SAT Math

Inequality (noun): bất đẳng thức

Định nghĩa

Inequality (bất đẳng thức) là một mệnh đề toán học biểu thị mối quan hệ không bằng nhau giữa hai biểu thức, sử dụng các ký hiệu như < (nhỏ hơn), > (lớn hơn), ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng), hoặc ≥ (lớn hơn hoặc bằng). Tập nghiệm của một bất đẳng thức thường là một khoảng số, không phải một giá trị duy nhất. 

Bên cạnh đó, bất đẳng thức có thể được biểu diễn bằng trục số, biểu đồ, hoặc giải tương tự như phương trình.

1. Bất đẳng thức biểu diễn bằng biểu thức

\(x-4<2\)

2. Bất đẳng thức biểu diễn bằng trục số

Đối với dạng biểu diễn này, dấu tròn rỗng (⭘) được dùng để biểu thị bất đẳng thức < hoặc >; dấu tròn đặc (⬤) được dùng để biểu thị bất đẳng thức ≤ hoặc ≥.

3. Bất đẳng thức biểu diễn bằng đồ thị

Đối với dạng biểu diễn này, đường đứt nét (- - -) được dùng để biểu thị bất đẳng thức < hoặc >; đường liền nét (𑁋) được dùng để biểu thị bất đẳng thức ≤ hoặc ≥. Vùng được tô đậm trên đồ thị chính là vùng có chứa nghiệm cho bất đẳng thức được biểu diễn. Đối với đồ thị có đường liền nét, các nghiệm cũng nằm trên đường thẳng này.

Khái niệm liên quan 

Xét bất đẳng thức a < b và c là một số nguyên bất kì:

1. Nếu c được cộng vào hai vế:

   

2. Nếu c bị trừ ra khỏi hai vế:

   

3. Nếu c là số nguyên dương và được nhân vào hoặc chia cho hai vế:

   

4. Nếu c là số nguyên âm và được nhân vào hai vế, ta phải đảo chiều của bất đẳng thức:

   

Kiểm tra từ vựng - slope

Fill in the blank with one of these words: positive slope, negative slope, zero slope.

1. A ski slope going down a mountain has a ________________.

2. A horizontal road has a ________________ because there is no vertical change.

3. A graph showing the increasing height of a plant over time would likely have a ________________.

Kiểm tra từ vựng - inequality

Fill in the blank with one of these words: smaller than, greater than, inequality, change, do not change.

1. An ______________ is a mathematical statement that compares two expressions using symbols like <, >, ≤, or ≥.

2. If the cost of rent in New York is $2,500 and only $800 in a small town, the New York rent is ______________ the small town rent.

3. Multiplying both sides of an inequality by a negative number causes the direction of the inequality to ______________.

4. The inequality x + 2 < 8 can be interpreted as “x plus 2 is ___________ 8.”

5. When the same positive number is added to both sides of an inequality, the direction of the inequality ______________. 

Bài toán thực tế - slope

Exercise 1: Baldwin Street in New Zealand is famous for being the steepest street in the world, which is for every 2.86 meters of run, the street rises 1 meter. 

1. What is the slope of this street as a percentage? 

2. Would it be safe to drive a car up or down this street on a rainy day, given the safety standard for a slope is between 6% to 8%? 

Exercise 2: According to the ADA (The Americans with Disabilities Act), the maximum slope for a wheelchair ramp is 1/12, which means for 1 inch of rise, the run must be at least 12 inches. 

1. If Bình wants to build a wheelchair ramp with a rise of 4 inches, what is the minimum run for this ramp?

2. If a wheelchair ramp has a rise of 2 inches and a run of 10 inches, is it suitable to be used? Why?

Bài toán thực tế - inequality

Exercise 1: Mai wants to buy notebooks that cost $2 each. She has $10 in total.

Write an inequality to show how many notebooks (n) she can buy, and find the greatest number of notebooks that she can buy.

Exercise 2: In 2023, the average monthly income of a worker in Ho Chi Minh City was 14.5 million VND, while in a rural province like Tra Vinh, the average was 7.8 million VND. This income gap reflects broader economic disparities between urban and rural areas in Vietnam.

1. Is the income in Tra Vinh less than or greater than half the income in Ho Chi Minh City?

2. One worker works in Ho Chi Minh City, while another works in Tra Vinh. If both workers receive a raise of 2 million VND, does the percentage increase in income benefit the Tra Vinh worker more than, less than, or the same as the Ho Chi Minh City worker?

Đáp án - slope

Kiểm tra từ vựng: negative slope, zero slope, positive slope

Exercise 1: 1. approx. 35%; 2. No, it would be very risky because the slope exceeds the safety range
Exercise 2: 1.48 inches; 2. No, the slope is too steep (1/5 > 1/12)

Đáp án - inequality

Kiểm tra từ vựng: inequality, greater than, change, smaller than, does not change

Exercise 1: \(2n\le10\); 5 notebooks

Exercise 2: 1. Greater than half; 2. The percentage increase benefits the Tra Vinh worker more.

Tóm lại, việc hiểu sâu sắc các thuật ngữ như "slope" và "inequality" không chỉ giúp thí sinh giải quyết bài toán nhanh chóng và chính xác hơn, mà còn góp phần xây dựng nền tảng tư duy toán học vững chắc. Hy vọng qua bài viết này, người học đã có cái nhìn rõ ràng hơn về hai từ vựng quan trọng trong đại số cũng như cách hai từ vựng này được sử dụng trong những đề toán của bài thi SAT Math.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.