Essential Vocab for SAT® Math - Algebra | Unit 9: Parallel and Perpendicular

Trong hình học và giải tích, hai khái niệm song song (parallel) và vuông góc (perpendicular) giữ vai trò then chốt trong việc mô tả mối quan hệ giữa các đường thẳng. Việc nắm vững các đặc điểm và cách nhận biết của chúng giúp người học hiểu sâu hơn về cấu trúc của mặt phẳng tọa độ cũng như các phương trình tuyến tính liên quan.

Xem lại phần trước: Essential Vocab for SAT® Math - Algebra | Unit 8: inequality and slope

Parallel (adjective): song song

Định nghĩa

Trong toán học, parallel thường được dùng để chỉ hai đường thẳng không có điểm chung trong mặt phẳng. Nói cách khác, hai đường thẳng hoặc mặt phẳng được gọi là parallel khi chúng không bao giờ giao nhau và luôn giữ khoảng cách bằng nhau. (Ghi chú: định nghĩa về hai đường thẳng song song gặp nhau tại vô cực không nằm trong phạm vi kiểm tra của bài thi SAT).

Các ví dụ thực tế có tính chất song song

• Trên mặt phẳng giấy của một cuốn vở kẻ ngang, các đường kẻ được vẽ song song với nhau. Mỗi đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng và giữ khoảng cách đều đặn với các đường thẳng khác, không giao nhau.

• Ở nhiều ngã tư, vạch dành cho người đi bộ thường được sơn thành các dải thẳng song song với nhau, nằm trên cùng một mặt đường. Các dải này có hướng thẳng và song song, tuy gần nhau nhưng không giao nhau.

Phương trình các đường thẳng song song

Phương trình của một đường thẳng thường được viết dưới dạng phương trình hệ số góc – tung độ gốc với công thức:

\[y=mx+b\]

Trong đó, m là hệ số góc (slope) và b là tung độ gốc (y-intercept). Giá trị của m xác định độ dốc hay độ nghiêng của đường thẳng, cho ta biết đường thẳng đó dốc lên hay dốc xuống nhiều như thế nào so với trục hoành.

Cần lưu ý rằng hệ số góc của bất kỳ hai đường thẳng song song nào luôn bằng nhau. Ví dụ, nếu đường thẳng có phương trình

\[y=4x+3\]

thì hệ số góc của nó là 4. Do đó, bất kỳ đường thẳng nào song song với đường thẳng này cũng sẽ có cùng hệ số góc bằng 4. Tuy nhiên, các đường thẳng song song sẽ có tung độ gốc khác nhau:

\[y=4x+40\]

và do đó chúng không có điểm chung nào, nghĩa là không cắt nhau tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng.

Nói cách khác, hệ phương trình gồm hai phương trình tuyến tính được biểu diễn bằng các đường thẳng song song sẽ không có nghiệm (hay còn gọi là hệ vô nghiệm).

Lưu ý rằng có vô số đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Điều này là bởi vì các đường thẳng song song có thể có các giá trị tung độ gốc (y-intercept) khác nhau.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Heart of Algebra trong SAT Math

Perpendicular (adjective): vuông góc

từ đồng nghĩa: orthogonal

Định nghĩa

Hai đường thẳng hoặc mặt phẳng là perpendicular khi chúng cắt nhau tạo thành góc vuông 90 độ.

Các ví dụ thực tế có tính chất vuông góc

• Góc giữa mặt đất và tường nhà: Trong xây dựng, một bức tường được coi là chuẩn khi nó vuông góc với mặt sàn. Điều này nghĩa là góc giữa tường và mặt đất bằng đúng 90 độ. Sự vuông góc này giúp đảm bảo độ vững chắc và cân đối của công trình.

• Giao điểm của các trục trên hệ trục tọa độ Descartes: Trong toán học, trục hoành x và trục tung y cắt nhau tại gốc tọa độ theo một góc vuông 90 độ. Đây là ví dụ cơ bản của hai đường thẳng vuông góc trong hình học tọa độ, giúp xác định vị trí điểm trong mặt phẳng một cách chính xác.

Công thức

Hai đường thẳng vuông góc khi tích hệ số góc (độ dốc - slope) của chúng bằng –1:

\[m1\cdot m2=-1\]

Ví dụ:

Xét hai đường thẳng:

\[𝑦=3𝑥+2\]\[y=-\frac13x+5\]Hệ số góc của đường thứ nhất m1= 3

Hệ số góc của đường thứ hai m2 = −1/3

Kiểm tra điều kiện vuông góc:

\[m1\cdot m2=3\cdot(-\frac13)=-1\]Vậy hai đường thẳng này vuông góc với nhau vì tích hai hệ số góc bằng –1.

Kiểm tra từ vựng - parallel

Fill in the blank with one of these words: parallel, equal, direction, tracks, never

1. In geometry class, students learned that lines running in the same __________ and lying on the same plane without ever touching are called parallel lines.

2. When observing the railway station, it’s easy to notice that the two parallel steel __________ run side by side all the way to the horizon.

3. In a perfect drawing of two parallel lines, the spacing between them remains exactly the same. They stay at a/an __________ distance along their entire length.

4. One of the key characteristics of parallel lines is that they do not touch each other. In fact, they __________ intersect, no matter how far they are extended.

5. On a sheet of ruled notebook paper, all horizontal lines are carefully drawn so they are __________ to each other, making writing neat and organized.

Kiểm tra từ vựng - perpendicular

Fill in the blank with one of these words: perpendicular, right angle, intersect, orthogonal, product

1. In basic geometry, when two straight lines meet and form a corner that looks like the corner of a square, they create a __________.

2. At many street intersections in cities, the roads cross each other directly and form sharp corners. These roads clearly __________ at right angles.

3. In more advanced math, especially in linear algebra or physics, the term __________ is often used instead of "perpendicular."

4. A good way to test if two lines are perpendicular is to multiply their slopes. If the __________ of the slopes equals -1, they meet at a 90-degree angle.

5. In building construction, it is important that the walls of a room are __________ to the floor, so everything is level and structurally correct.

Xem thêm: Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề

Bài toán thực tế - parallel

Exercise 1: In Ho Chi Minh City, a park has two walking paths. The first path is represented by the line equation:

\[y=3x+2\]The second path is represented by:

\[y=3x-5\]

1. Are these two paths parallel?

2. Do these two paths intersect?

Exercise 2: Two irrigation canals run across a large rice field in the Mekong Delta. The first canal is represented by the equation y = 2x + 5. The second canal runs parallel to the first but passes through a wooden stake represented by the point (3,1).

1. Write the equation of the second canal.

2. Find the y-intercept of the second canal.

Bài toán thực tế  - perpendicular

Exercise 1: At a construction site in Da Nang, an engineer is designing two walls of a shared space for customers. The first wall follows the line equation:

\[y=\frac12x+4\]The second wall follows the line equation:

\[y=−2x+1\]

1. Are these two walls perpendicular to each other?

2. If the walls are perpendicular, do they intersect?
   

Exercise 2: In an urban park in Hanoi, there is a walking path represented by the equation

\[y=-\frac13x+4\]

City planners are designing a new bicycle lane that must be perpendicular to the walking path. For safety and convenience, the bicycle lane will pass through the point (3, 2), which corresponds to the location of a rest area where pedestrians and cyclists often meet.

1. Find the slope of the bicycle lane.

2. Write the equation of the bicycle lane.

Đáp án - parallel

1. direction

2. tracks

3. equal

4. never

5. parallel

Exercise 1:

1. Yes

2. No

Exercise 2:

1. y = 2x − 5

2. y-intercept = –5

Đáp án - perpendicular

1. right angle

2. intersect

3. orthogonal

4. product

5. perpendicular

Exercise 1:

1. Yes

2. Yes

Exercise 2:

1. 3

2. y = 3x − 7

Việc nắm vững các khái niệm như parallel và perpendicular không chỉ giúp người học sử dụng chính xác trong các bài toán và biểu thức học thuật, mà còn hỗ trợ phân tích hình học một cách hiệu quả. Qua những ví dụ minh họa và các bài tập thực hành, người đọc có thể luyện tập và củng cố kiến thức để ứng dụng vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn một cách dễ dàng hơn.

Để đạt kết quả cao trong kỳ thi SAT, việc nắm vững chiến lược và phương pháp giải các dạng toán là yếu tố then chốt. Sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies cung cấp cho thí sinh cái nhìn tổng quan về các dạng toán trong kỳ thi, cùng hướng tư duy hiệu quả để giải quyết từng dạng bài. Mỗi chủ đề được trình bày với kiến thức cơ bản, ví dụ minh họa, cách giải mẫu và bài tập luyện tập kèm đáp án chi tiết.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: Lê Quỳnh Anh