Essential Vocab for SAT® Math - Algebra | Unit 7: Line and Intersect

Đường thẳng là một trong những chủ đề toán thường gặp trong SAT Math, trong đó có nhiều bài tập về những đường thẳng giao nhau. Từ vựng “line” và “intersect” là những khái niệm cơ bản đối với dạng bài này. Trong bài viết dưới đây, tác giả sẽ giới thiệu về Essential vocabulary for SAT Math - Algebra l Unit 7: line + intersect kèm bài tập vận dụng giúp người học hiểu rõ hơn về hai khái niệm này trong toán học nói chung cũng như trong kỳ thi SAT Math.

Xem phần trước: Essential Vocab for SAT® Math - Algebra | Unit 6: Horizontal + Pass through

Line (n): đường thẳng

Định nghĩa

Trong toán học, line (đường thẳng) là khái niệm dùng để chỉ một tập hợp các điểm kéo dài vô hạn theo hai hướng ngược nhau trong không gian phẳng (2D) hoặc không gian ba chiều (3D).

Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm bất kỳ và có thể được biểu diễn bằng phương trình y = mx + b hoặc ax + by + c = 0.

Ví dụ: Khi cho 2 điểm lần lượt có toạ độ A (0; 5) và B (-3; 2), người học có thể vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm A và B như đồ thị sau:

Công thức

Đường thẳng có thể được diễn đạt bằng các dạng phương trình sau:

Trong đó,

• y: tung độ (giá trị trên trục tung)

• x: hoành độ (giá trị trên trục hoành)

• m: độ dốc của đường thẳng

• b: tung độ gốc (điểm mà đường thẳng cắt trục tung)

Các trường hợp đường thẳng đặc biệt:

• Nếu m = 0: đường thẳng nằm ngang, song song hoặc trùng với trục hoành (Ox)

• Nếu b = 0: đường thẳng đi qua gốc tọa độ (O)

Trong đó,

• y: tung độ (giá trị trên trục tung)

• x: hoành độ (giá trị trên trục hoành)

• a, b, c: các hệ số (a và b không được cùng bằng 0)

Hệ số a và b không thể cùng bằng 0 vì:

Nếu a = 0 và b = 0, phương trình trở thành: 0x + 0y + c = 0 ⇒ c = 0

• Trường hợp 1: c ≠ 0, phương trình trở thành: 0 = —c → Phương trình vô nghiệm → Không tồn tại đường thẳng.

• Trường hợp 2: c = 0, phương trình trở thành: 0 = 0 → Phương trình có vô số nghiệm → Hình ảnh biểu diễn là toàn bộ mặt phẳng tọa độ.

Các trường hợp đường thẳng đặc biệt:

• Nếu a = 0: đường thẳng nằm ngang, song song hoặc trùng với trục hoành (Ox)

• Nếu b = 0: đường thẳng nằm thẳng đứng, song song hoặc trùng với trục tung (Oy)

• Nếu c = 0: đường thẳng đi qua gốc tọa độ (O)

Intersect (v): giao nhau, cắt nhau

Từ đồng nghĩa: cross, meet

Định nghĩa

Trong toán học, intersect (giao nhau) là khái niệm dùng để mô tả hiện tượng hai hoặc nhiều đường thẳng hoặc đồ thị cắt nhau. Điểm giao nhau thường là nghiệm của một hệ phương trình, tức là giá trị của x và y thỏa mãn đồng thời hai phương trình đường thẳng.

Ví dụ: Để tìm toạ độ đường thẳng y = -2x - 1 và y = -x - 2, người học cần giải phương trình -2x - 1 = -x - 2. Nghiệm của phương trình là x = 1, từ đó người học tính được giá trị y = -3. Như vậy, hai đường thẳng này giao nhau tại điểm có toạ độ (1, -3).

Khi phương trình đường thẳng được biểu diễn dưới dạng ax + by + c = 0, người học có thể xác định hai đường thẳng có cắt nhau hay không dựa vào tỉ lệ a/b:

Đường thẳng 1: a1x + b1y + c1 = 0
Đường thẳng 1: a2x + b2y + c2 = 0

Nếu a1/a2 \(\ne\)b1/b2 thì hai đường thẳng cắt nhau.

Đọc thêm:

• Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

• Cách làm dạng Graphs of linear systems and inequalities trong SAT Math

• Cách làm dạng bài Systems of linear equations word problems - SAT Math

Kiểm tra từ vựng

Line

Fill in the blank with one of these words: line, parallel, only one

1. For the equation y = 2x + 1, the graph is a straight ____________.

2. The line represents a relationship where each x-value has ___________ y-value.

3. Given the equation of a straight line as y = mx + b.

   If m = 0, the line is ___________ to or coincides with the x-axis.

Intersect

Fill in the blank with one of these words: solution, intersection, meet

1. The position where two graphs meet is known as the point of __________.

2. The graphs of two equations ____________ when they share a common solution.

3. The point of intersection is usually the ____________ of a system of equations, with x and y values that satisfy both linear equations simultaneously.

Bài toán thực tế

Line

Exercise 1:

A taxi company charges a flat fee of $3 plus $2 per mile.

1. Write a linear equation and plot the graph that models the total cost (y) in terms of the number of miles (x) driven.

2. How much does a 10-mile trip cost?

Exercise 2:

A satellite is launched and rises at a constant rate. Its height in kilometers h after t seconds is modeled by the equation: h = 10t + 0.2.

1. What do the slope and y-intercept mean in this situation?

2. How many minutes will it take for the satellite to reach the Low Earth Orbit at a height of 2000 km?

Intersect

Exercise 1:

Anna is filling a water tank using a hose. The water level in the tank increases over time and can be modeled by the equation: y = 5x + 10, where y is the water level (in liters) after x minutes.

Ben is draining a similar tank, and the water level decreases over time following the equation: y = −3x + 70.

1. At what time will the water levels in both tanks be equal?

2. What will the water level be at that time?

Exercise 2:

In a chemistry experiment, a student measures how the concentration of two substances changes over time. The data is recorded as follows:

1. At what time will the concentrations of Substance A and B be equal?

2. If the experiment is extended to 8 minutes, predict the concentration of Substance A and Substance B.

Xem thêm: Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề

Đáp án

Line

1. line

2. only one

3. parallel

Exercise 1:

Equation: y = 2x + 3

For x = 10: y = 2(10) + 3 = $23

Exercise 2:

The slope is 10, meaning the satellite rises 10 km per second.

The y-intercept is 0.2, meaning it starts at 0.2 km above Earth.

When the satellite reaches a height of 2000 km: 2000 = 10t + 0.2 → t ≈ 200 seconds ≈ 3.3 minutes.

Intersect

1. intersection

2. meet

3. solution

Exercise 1:

To solve the problem:

• Set the two equations equal to find out the solution, which is the x value representing the time at which the water levels will be equal.

• Substitute the x value into either equation to get the value of y representing the water level at that time.

Answers:

1. The water levels will be equal after 7.5 minutes.

2. The water level at that moment will be 47.5 liters.

Exercise 2:

To solve the problem, plot the graphs or write the linear equations representing how the concentration of two substances changes over time (x represents the time of the reaction, and y represents each substance’s concentration).

• Equation for substance A: y = −10x + 80

• Equation for substance B: y = 10x + 20

→ −10x + 80 = 10x + 20 → x = 3 → y = 50

→ At 3 minutes, the concentrations of substance A and B equally reach 50 mg/mL.

→ At 8 minutes

• Substance A reaches —10×8 + 80 = 0 mg/L,

• Substance B reaches 10×8 +20 = 100 mg/L

Bài viết trên đã giới thiệu về Essential vocabulary for SAT Math - Algebra l Unit 7: line + intersect. “Line” là đường thẳng, là tập hợp các điểm tạo thành đồ thị tuyến tính trong không gian, và “intersect” chỉ sự giao nhau giữa hai hoặc nhiều đường thẳng. Người học cần hiểu rõ hai khái niệm này và cách sử dụng chúng trong bối cảnh toán học nhằm hiểu đúng và làm tốt các bài tập SAT Math. Để xây dựng các kiến thức nền tảng về SAT một cách vững chắc, người học có thể đăng ký khoá học SAT Foundation tại ZIM Academy.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.