Sử dụng DESMOS để tìm giá trị khiến phân thức xác định/không xác định

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học xác định giá trị khiến phân thức xác định/không xác định, một dạng bài phổ biến trong SAT Math.

Lý thuyết chung về phân thức

Phân thức có dạng tổng quát là:

A/B

Trong đó:

• A và B đại diện cho các đa thức

• B phải khác 0 (vì không thể chia cho 0).

Do B ≠ 0, nên tập xác định của biểu thức hữu tỉ là {x ∈ R | B ≠ 0}. Việc tìm miền xác định là bước đầu tiên khi tiến hành thao tác trên biểu thức hữu tỉ.

Lý thuyết về giá trị khiến phân thức xác định/không xác định

Việc xác định giá trị khiến phân thức xác định/không xác định là tiền đề để người học giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức.

Với một phân thức có dạng A/B, ta luôn luôn có B phải khác 0. Do đó, ta có:

• Điều kiện để phân thức xác định: B ≠ 0

• Điều kiện để phân thức không xác định: B = 0

Nói tóm lại, để phân thức xác định thì mẫu của phân thức phải luôn khác 0.

Các bước tìm giá trị để phân thức xác định:

• Thiết lập điều kiện cho mẫu của phân thức khác 0

• Giải phương trình để tìm các giá trị khiến mẫu bằng 0

• Tập hợp các giá trị khiến phân thức xác định là tất cả các số thực loại trừ các giá trị vừa tìm được.

Ví dụ: P = (x+2)/(x²-4)

• Điều kiện xác định: x² - 4 ≠ 0

• Ta giải phương trình x² - 4 = 0 → x = 2 hoặc x = -2

• Tập hợp các giá trị khiến phân thức xác định là tất cả các giá trị x ngoại trừ x = 2 hoặc x = -2 → Phân thức xác định khi x ≠ ±2

Lưu ý:

• Đối với các phân thức dạng: \(\frac{1}{x^2+a}\): Khi a > 0 thì phân thức luôn xác định do x² > 0, và a > 0 → x² + a > 0 nên mẫu không thể = 0

Xác định giá trị khiến phân thức xác định/không xác định trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về xác định giá trị khiến phân thức xác định/không xác định là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về tìm giá trị làm mẫu thức bằng 0, số lượng giá trị không xác định, tìm hằng số để phân thức xác định/không xác định.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định giá trị khiến phân thức xác định/không xác định

Để sử dụng Desmos xác định giá trị khiến phân thức xác định/không xác định, ta sử dụng tính năng vẽ đồ thị.

Bước 1: Người học đọc kĩ đề bài và xác định các dữ kiện quan trọng.

Bước 2: Người học nhập phân thức vào ô nhập dữ liệu của Desmos và quan sát đồ thị.

Bước 3:

Tại bước này, người học lựa chọn một trong hai cách tiếp cận tùy thuộc vào dữ kiện đề bài:

• Trường hợp 1: Nếu đề bài cung cấp sẵn các phương án (Trắc nghiệm)
  Người học lần lượt nhập các phương án dưới dạng phương trình x = a (ví dụ: x = 2, x = -5) vào các ô nhập dữ liệu tiếp theo. Quan sát trên đồ thị, nếu đường thẳng vừa nhập trùng khít với đường tiệm cận đứng (những đường thẳng đứng mà đồ thị tiến sát lại nhưng không bao giờ chạm vào) của phân thức, thì giá trị a đó chính là giá trị khiến phân thức không xác định.

• Trường hợp 2: Nếu đề bài không cho sẵn phương án (Tự luận)
  Người học xác định biểu thức ở mẫu số của phân thức, sau đó nhập phương trình mẫu số = 0 vào ô nhập liệu. Lúc này, Desmos sẽ tự động kẻ các đường thẳng đứng đi qua các điểm mà tại đó phân thức không xác định. Đây chính là các đường tiệm cận đứng cần tìm.

Ví dụ minh họa:

For what value of x, where x > 0, is the expression \(\frac{2x+5}{x^2-9}\) undefined?

A) -5

B) -3 

C) 0

D) 3

Bước 1: Xác định dữ kiện quan trọng của bài toán:

• Phân thức: \(\frac{2x+5}{x^2-9}\)

• Điều kiện không xác định khi x > 0

Bước 2: Nhập phân thức vào ô nhập dữ liệu của Desmos

Fig. 3. Rational expression 2x+5/x²-9 on the Desmos Graphing Calculator (Source [3])

Bước 3: Đề bài đã cung cấp sẵn các phương án → ta nhập lần lượt 4 phương án 

Fig. 4. Rational expression 2x+5/x²-9 on the Desmos Graphing Calculator (Source [3])

Ta nhận thấy các đường thẳng màu xanh gồm x = -3 và x = 3 chính là các đường tiệm cận cần tìm. Tuy nhiên, đề bài cho x > 0 → ta chọn đường thẳng x = 3 → Đáp án D.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Cách phân bổ thời gian làm bài thi Digital SAT

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định giá trị khiến phân thức xác định/không xác định [4]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1 

For which value of x is the expression \(\frac{4}{x^2-16}\)undefined?

A. 2

B. -2

C. 4

D. 5

Answer: C

Question 2 

The expression \(\frac{2x}{x^2-x-6}\) is undefined at which value(s) of x, where x>0?

Answer: 3

Question 3 

For which value(s) of x is \(\frac{5}{(x^3-4x)}\) defined? 

A. 0

B. 2

C. -2

D. 1

Answer: D

Question 4 

How many values of x make the expression \(\frac{1}{x^2-9}\) undefined? 

A. 0 

B. 1 

C. 2 

D. 3 

Answer: C

Question 5 

How many values of x make the expression \(\frac{3x}{x^2+x-2}\) undefined? 

Answer: 2 

Question 6 

For what value of k is the expression \(\frac{1}{x+k}\) undefined at x = 5? 

A. 4

B. 3

C. 2

D. -5

Answer: -5

Question 7

For what value of a (a<0) does the expression \(\frac{1}{x^2+ax+4}\) have exactly one value where it is undefined?

Answer: -4

Question 8

The expression

\(\frac{x^2-1}{x^2-5x+6}\)

is undefined for two value(s) of x. What is their product?

Answer: 6

Question 9

How many values of x, where x are integers, does \(\frac{1}{x^2+kx+9}\) have no undefined values? 

Answer: 11

Question 10

P=\(\frac{2026}{\left(x^2+4\right)\sqrt{6-2x}\left(x^2-x\right)}\),  for all what values of x does this expression undefined?

A. x = 0 or x = 1

B. x > 3 or x ∈ {0, 1}

C. x ≥ 3 or x ∈ {0, 1}

D. x ≥ 3 or x = 0

Answer: C

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định giá trị khiến phân thức xác định/không xác định. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.