Sử dụng DESMOS để nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi.

Lý thuyết về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất cũng tồn tại dưới dạng hai ẩn, có dạng tổng quát là.

Ax+By<,≤,>,≥ C

Trong đó: 

• A/B là hệ số góc của bất phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0.

Khi biểu diễn dưới dạng slope-intercept, bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có thể được viết dưới dạng:

y<,≤,>,≥ mx + b

Trong đó: 

• m là hệ số góc của bất phương trình.

• Ngoài ra, b là hệ số tự do của bất phương trình.

Mối liên hệ giữa nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn và đồ thị

Ngoài cách giải đại số, nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn còn có thể hiểu dưới góc độ đồ thị. 

Đối với bất phương trình bậc nhất hai ẩn (VD: Ax + By + C > 0), nghiệm (miền nghiệm) của nó không phải là một khoảng trên trục số mà là một miền mặt phẳng. Khi đó, đường thẳng Ax + By + C = 0 đóng vai trò là ranh giới chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa riêng biệt. Một nửa mặt phẳng sẽ chứa các điểm (x, y) thỏa mãn dấu của bất phương trình, nửa còn lại chứa các điểm (x,y) khiến bất phương trình bị sai. Nếu bất phương trình có dấu “≥” hoặc “≤” thì miền nghiệm sẽ bao gồm điểm đường thẳng Ax + By + C = 0, được biểu diễn trên đồ thị dưới dạng đường gạch liền. Nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “<”, miền nghiệm không bao gồm đường thẳng này và nó được biểu diễn bằng đường gạch đứt.  

Ví dụ: Xét bất phương trình y ≥ 3x - 5.

Fig. 1. Inequality y ≥ 3x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Bất phương trình có giao điểm với trục Ox tại (5/3, 0). Như vậy, bất phương trình  y 3x - 5 sẽ có miền nghiệm là tất cả giá trị của x và y sao cho y ≥ 3x - 5. Ta có thể xét hai trường hợp giá trị (x,y) để thử nghiệm miền nghiệm này.

• Điểm (0, 2): 2 > 3 x 0 - 5 -> Đúng -> (0, 2) thuộc miền nghiệm bất phương trình.

• Điểm (3, 0): 0 > 3 x 3 - 5 -> Sai -> (3, 0) không thuộc miền nghiệm bất phương trình. 

Nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về đồ thị của bất phương trình, xét những giá trị thỏa mãn là nghiệm của bất phương trình dựa trên đồ thị, xác định số nghiệm của bất phương trình hoặc đánh giá tính đúng - sai của các mệnh đề liên quan đến nghiệm dựa trên đồ thị.

Sample Question

The shaded region shown represents the solution to which inequality?

Fig. 2. Inequality y > x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

A. y > x - 5
B. y < x - 5
C. y ≥ x - 5
D. y ≤ x - 5

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị

Để sử dụng DESMOS để nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình và kỹ năng đọc hiểu đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kỹ bất đề bài để xác định đồ thị được cho cũng như các lựa chọn được cho. Người học có thể loại bỏ trước một vài đáp án dựa vào việc xét đồ thị có đường gạch đứt hay gạch liền và đối chiếu với các bất phương trình được ghi trong đáp án.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong trường hợp này, ta sẽ lần lượt nhập những bất phương trình được cho vào Desmos. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của các bất phương trình tương ứng.

Lưu ý: Người học có thể bấm vào những hình tròn ở cạnh các bất phương trình để đồ thị của chúng không hiện lên giao diện, tránh bị rối khi xét đồ thị.

Bước 3: Người học quan sát giao diện của DESMOS sẽ thấy được một khoảng được tô màu bên trái/phải của đường thẳng. Phần được tô màu này cho thấy khoảng giá trị mà sẽ làm cho bất phương trình có nghiệm.

Bước 4: Người học cần đối chiếu hình ảnh được vẽ trên Desmos của những bất phương trình được cho với đề bài. Nếu bất phương trình trên giao diện Desmos khớp với đồ thị được cho ở đề bài, thì bất phương trình đấy là đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

The shaded region shown represents the solution to which inequality?

Fig. 5. Inequality y > x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

A. y > x - 5
B. y < x - 5
C. y ≥ x - 5
D. y ≤ x - 5

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Đồ thị được cho có gạch đứt

• Các bất phương trình được cho

  • y > x - 5

  • y < x - 5

  • y ≥ x - 5

  • y ≤ x - 5

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Lần lượt nhập các bất phương trình vào bốn dòng trên giao diện.

Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như  dấu “≥”, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị đường thẳng và khoảng có nghiệm của các bất phương trình. Bây giờ người học chỉ cần lần lượt xét từng bất phương trình một để xét bất phương trình hợp lý nhất bằng cách bấm vào những hình tròn cạnh từng biểu thức để lần lượt hiện/ẩn từng đồ thị trên giao diện.

Bước 4: Xét từng bất phương trình một

• y > x - 5 khớp -> thỏa mãn

• y ≥ x - 5 không khớp -> không thỏa mãn

• y ≤ x - 5 không khớp -> không thỏa mãn

• y > x - 5 không khớp -> không thỏa mãn

⇒ Chọn đáp án A.

Fig. 7. Inequalities y > x - 5, y < x - 5, y ≥ x - 5, y ≤ x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Solving Linear Equations and Inequalities - SAT Math

• Linear inequality word problems trong SAT Math – Cách làm và bài tập

• Cách làm dạng Graphs of linear systems and inequalities trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn [8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

The shaded region shown represents the solution to which inequality?

Fig. 9. Inequality y > 2x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [9])

A. y < 2x + 5
B. y ≤ 2x + 5
C. y ≥ 2x + 5
D. y > 2x + 5

Answer: D

Question 2: 

The shaded region shown represents the solution to which inequality?

Fig. 10. Inequality x + 2y - 5 ≤ 0 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [10])

A. x + 2y - 5 > 0
B. x + 2y - 5 ≤ 0
C. x + 2y - 5 < 0
D. x + 2y - 5 ≥ 0

Answer: B

Question 3:

The shaded region shown represents the solution to which inequality?

Fig. 11. Inequality x + y - 3 > 0 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [11])

A. x + y - 3 > 0
B. x + y + 3 > 0
C. x - y + 3 > 0
D. x - y - 3 > 0

Answer: A

Question 4:

A graph shows a dashed diagonal line that goes through the points (0, 2) and (2, 0). The region below the line is shaded.

Which inequality best represents this graph?

A. x + y > 2
B. x + y ≤ 2
C. x + y < 2
D. x + y ≥ 2

Answer: C

Question 5:

A graph shows a dashed line with the equation y = 3x −1. The shaded region is above the line.

Which inequality matches the graph?

A. y > 3x − 1
B. y ≥ 3x − 1
C. y < 3x − 1
D. y ≤ 3x − 1

Answer: A

Question 6:

The graph of an inequality has a solid boundary line with equation y = −x + 4

The shaded region includes the origin.

Which inequality matches the graph?

A. y > − x + 4
B. y < − x + 4
C. y ≤ − x + 4 
D. y ≥ − x + 4

Answer: C

Question 7:

The shaded region shown represents the solution to which inequality?

Fig. 12. Inequality 2x + y > 6 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [12])

A. 2x + y > 6
B. y > 6 + 2x
C. - y < 2x + 6
D. 2y + 6x > 6 + 2x

Answer: A

Question 8:

The shaded region shown represents the solution to which inequality?

Fig. 13. Inequality y < x + 62 - x - 410 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [13])

A. y > (x + 6)/2 - (x - 4)/10
B. y < (x + 6)/2 - (x - 4)/10
C. y ≥ (x + 6)/2 - (x - 4)/10
D. y ≤ (x + 6)/2 - (x - 4)/10

Answer: B

Question 9:

The shaded region shown represents the solution to which inequality?

Fig. 14. Inequality x - 2y + 5 ≤ 2x + 4y - 8 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [14])

A. x - 2y + 5 ≤ 2x + 4y - 8
B. -x + 5 ≤ 2y - 8
C. 6y ≤ -x + 13
D. x - 6y ≤ -13

Answer: A

Question 10:

The shaded region shown represents the solution to which inequality?

Fig. 15. Inequality 2(x + 1) ≥ 3(y + 2x - 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [15])

A. 8x + 5 ≥ 3y
B. y ≥ (- 4x + 5)/3
C. 2x + 2 ≥ 3y + 2x − 3
D. 2(x + 1) ≥ 3(y + 2x - 1)

Answer: D

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị. Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Để nâng cao kỹ năng làm bài Digital SAT một cách toàn diện, người học có thể tham gia chương trình luyện thi SAT tại ZIM Academy. Chương trình cung cấp hướng dẫn chi tiết về chiến lược làm bài, sử dụng công cụ hiệu quả như DESMOS, và luyện tập với đề thi thực tế, giúp học viên tối ưu thời gian và đạt điểm số mục tiêu trong kỳ thi.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.